1、2013届辽宁沈阳二中等重点中学协作体高三领航高考预测（一）理数学卷（带解析） 选择题 设 A是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么 是 A的一个 “孤立元 ”，给定 ，由 S的 3个元素构成的所有集合中，不含 “孤立元 ”的集合共有（ ）个 A 4 B 5 C 6 D 7 答案： C 试题分析：由 S=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，结合 k A，如果 k-1 A且 k+1 A，那么 k是 A的一个 “孤立元 ”，用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案： 解：依题意可知，没有与之相邻的元素是 “孤立元 ”，因而无 “孤立元 ”是指在集合中有与 k相邻的元素因此，
2、符合题意的集合是： 1， 2， 3， 2， 3， 4，3， 4， 5， 4， 5， 6， 5， 6， 7， 6， 7， 8共 6个，故选 C 考点：新定义的运用 点评：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力属于创新题型列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏 设 是 (n2且 n N)的展开式中的一次项的系数，则的值为（ ） . 18 B.17 C.-18 D. 19 答案： A 试题分析：根据题意，由于 是 的展开式中 x的一次项的系数，可知为 得到其一次项的系数为所以 故选 A. 考点：二项式定理的运用 点评：解决的关键是利用裂项法求
3、和，结合二项式定理来解得。 已知函数 与函数 ，若 与 的交点在直线的两侧，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设 y=x与 f（ x）的交点为 A和 A，由 x= 得： x=8，所以 A和 A的坐标分别是（ 8， 8）和（ -8， -8），设 f（ x）与 g（ x）的交点为 B和 B，此两动点随着 g（ x） = 图象上下平移而变动， 也就 B和 B位置随 t值的变化而在双曲线 y= 上移动 ,如图， f（ x）与 g（ x）的交点在直线 y=x 的两侧，必须 B 在 A 的右侧，B在 A的左侧， 设 y=x与 g（ x）的交点为 C和 C，则 C和 C的横坐
4、标要在（ -8， 8）区间内， 也就是方程 =x的解在（ -8， 8）区间内，由图可知： 当 t=6时， f（ x） = ， g（ x） = ， y=x，三线共点（ 8， 8）； 当 t=-6时， f（ x） = ， g（ x） = ,y=x，三线共点（ -8， -8）； 所以 t的取值范围是（ -6， 6）故选 B 考点：函数图像 的交点问题 点评：本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，考查了函数的图象，灵活运用数形结合是解答此题的关键，此题是中档题，也是易错题 已知椭圆 ，过椭圆右焦点 F的直线 L交椭圆于 A、 B两点，交 y轴于 P点。设 ,则 等于（ ） A. B. C. D. 答
5、案： B 试题分析：设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论 由题意 a=5， b=3， c=4，所以 F点坐标为（ 4， 0） 设直线 l方程为： y=k（ x-4）， A点坐标为（ x1， y1）， B点坐标为（ x2， y2），得 P点坐标（ 0， -4k）， 因为 ，所以（ x1， y1+4k） =1（ 4-x1， -y1） 因为 ，所以（ x2， y2+4k） =2（ 4-x2， -y2） 得到 ,直线方程代入椭圆 中，得到 故选 B 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 身穿红
6、、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A 24种 B 28种 C 36种 D 48种 答案： D 试题分析：由题意知先使五个人的全排列，共有 A55种结果，去掉相同颜色衣服的人都相邻的情况，再去掉仅穿蓝色衣服的人的相邻和仅穿穿黄色衣服的人相邻两种情况，从而求得结果 由题意知先使五个人的全排列，共有 种结果 去掉同颜色衣服相的人都相邻的情况，再去掉仅穿蓝色相邻和仅穿黄色相邻的两种情况 穿相同颜色衣服的人都相邻的情况有 种（相邻的看成一整体）， 当穿兰色衣服的相邻，而穿黄色衣服的人不相邻，共有 种（相邻的看成
7、一整体，不相邻利用插空法），同理当穿黄色衣服的相邻，而穿兰色衣服的人不相邻，也共有 种， 穿相 同颜色衣服的人不能相邻的排法是 - -2 =48， 故答案： D 考点：排列组合的运用 点评：本题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉 已知 上是减函数，那么 （ ） A有最小值 9 B有最大值 9 C有最小值 -9 D有最大值 -9 答案： D 试题分析：先对函数 f（ x）求导，然后令导数在 -1， 2小于等于 0即可求出b+c的关系，得到答案： 由由 f（ x）在 -1， 2上是减函数，知 恒成立，则可知 然后整体利
8、用不等式性质可知， 有最大值 -9，故选 D 考点：导数在研究函数中的运用 点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于 0时原函数单调递增，当导函数小于 0时原函数单调递减 已知 的反函数，若 ，则的图象大致是（ ）答案： A 试题分析：根据题意可知 的反函数，同时，则说明 ,同时说明了底数大于 1，那么可知过定点即为原点，同时递减函数，故选 A. 考点：反函数的运用 点评：解决该试题的关键是理解表达式的代表的图像之间的关系，进而求解得到结论，属于中档题，易错点就是平移的方向。 已知正三棱锥 的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥内任取一点 ，使得 的概率是（
9、） A B C D 答案： A 试题分析：本题利用几何概型解决根据题中条件： ”得点 P所在的区域为棱锥的中截面以下，结合大棱锥与小棱锥的体积比即可求得结果。 由题意知，当点 P在三棱锥的中截面以下时，满足 ，故使得的概率为 P= ,故选 A 考点：几何概型概率的求解 点评：本题主要考查了几何概型划，以及空间想象能力，属于基础题简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型，解本题的关键是理解体积比是相似比的平方 在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，且 ，则角 A的大小为 ( ) A.
