1、 2013 年梧州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均的零分） 1. = （ ） A.6 B.7 C.8 D.10 2.化简： a+a=（ ） A.2 B.a2 C.2a2 D.2a 3. sin300=（ ） A.0 B.1 C. D. 4.如图 1，直线 AB CD， AB、 CD 与直线 BE 分别交与点 B、 E， B=70， BED=（ ） A.1100 B.500 C.600 D.700 5.如图 2， ABC 以点 O 为 旋转中心，旋转 1800 后
2、得到 ABC.ED 是 ABC的中位线，经旋转后为 线段 ED.已知 BC=4，则 ED=（ ） A.2 B. 3 C.4 D.1.5 6.如图 3，由四个正方体组成的图形，观察这个图形，不能得到的平面图形是 （ ） 7.如图 4，在菱形 ABCD 中，已知 A=600， AB=5，则 ABD 的周长是 （ ） A.10 B. 12 C.15 D.20 8.以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是 （ ） A.2cm， 3cm， 4cm B. 2cm， 3cm， 5cm C. 2cm， 5cm， 10cm D. 8cm， 4cm， 4cm 9.如图 5，把矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，若
3、 1=200，则 2=（ ） A. 800 B. 700 C. 400 D. 200 10.小李是 9 人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从 1 开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是 （ ） A. B. C. D. 11.如图 6， AB 是 O 的直径， AB 垂直于弦 CD， BOC=700，则 ABD=（ ） A. 200 B. 460 C. 550 D. 700 12.父子两人沿周长为 a 的圆周骑自行车匀速行驶 .同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为 11 倍 .已知儿子的速度为 v，则父亲的速度为 （ ） A.1.1v B. 1.2v C.1.3v D.1.
4、4v 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13.计算： 0-7= . 14.若反比例函数 kyx的图象经过点（ 2， 4），则 k 的值为 . 15.若一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，则此三角形的周长扩大为原来的 倍 . 16.因式分解： ax2-9a= . 17.若一条直线经过点（ -1， 1）和点（ 1， 5），则这条直线与 x 轴的交点坐标为 . 18.如图 7， AC BC， AC=BC=4，以 AC为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心， BC为半径作AB .过点 O 作 BC的平行线交两弧于点 D、 E，则阴影部分的面积是 . 三、解答题（
5、本大题共 8 分，满分 66 分 .） 19.解方程： x x x . 20.如图，已知： AB CD， BE AD， 垂足为点 E， CF AD，垂足为点 F，并且 AE=DF. 求证：四边形 BECF 是平行四边形 . 21.某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下： （ 1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人 将被录取 . （ 2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们 6 和 4 的权 .计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取 . 22.某工厂现在平均
6、每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需的时间与原计划生产450 台机器所需的时间 相同，现在每天生产多少台机器？ 23.海上有一小岛，为了测量小岛两端 A、 B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知 B 点是 CD 的中点， E 是 BA 延长线上的一点，测得 AE=8.3 海里， DE=30 海里，且 DE EC，cos D=. （ 1）求小岛两端 A、 B 的距离； （ 2）过点 C 作 CF AB 交 AB 的延长线于点 F，求 sin BCF 的值 . 24.我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价 15 元，售价 20 元；乙种每件进价 35 元
7、，售价 45 元 . （ 1）若商家同时购进甲、乙两种商品 100 件，设甲商品购进 x 件，售完此两种商品总利润为 y 元 .写出 y 与 x 的函数关系式 . （ 2）该商家计划最多投入 3000 元用于购进此两种商品共 100 件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？ （ 3） “五 一 ”期间，商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动，小王到该商场一次性付款 324元购买此类商品，商家可获得的最小利润和最大利润各是多少？ 25.已知，点 C 在以 AB 为直径的半圆上， CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D， O 经过 A、 D 两点，且圆心
