1、2015 年辽宁省营口市中考 真题 数学 一 .选择题 (每小题 3 分共 30 分，四个选项中只有一个选项是正确的 ) 1.下列计算正确的是 ( ) A. |-2|=-2 B. a2 a3=a6 C.(-3)-2=19D. 12 =3 2 解析：分别根据绝对值的性质、同底数幂的乘法法则、负整数指数幂的运算法则及数的开方法则对各选项进行逐一计算即可 . A、原式 =2 -2，故本选项错误； B、原式 =a5a 6，故本选项错误； C、原式 =19，故本选项正确； D、原式 =2 3 3 2 ，故本选项错误 . 答案： C. 2.如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体生物俯视图和左视图 .则
2、小立方体的个数可能是 ( ) A.5 或 6 B. 5 或 7 C. 4 或 5 或 6 D. 5 或 6 或 7 解析：由俯视图易得最底层有 4 个小立方体，由左视图易得第二层最多有 3 个小立方体和最少有 1 个小立方体， 那么小立方体的个数可能是 5 个或 6 个或 7 个 . 答案： D. 3.函数 35xy x 中自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x -3 B. x5 C. x -3 或 x5 D. x -3 且 x5 解析： 利用二次根式的性质以及分数的性质分别得出关系式： x+30 ， x-50 ， 解得： x -3 且 x5 . 答案： D. 4.ABCD 中，对角线 A
3、C 与 BD 交于点 O， DAC=42 ， CBD=23 ，则 COD 是 ( ) A. 61 B. 63 C. 65 D. 67 解析： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， DAC=BCA=42 ， COD=CBD+BCA=65 ， 答案： C. 5.云南鲁甸发生地震后，某社区开展献爱心活动，社区党员积极向灾区捐款，如图是该社区部分党员捐款情况的条形统计图，那么本次捐款钱数的众数和中位数分别是 ( ) A. 100 元， 100 元 B. 100 元， 200 元 C. 200 元， 100 元 D. 200 元， 200 元 解析：从图中看出，捐 100 元的人数最多有 18
4、 人，所以众数是 100 元， 捐款人数为 48 人，中位数是第 24、 25 的平均数，所以中位数是 200 元， 答案： B. 6.若关于 x 的分是方程 2 233xmxx有增根，则 m 的值是 ( ) A. m=-1 B. m=0 C. m=3 D. m=0 或 m=3 解析：方程两边都乘以 (x-3)得， 2-x-m=2(x-3)， 分式方程有增根， x -3=0， 解得 x=3， 2 -3-m=2(3-3)， 解得 m=-1. 答案： A. 7.将弧长为 2cm ，圆心角为 120 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高及侧面积分别是 ( ) A. 2 cm， 3cm 2 B.
5、2 2 cm， 3cm 2 C. 2 2 cm， 6cm 2 D. 10 cm， 6cm 2 解析： 已知弧长为 2cm ，圆心角为 120 的扇形 ，就可以求出扇形的半径，即圆锥的母线长，根据扇形的面积公式可求这个圆锥的侧面积，根据勾股定理可求出圆锥的高 . (2180 )120=3 (cm)， 22=1 (cm)， 2231 =2 2 (cm)， 2120 3360=3 (cm2). 故这个圆锥的高是 2 2 cm，侧面积是 3cm 2. 答案： B. 8.如图， ABE 和 CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形，已知点 A(3， 4)，点 C(2， 2)，点D(3， 1)，则点 D
6、的对应点 B 的坐标是 ( ) A. (4， 2) B. (4， 1) C. (5， 2) D. (5， 1) 解析：设点 B 的坐标为 (x， y)， ABE 和 CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形， 3 3 23 1 2 1x ， 1 4 21 0 2 0y ， 解得 x=5， y=2， 所以，点 B 的坐标为 (5， 2). 答案： C. 9.如图，在平面直角坐标系中， A(-3， 1)，以点 O 为顶点作等腰直角三角形 AOB，双曲线 y1=1kx在第一象限内的图象经过点 B.设直线 AB 的解析式为 y2=k2x+b，当 y1 y2时， x 的取值范围是 ( ) A. -5 x