10、B. C. D. 答案： C 试题分析：利用正弦定理化边为角，再切化弦，利用和角的公式，化简求解角A. 根据 由此得到角 A为 ，选 C. 考点：解三角形的运用 点评：本试题考查了正弦定理的运用，考查两角和差的正弦公式，解题的关键是利用正弦定理化边为角。 设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A B 5 C D 答案： D 试题分析： 先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于 0求得 a和 b的关系，进而求得 a和 c的关系，则双曲线的离心率可得解：因为依题意可知双曲线渐近线方程为 ,与抛物线方程联立消去 y得 故可
11、知选 D. 考点：双曲线方程以及性质 点评：本题主要考查了双曲线的简单性质 和圆锥曲线之间位置关系常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题 设复数 （ 是虚数单位），则（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为有 而复数 ,则所求的即为 ,故选 B. 考点：复数与二项式定理的运用 点评：解决该试题的关键是根据二项式定理合并关系式，然后求解运算，属于基础题 填空题 下面四个命题： 把函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象 ; 函数 的图象在 x=1处的切线平行于直线 y=x，则 是f(x)的单调递增区间 ; 正方体的内切球与其外接球的表面积之比为 1 3; “a=
12、2”是 “直线 ax+2y=0平行于直线 x+y=1”的充分不必要条件。 其中所有正确命题的序号为 。 答案： 试题分析：对于 把函数 的图象向右平移 个单位，得到的图象 ;因此错误 函数 的图象在 x=1处的切线平行于直线 y=x，则可知，因此可知，可知导函数大于零的解为 x ，因此成立。 正方体的内切球与其外接球的表面积之比为 1 3;根据内切球的半径为棱长的一半 ，而外接球的半径是 ，代入公式可知满足题意，因此成立。 “a=2”是 “直线 ax+2y=0平行于直线 x+y=1”的充要条件。因此错误。故填写 考点：导数以及球的知识综合运用。 点评：本题综合了导数的几何意义、运用导数判断函数
13、的单调性和球的内接外切等知识点，考查了命题真假的判断，属于中档题 函数 在区间 上不单调，则 的取值范围 ； 答案： 试题分析：根据式为函数 y=|2x-1|画出函数的图象，根据图象写出单调增区间 解： 函数 ，其图象如图所示， 由图象知， 函数 y=|2x-1|在区间（ k-1， k+1）内不单调， 则： -2 k-1 0， 则 k的取值范围是（ -1， 1），故答案：为：（ -1， 1） 考点：函数单调性的运用 点评：此题是个基础题考查根据函数图象分析观察函数的单调性，体现分类讨论与数形结合的数学思想方法 函数 ，又 ， 且 的最小值等于 ，则正数 的值为 _ 答案： 试题分析：根据题意将
14、函数化为单一三角函数，即，然后根据又 ， 得到 ，然后对于 k令值来得到 的最小值等于 ，可知正数 为 ，故答案：为 。 考点：三角函数的性质 点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，属于中档题 已知函数 ，则实 数 a值是_ 答案： 试题分析：根据题意可知 ，函数 ，则说明函数关于直线 x=2对称，则可知 ax-1=0,x= ,那么可知答案：为 。 考点：函数的性质运用 点评：解决的关键是对数关系式的理解，对应到性质上的运用。属于基础题。 解答题 极坐标方程为 的直线与 轴的交点为 ，与椭圆 （ 为参数）交于 求 答案： 试题分析：直线 的直角坐标方程是 ，
15、直线与 轴交于 ，直线的斜率为 ， 直线的参数方程为 （ 为参数） ， 椭圆的普通方程为： 代入 得： ，根据直线参数方程的几何意义知 考点：直线的参数方程 点评：解决该试题的关键是利用直线的参数方程中 t的几何意义来求解长度之积，属于基础题。 （本小题满分 10分） 如图， AB是 O 的直径 ， AC 是弦 ， BAC的平分线 AD交 O 于点 D，DE AC，交 AC 的延长线于点 E.OE交 AD于点 F. （ 1）求证： DE是 O 的切线； （ 2）若 ，求 的值 . 答案：（ 1）结合同弧所对的圆周角相等来求解直线 DE OD，同时 OD是圆的半径来说明是切线 （ 2）根据题意可