8、O 在 AB 上 . （ 1）求证： BD 是 O 的切线 . （ 2）若 ACAB ， BC ，求 O 的面积 . 26.如图，抛物线 y=a(x-h)2+k 经过点 A（ 0， 1），且顶点坐标为 B（ 1， 2），它的对称轴与 x 轴交于点C. （ 1）求此抛物线的解析式 . （ 2）在第一象限内的抛物线上求点 P，使得 ACP 是以 AC 为底的等腰三角形，请求出此时点P 的坐标 . （ 3）上述点是否是第一象限内 此 抛物线上与 AC距离最远的点，若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与 AC距离最远的点的坐标 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
9、A D C D A D C A B B C B 13. -7 14. 8 15. 5 16. a(x+3)(x-3) 17. （ -1.5， 3） 18. - 19. 解： x x x xx x x 20. 证明： BE AD， BE AD， AEB= DFC=900， AB CD， A= D， 又 AE=DF， AEB DFC， BE=CF. BE AD， BE AD， BE CF. 四边形 BECF 是平行四边形 . 21. 解：（ 1）甲； （ 2）甲的平均成绩为：（ 856+924 ） 10=87.8 （分） 乙的平均成绩为：（ 916+854 ） 10=88.6 （分） 丙的平均成绩
10、为：（ 806+904 ） 10=84 （分） 显然，乙的平均分数最高，所以乙将被录取 . 22. 解：设现在每天生产 x 台机器，则原计划每天生产（ x-50）台机器 .依题意，得： xx 解之，得： x=200 经检验： x=200 是所列方程的解 . 答：现在每天生产 200 台机器 . 23. 解：（ 1）在 Rt CED 中， CED=900， DE=30 海里， cos D= DECD ， CE=40（海里）， CD=50（海里） . B 点是 CD 的中点， BE=CD=25（海里） AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里） . 答：小岛两端 A、 B 的距离为 16.7
11、 海里 . （ 2）设 BF=x 海里 . 在 Rt CFB 中， CFB=900， CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2. 在 Rt CFE 中， CFE=900， CF2+EF2=CE2，即 625-x2+（ 25+x） 2=1600. 解之，得 x=7. sin BCF= BFBC . 24. 解：（ 1） y=(20-15)x+(45-35)(100-x)=-5x+1000 （ 2） 15x+35(100-x)3000 ，解之，得 x25. 对 y=-5x+1000， k=-5 0， y 随 x 的增大而减小 . 当 x 最小 =25 时， y 最大 =-525+1000
12、=875 （元） 至少要购进 25 件甲种商品；若售完这些商品，商家可获得的最大利润是 875 元 . （ 3） 设购买甲种商品 m 件，购买乙种商品 n 件 . 当打折前一次性购物总金额不超过 400 时，购物总金额为 3240.9= 360（元） . 则 20m+45n=360， mn ， n . n 是 4 的倍数， n=4. m=9. 此时的利润为： 324-（ 15 9+35 4） =49（元） . 当打折前一次性购物总金额超过 400 时，购物总金额为 3240. 8=405（元） . 则 20m+45n=405， - nm ， n . m、 n 均是正整数， m=9， n=5 或
13、 m=18， n=1. 当 m=9， n=5 的利润为： 324-（ 9 15+5 35） = 14（元）； 当 m=18， n=1 的利润为： 324-（ 18 15+1 35） = 19（元） . 综上所述， 商家可获得的最小利润 是 14 元， 最大利润各是 49 元 . 25. 解： （ 1）连接 OD. AB 为直径 ， ACB=900， OA=OD， ODA= OAD， AD 平分 CAB， OAD= CAD， ODA= CAD， OD AC， ODB= ACB=900， BD 是 O 的切线 . （ 2） ACAB ， AB=4AC， BC2=AB2-AC2， 15AC2=80，
14、 AC= ， AB=4 . 设 O 的半径为 r， OD AC， BOD BAC，ACODABOB 31631644164rr ，解得： r=15316 r2= 215 316 ）（= 75256， O 的面积 为 75256. 26. 解： （ 1） 抛物线 y=a(x-h)2+k 顶点坐标为 B（ 1， 2）， y=a(x-1)2+2， 抛物线经过点 A（ 0， 1）， a(0-1)2+2=1， a=-1， y=- (x-1)2+2=-x2+2x+1. （ 2） A（ 0， 1）， C 的坐标为（ 1， 0） OA=OC， OAC 是等腰直角三角形 过点 O 作 AC 的垂线 l， 根据等
15、腰三角形的“三线合一”知： l 是 AC 的中垂线， l 与抛物线的交点即为点 P.如图， 直线 l 的解析式为 y=x， 解方程组122 xxyxy 得得 x ， -=x （舍） 当 +=x 时， y . 点 P 的坐标为（ ， ） . （ 3）点 P 不 是第一象限内 此 抛物线上与 AC 距离最远的点 . 由（ 1）知，点 C 的坐标为（ 1， 0） . 设直线 AC 为 y=kx+b，则 bkb ，解之，得 kb， 直线 AC 为 y=-x+1. 设与 AC 平行的直线的解析式为 y=-x+m. 解方程组122 xxymxy 代入消元，得 -x2+2x+1=-x+m， 此点 与 AC 距离最远 ， 直线 y=-x+m 与抛物线有且只有一个交点， 即方程 -x2+2x+1=-x+m 有两个相等的实数根 . 整理方程得： x2-3x+ m- 1=0 =9-4（ m- 1） =0，解之得 m=. 则 x2-3x+- 1=0，解之得 xx，此时 y=. 第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点的坐标 为（，） .