7、 1 B. 0 x 1 或 x -5 C. -6 x 1 D. 0 x 1 或 x -6 解析：如图所示： AOB 为等腰直角三角形， OA=OB ， 3+2=90 . 又 1+3=90 ， 1=2 . 点 A 的坐标为 (-3， 1)， 点 B 的坐标 (1， 3). 将 B(1， 3)代入反比例函数的解析式得： 3=1k， k=3 . y 1=3x将 A(-3， 1)， B(1， 3)代入直线 AB 的解析式得： 22313kbkb ， 解得： 21252kb ， 直线 AB 的解析式为 y2=1522x. 将 y1=3x与 y2=1522x联立得； 2115223yxyx ， 解得： 1
8、216xx， 当 y1 y2时，双曲线位于直线线的上方， x 的取值范围是： x -6 或 0 x 1. 答案 ： D. 10.如图，点 P 是 AOB 内任意一点， OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点， PMN 周长的最小值是 5cm，则 AOB 的度数是 ( ) A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 解析：分别作点 P 关于 OA、 OB 的对称点 C、 D，连接 CD， 分别交 OA、 OB 于点 M、 N，连接 OC、 OD、 PM、 PN、 MN，如图所示： 点 P 关于 OA 的对称点为 D，关于 OB 的对称点为 C， PM=DM
9、， OP=OD， DOA=POA ； 点 P 关于 OB 的对称点为 C， PN=CN ， OP=OC， COB=POB ， OC=OP=OD ， AOB= 12COD ， PMN 周长的最小值是 5cm， PM+PN+MN=5 ， DM+CN+MN=5 ， 即 CD=5=OP， OC=OD=CD ， 即 OCD 是等边三角形， COD=60 ， AOB=30 ； 答案 ： B. 二 .填空题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 11.分解因式： -a2c+b2c= . 解析：原式 =-c(a2-b2)=-c(a+b)(a-b). 答案 ： -c(a+b)(a-b). 12.过度包装既浪费资源
10、又污染环境 .据测算，如果全国每年减少十分之一的包装纸用量，那么能减少 3120000 吨二氧化碳的排放量 .把数据 3120000 用科学记数法表示为 . 解析： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案 ： 3.1210 6. 13.不等式组 2 1 5 1 13252 32xxxx 的所有正整数解的和为 _. 解 析 ：由 2 1 5 1 132xx，得 x1 ； 由
11、 5x-2 3(x+2)，得 x 4， 不等式组 2 1 5 1 13252 32xxxx 的解集是 1x 4， 不等式组 2 1 5 1 13252 32xxxx 的所有正整数解的和为 1+2+3=6， 答案 ： 6. 14.圆内接正六边形的边心距为 2 3 ，则这个正六边形的面积为 cm2. 解析：如图， 连接 OA、 OB；过点 O 作 OGAB 于点 G. 在 RtAOG 中， OG=2 3 ， AOG=30 ， OG=OA cos 30 ， 234c o s 3 0 32OGOA ， 这个正六边形的面积为 6 1242 3 =24 3 cm2. 答案 ： 24 3 . 15.如图，正
12、方形的阴影部分是由四个直角边长都是 1 和 3 的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 . 解析： S 正方形 =12(32 )2=18， S 阴影 =4 1231=6 ， 这个点取在阴影部分的概率为： 6118 3， 答案 ： 13. 16.某服装店购进单价为 15 元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为 25 元时平均每天能售出 8 件，而当销售价每降低 2 元，平均每天能多售出 4 件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大 . 解 析 ： 设定价为 x 元， 根据 “ 利润 =(售价 -成本 ) 销售量 ” 列出每天的销售利
13、润 y(元 )与销售单价 x(元 )之间的函数关系式 ： y=(x-15)8+2(25-x) =-2x2+88x-870 y= -2x2+88x-870， =-2(x-22)2+98 a= -2 0， 抛物线开口向下， 当 x=22 时， y 最大值 =98. 答案 ： 22. 17.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径 .如图， ABC 中， ABC=90 ，以 AC 为一边向形外作菱形 ACEF，点 D 是菱形 ACEF 对角线的交点，连接 BD.若 DBC=60 ， ACB=15 ，BD=2 3 ，则菱形 AC
14、EF 的面积为 . 解析：如图 1，取 AC 的中点 G，连接 BG、 DG， 四边形 ACEF 是菱形， AECF ， ADC=90 ， 又 ABC=90 ， A 、 B、 C、 D 四点共圆，点 G 是圆心， ACD=ABD=90 -DBC=90 -60=30 ， AGB=152=30 ， AGD=302=60 ， BGD=30+60=90 ， BGD 是等腰直角三角形， BG=DG= 22 2 3 6BD AC=2 6 ， AD= 12 6 s i n 3 0 2 6 62 ， 32 6 c o s 3 0 2 6 3 22CD ， 菱形 ACEF 的面积为： 3 2 6 2 4 6 3
15、 2 4 12 3 答案 ： 12 3 . 18.如图，边长为 n 的正方形 OABC 的边 OA、 OC 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， A1、 A2、 A3、 、An-1为 OA的 n 等分点， B1、 B2、 B3、 B n-1为 CB的 n 等分点，连接 A1B1、 A2B2、 A3B3、 、 An-1Bn-1，分别交 y=1nx2(x0 )于点 C1、 C2、 C3、 、 Cn-1，当 B25C25=8C25A25时，则 n= . 解析： 正方形 OABC 的边长为 n，点 A1， A2， ， An-1为 OA的 n 等分点，点 B1， B2， ， Bn-1为 CB 的 n 等
16、分点， OA 25=25n n=25， A25B25=n， B 25C25=8C25A25， C 25(25，9n)， 点 C25在 y=1nx2(x0 )上， 9n=1n (25)2， 解得 n=75. 答案 ： 75. 三 .解答题 (19 小题 10分， 20 小题 10分 ) 19.先化简，再求值：222 2 111 1 2 1mm m m m .其中 m满足一元二次方程 m2+(5 3tan30 )m-12cos60=0 . 解 析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出 m 的值代入
17、计算即可求出值 . 答案 ： 原式 = 22221 1 1 1mmmm m m m 21221 1 1 2mmm m m m m 2111mmm m m m 11mmm 1m ， 方程 m2+(5 3 tan30 )m-12cos60=0 ，化简得： m2+5m-6=0， 解得： m=1(舍去 )或 m=-6， 当 m=-6 时，原式 =-16. 20.雾霾天气严重影响市民的生活质量 .在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对 “ 雾霾天气的主要成因 ” 随机调查了所在城市部分市民 .并对调查结果进行了整理 .绘制了如图不完整的统计图表 .观察分析并回答下列问题 . (1)本次被调查
18、的市民共有多少人？ (2)分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度数； (3)若该市有 100 万人口，请估计持有 A、 B 两组主要成因的市民有多少人？ 解析： (1)根据条形图和扇形图信息，得到 A 组人数和所占百分比，求出调查的市民的人数； (2)根据 B 组人数求出 B 组百分比，得到 D 组百分比，根据扇形圆心角的度数 =百分比 360求出扇形圆心角的度数，根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图； (3)根据持有 A、 B 两组主要成因的市民百分比之和求出答案 . 答案： (1)从条形图和扇形图可知， A 组人数为 90 人，占 45%， 本次
19、被调查的市民共有： 9045%=200 人； (2)60200=30% ， 30%360=108 ， 区域 B 所对应的扇形圆心角的度数为： 108 ， 1-45%-30%-15%=10%， D 组人数为： 20010%=20 人， (3)100 万 (45%+30%)=75 万， 若该市有 100 万人口，持有 A、 B 两组主要成因的市民有 75 万人 . 四 .解答题 21.某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在 “ 母亲节 ” 当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满 88 元，均可得到一次摇奖的机会 .已知在摇奖机内装有 2 个红球和 2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从
20、摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少 (如表 ) (1)请你用列表法 (或画树状图法 )求一次连续摇出一红一白两球的概率； (2)如果一个顾客当天在本店购物满 88 元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择购买哪种品牌的化妆品？并说明理由 . 解析： (1)让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率； (2)算出相应的平均收益，比较即可 . 答案： (1)树状图为： 一共有 6 种情况，摇出一红一白的情况共有 4 种，摇出一红一白的概率 =4263； (2) 两红的概率 P=16，两白的概率 P=16，一红一白的概率 P=23， 甲品牌化妆品获礼金券的平均收益是： 1
21、66+ 2312+ 166=10 元 . 乙品牌化妆品获礼金券的平均收益是： 1612+ 236+ 1612=8 元 . 我选择甲品牌化妆品 . 22.如图，我南海某海域 A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的 B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东 60 方向以每小时 30 海里的速度航行半小时到达 C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北 1.5 海里 D 处，渔政船航行到点 C 处时测得点 D 在南偏东 53 方向上 . (1)求
22、CD 两点的距离； (2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点 E 处相会合，求 ECD的正弦值 . (参考数据： sin53 45， cos53 35， tan53 43) 解析： (1)过点 C、 D 分别作 CGAB ， DFCG ，垂足分别为 G， F，根据直角三角形的性质得出 CG，再根据三角函数的定义即可得出 CD 的长； (2)如图，设渔政船调整方向后 t小时能 与捕渔船相会合，由题意知 CE=30t， DE=1.52t=3t ，EDC=53 ，过点 E 作 EHCD 于点 H，根据三角函数表示出 EH，在 RtEHC 中，根据正弦的定义求值即可 . 答案：
23、(1)过点 C、 D 分别作 CHAB ， DFCH ，垂足分别为 H， F， 在 RtCGB 中， CBG=90 -60=30 ， CG= 12BC=12 (30 12)=7.5， DAG=90 ， 四边形 ADFG 是矩形， GF=AD=1.5 ， CF=CG -GF=7.5-1.5=6， 在 RtCDF 中， CFD=90 ， DCF=53 ， COSDCF= CFCD， CD= 63cos 535CF =10(海里 ). 答： CD 两点的距离是 10； (2)如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合， 由题意知 CE=30t， DE=1.52t=3t ， EDC=53 ，
24、过点 E 作 EHCD 于点 H，则 EHD=CHE=90 ， sinEDH= EHED， EH=EDsin53=3t 4 1255t， 在 RtEHC 中， sinECD=1225=3 0 2 5tEHC E t . 答： sinECD= 225. 23.如图，点 P 是 O 外一点， PA 切 O 于点 A， AB 是 O 的直径，连接 OP，过点 B 作 BCOP交 O 于点 C，连接 AC 交 OP 于点 D. (1)求证： PC 是 O 的切线； (2)若 PD=163， AC=8，求图中阴影部分的面积； (3)在 (2)的条件下，若点 E 是 的中点，连接 CE，求 CE 的长 .
25、 解析： (1)连接 OC，证明 PAOPCO ，得到 PCO=PAO=90 ，证明结论； (2)证明 ADPPDA ，得到成比例线段求出 BC 的长，根据 S 阴 =SO -SABC 求出答案； (3)连接 AE、 BE，作 BMCE 于 M，分别求出 CM 和 EM的长，求和得到答案 . 答案： (1)证明：如图 1，连接 OC， PA 切 O 于点 A， PAO=90 ， BCOP ， AOP=OBC ， COP=OCB ， OC=OB ， OBC=OCB ， AOP=COP ， 在 PAO 和 PCO 中， O A O CA O P C O PO P O P ， PAOPCO ， PC
26、O=PAO=90 ， PC 是 O 的切线； (2)解：由 (1)得 PA， PC 都为圆的切线， PA=PC ， OP 平分 APC ， ADO=PAO=90 ， PAD+DAO=DAO+AOD ， PAD=AOD ， ADPPDA ， AD DOPD AD， AD 2=PD DO， AC=8 ， PD=163， AD= 12AC=4， OD=3， AO=5， 由题意知 OD 为 的中位线， BC=6 ， OD=6， AB=10. S 阴 =12SO -SABC =252-24； (3)解：如图 2，连接 AE、 BE，作 BMCE 于 M， CMB=EMB=AEB=90 ， 点 E 是 的
27、中点， ECB=CBM=ABE=45 ， CM=MB=3 2 ， BE=AB cos45=5 2 ， EM= 22BE BM =4 2 ， 则 CE=CM+EM=7 2 . 24.某粮油超市平时每天都将一定数量的某些品种的粮食进行包装以便出售，已知每天包装大黄米的质量是包装江米质量的 54倍，且每天包装大黄米和江米的质量之和为 45 千克 . (1)求平均每天包装大黄米和江米的质量各是多少千克？ (2)为迎接今年 6 月 20 日的 “ 端午节 ” ，该超市决定在前 20 天增加每天包装大黄米和江米的质量，二者的包装质量与天数的变化情况如图所示，节日后又恢复到原来每天的包装质量 .分别求出在这
28、 20 天内每天包装大黄米和江米的质量随天数变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围 . (3)假设该超市每天都会将当天包装后的大黄米和江米全部售出，已知大黄米成本价为每千克 7.9 元，江米成本每千克 9.5 元，二者包装费用平均每千克均为 0.5 元，大黄米售价为每千克 10 元，江米售价为每千克 12 元，那么在这 20 天中有哪几天销售大黄米和江米的利润之和大 于 120 元？ 总利润 =售价额 -成本 -包装费用 . 解析： (1)设平均每天包装大黄米和江米的质量分别为 a 千克和 b 千克，然后列方程组求解即可； (2)设出函数的解析式，利用待定系数法求解即可； (3)根据销售大黄
29、米和江米的利润之和大于 120 元列不等式求解即可 . 答案： (1)设平均每天包装大黄米和江米的质量分别为 a 千克和 b 千克，则 5445abab ， 解得 2520ab； 答：平均每天包装大黄米和江米的质量分别为 25 千克和 20 千克 . (2)观察图象，可设平均每天包装大黄米的质量与天数的关系式为 y=k1x+b1，平均每天包装江米的质量与天数的关系式为 y=k2x+b2. 当 0x15 时，由 y=k1x+b1 的图象过点 (0， 25)， (15， 40). 则可列方程组为 111251 5 4 0bkb，解得 11125kb， y 1=x+25； 由 y=k2x+b2 的图
30、象过点 (0， 20)， (15， 38). 则可列方程组为 222201 5 3 8bkb，解得 226520kb ， 2 6 205yx； 当 15 x20 时， 由 y=k1x+b1 的图象过点 (15， 40)， (20， 25). 则可列方程组为 11112 5 2 04 0 1 5kbkb，解得 11385kb， y 1=-3x+85； 由 y=k2x+b2 的图象过点 (15， 38)， (20， 20). 则可列方程组为 22222 0 2 03 8 1 5kbkb，解得 2218592kb ， 2 18 925yx ， 12 5 0 1 53 8 5 1 5 20xxyx x
31、 ， 26 2 0 0 1 5518 9 2 1 5520xxxyx . (3)设第 x 天销售的总利润为 W 元， 当 0x15 时，W=(10-7.9-0.5)y1+(12-9.5-0.5)y2=1.6y1+2y2=1.6(x+25)+2(1.2x+20)=4x+80. 由题意 4x+80 120， x 10， x 的取值范围为 10 x15 ， 由题意知 x=11， 12， 13， 14， 15； 当 15 x20 时，W=(10-7.9-0.5)y1+(12-9.5-0.5)y2=1.6y1+2y2=1.6(-3x+85)+2( 18 925 x)=-12x+30. 由题意得： -12
32、x+320 120， x 503， x 的取值范围为 15 x 503. 由题意知 x=16. 答：由 、 可知在第 11， 12， 13， 14， 15， 16 天中销售大黄米和江米的总利润大于 120元 . 25.【问题探究】 (1)如图 1，锐角 ABC 中分别以 AB、 AC为边向外作等腰 ABE 和等腰 ACD ，使 AE=AB， AD=AC，BAE=CAD ，连接 BD， CE，试猜想 BD 与 CE 的大小关系，并说明理由 . 【深入探究】 (2)如图 2，四边形 ABCD 中， AB=7cm， BC=3cm， ABC=ACD=ADC=45 ，求 BD 的长 . (3)如图 3，
33、在 (2)的条件下，当 ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD 的长 . 解析： (1)首先根据等式的性质证明 EAC=BAD ，则根据 SAS 即可证明 EACBAD ，根据全等三角形的性质即可证明； (2)在 ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角 BAE ，使 BAE=90 ， AE=AB，连接 EA、EB、 EC，证明 EACBAD ，证明 BD=CE，然后在直角三角形 BCE 中利用勾股定理即可求解； (3)在线段 AC 的右侧过点 A 作 AEAB 于点 A，交 BC 的延长线于点 E，证明 EACBAD ，证明 BD=CE，即可求解 . 答案： (1)BD=CE. 理由是
34、： BAE=CAD ， BAE+BAC=CAD+BAC ，即 EAC=BAD ， 在 EAC 和 BAD 中， A E A BE A C B A DA C A D ， EACBAD ， BD=CE ； (2)如图 2，在 ABC 的外部，以 A 为直角顶点作等腰直角 BAE ，使 BAE=90 ， AE=AB，连接 EA、 EB、 EC. ACD=ADC=45 ， AC=AD ， CAD=90 ， BAE+BAC=CAD+BAC ，即 EAC=BAD ， 在 EAC 和 BAD 中， A E A BE A C B A DA C A D ， EACBAD ， BD=CE . AE=AB=7 ，
35、BE= 227 7 7 2 ， AEC=AEB=45 ， 又 ABC=45 ， ABC+ABE=45+45=90 ， EC= 22 2 27 2 3 1 0 7B E B C ， BD=CE= 107 . (3)如图 3，在线段 AC 的右侧过点 A 作 AEAB 于点 A，交 BC的延长线于点 E，连接 BE. AEAB ， BAE=90 ， 又 ABC=45 ， E=ABC=45 ， AE=AB=7 ， BE= 227 7 7 2 ， 又 ACD=ADC=45 ， BAE=DAC=90 ， BAE -BAC=DAC -BAC ，即 EAC=BAD ， 在 EAC 和 BAD 中， A E
36、A BE A C B A DA C A D ， EACBAD ， BD=CE ， BC=3 ， BD=CE=7 2 -3(cm). 26.如图 1，一条抛物线与 x 轴交于 A， B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点 C，且当x=-1 和 x=3 时， y 的值相等，直线 15 2184yx与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是 6，另一个交点是这条抛物线的顶点 M. (1)求这条抛物线的表达式 . (2)动点 P 从原点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1个单位长度的速度向点 B运动，同时点 Q从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 C运
37、动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为 t 秒 . 若使 BPQ 为直角三角形，请求出所有符合条件的 t 值； 求 t 为何值时，四边形 ACQP 的面积有最小值，最小值是多少？ (3)如图 2，当动点 P 运动到 OB 的中点时，过点 P作 PDx 轴，交抛物线于点 D，连接 OD，OM， MD得 ODM ，将 OPD 沿 x轴向左平移 m个单位长度 (0 m 2)，将平移后的三角形与 ODM重叠部分的面积记为 S，求 S 与 m 的函数关系式 . 解析： (1)因为当 x=-1 和 x=3 时， y 的值相等，所以抛物线的对称轴为直线 x=1，将 x=1和x=6 分别代
38、入 15 2184yx中，可求得抛物线的顶点坐标和与直线另一交点的坐标，然后设出抛物线的顶点式，最后将 (6， 6)代入即可求得抛物线的解析式； (2) 先求得 A( 2， 0)， B(4， 0)， C(0， -3)，从而可得到 OA=2， OB=4； OC=3，由勾股定理知 BC=5，有 PQB=90 或 BPQ=90 两种情况：当 PQB=90 时，可得 PQBCOB ，当BPQ=90 时，可得 BPQBOC ； 过点 Q 作 QGAB 于 G，能够等到 BGQBOC ，可求得 GQ=65t然后 S 四边形 ACQP=SABC -SBPQ =9 221 2 3 3 3 325 5 5 5t
39、 t t ，从而可求得四边形的面积的最值； (3)先求得点 D 的坐标，然后根据平移与坐标变换的关系得出点 P1(2-m， 0)， D1(2-m， -3)，E(2-m， -3+32m)， 当 1009m 时，作 FH 轴于点 H， S 四边形 ACQP=SABC -SBPQ ；当 10 29 m 时，设 D1P1交 OM 于点 F， SOEF= 2211 1 1 5 1 5222 2 8 1 6E F O P m m . 答案： (1) 当 x=-1 和 x=3 时， y 的值相等， 抛物线的对称轴为直线 x=1，把 x=1和 x=6分别代入 15 2184yx中，得顶点 M(1， 278)，
40、另一个交点坐标为 (6， 6)， 则可设抛物线的表达式为 y=a(x-1)2-278，将 (6， 6)代入其中，解得 a=38， 抛物线的表达式为 23 2 7188yx ，即 233 384y x x (2)如下图： 当 y=0 时， 233 3084xx . 解得： x1=-2， x2=4. 由题意可知： A(2， 0)， B(4， 0)， 所以 OA=2， OB=4； 当 x=0 时， y=-3， 所以点 C(0， -3)， OC=3， 由勾股定理知 BC=5， OP=1t=t ， BQ=2t=2t ， PBQ 是锐角， 有 PQB=90 或 BPQ=90 两种情况：当 PQB=90 时
41、，可得 PQBCOB ， BQ PBBO CB， 2445tt， t= 87； 当 BPQ=90 时，可得 BPQBOC ， BQ PBBC OB， 2454tt， t= 2013； 由题意知 0t2.5 ， 当 t=87或 t=2013时，以 B， P， Q 为顶点的三角形是直角三角形 过点 Q 作 QGAB 于 G， BGQBOC ， GQ BQOC BC， 235GQ t， GQ= 65t， S 四边形 ACQP=SABC -SBPQ = 1 1 1 1 66 3 42 2 2 2 5A B B C P B Q G t t =9 221 2 3 3 3 325 5 5 5t t t .
42、35 0， 四边形 ACQP 的面积有最小值， 又 t=2 满足 0t2.5 ， 当 t=2 时，四边形 ACQP 的面积最小，最小值是 335； (3)如下图， 由 OB=4 得 OP=2，把 x=2 代入 233 384y x x 中，得 y=-3， 所以 D(2， -3)， 直线 CDx 轴， 设直线 OD 的解析式为 y=k1x， 则 k1=-32，所以 y=-32x， 因为 P 1O1D1是由 POD 沿 x 轴 向左平移 m 个单位得到的，所以 P1(2-m， 0)， D1(2-m， -3)，E(2-m， -3+32m) 设直线 OM 的解析式为 y=k2x， 则 k2= 278，
43、 所以 278yx. 当 1009m 时，作 FH 轴于点 H，由题意 O1(-m， 0)， 又 O 1D1OD ， 直线 O1D1的解析式为 3322y x m . 联立方程组2783322yxy x m ， 解得452710xmym ， 所以 4 2 75 1 0F m m， 所以 2710FH m， 111 11 112121 2 7 1 332 1 0 2 221310O O F D D EO F D E O O D DS S O O OS C O Om m m m mmSm 四 形 四 形边 边. 如下图， 当 10 29 m 时，设 D1P1交 OM 于点 F，直线 OM的解析式为 y=-278x， 所以 F(2-m， 27 28 m)， 所以 EF= 15 28 m， S OEF= 2211 1 1 5 1 5222 2 8 1 6E F O P m m 综上所述， S= 222 1 1 0301 0 91 5 1 0221 6 9m m mmm .