16、知 AED ADB可得 AD2=AC AB 求解得到 AE，又由 AEF DOF，得到比值。 试题分析：略证 （） 连结 OD，可得 ODA= OAD= DAC 2 分 OD AE 又 AE DE 3 分 DE OD，又 OD为半径 DE是的 O 切线 5 分 提示：过 D作 DH AB于 H 则有 DOH= CAB Cos DOH=cos CAB= 6 分 设 OD=5x，则 AB=10x， OH=3x， DH=4x AH=8x AD2=80x2 由 AED ADB可得 AD2=AC AB=AC 10x AE=8X8 分 又由 AEF DOF 可得 AF DF= AE OD = ； = 10
17、 分 考点：圆的切线问题，以及相似比的运用。 点评：解决该试题的关键是利用垂直关系证明相切同时利用相似比来求解比值问题，属于基础题。 (本小题满分 12分 )已知数列 各项均不为 0，其前 项和为 ，且对任意都有 （ 为大于 1的常数），记 (1) 求 ； (2) 试比较 与 的大小（ ）； (3) 求证： 答案：（ 1） （ 2）由 (1)可得 ，结合整体思想来得到比较大小 （ 3）由 (2)知 ， ，（ ）结合放缩法来得到证明。 试题分析：解： (1) ， - ，得 ，即 （ 3分） 在 中令 ， 可得 是首项为 ，公比为 的等比数列， （ 4分） (2) 由 (1)可得 ， （ 5分）
18、而 ，且 ， ， ，（ ）（ 8分） (3) 由 (2)知 ， ，（ ） 当 时， ，（ 10分）（当且仅当 时取等号） 另一方面，当 ， 时， ， ，（当且仅当 时取等号）（ 13 分） （当且仅当 时取等号） 综上所述， ，（ ）（ 14分） 考点：数列的综合运用 点评：考查了数列的通项公式与前 n项和关系的运用，以及能结合已知给定的不等式来放缩法得到证明。 (本小题满分 12分 )己知 、 、 是椭圆 ： （ ）上的三点，其中点 的坐标为 ， 过椭圆的中心，且 ，。 （ ）求椭圆 的方程； （ ）过点 的直线 (斜率存在时 )与椭圆 交于两点 ， ，设 为椭圆与 轴负半轴的交点，且 ，求
19、实数 的取值范围 答案： (1) (2) 试题分析： .解：（ ） 且 过 ，则 ， ，即 2 分 又 ，设椭圆 的方程为 ， 将 C点坐标代入得 ， 解得 ， 椭圆 的方程为 5 分 （ ）由条件 ， 当 时，显然 ； 6 分 当 时，设 ： ， ，消 得 由 可得， 8 分 设 ， ， 中点 ，则 ，, 10 分 由 ， ，即 。 ， 化简得 将 代入 得， 。 的范围是 。 综上 12 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：解决该试题的关键是利用性质得到 a,b， c的关系式，进而结合韦达定理和垂问题得到参数的方程，然后得到范围。属于基础题。 （本小题满分 12分）已知 f(x)= (x R
20、)在区间 -1， 1上是增函数 . （ ）求实数 a的值组成的集合 A； （ ）设关于 x的方程 f(x)= 的两个非零实根为 x1、 x2.试问：是否存在实数 m，使得不等式 m2+tm+1|x1-x2|对任意 a A及 t -1， 1恒成立？若存在，求 m的取值范围；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） A=a|-1a1（ 2） m|m2，或 m-2. 试题分析：解：（ ） f (x)= = ， f(x)在 -1， 1上是增函数， f (x)0对 x -1， 1恒成立， 即 x2-ax-20对 x -1， 1恒成立 . 设 (x)=x2-ax-2， 对 x -1， 1， f(x)是连续
21、函数，且只有当 a=1时， f (-1)=0以及当 a=-1时，f (1)=0, A=a|-1a1. （ ）由 = ，得 x2-ax-2=0， =a2+80 x1， x2是方程 x2-ax-2=0的两非零实根， 从而 |x1-x2|= = . -1a1， |x1-x2|= 3. 要使不等式 m2+tm+1|x1-x2|对任意 a A及 t -1， 1恒成立， 当且仅当 m2+tm+13对任意 t -1， 1恒成立， 即 m2+tm-20对任意 t -1， 1恒成立 . 设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)， g(-1)=m2-m-20， g(1)=m2+m-20， n m2或 m-
22、2. 所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x1-x2|对任意 a A 及 t -1， 1恒成立，其取值范围是 m|m2，或 m-2. 考点：函数与方程，以及不等式的综 合 点评：解决该试题的关键是利用的单调性分离参数的思想得到参数 a的范围，同时利用不等式的恒成立来分析得到 m的范围，属于中档题。 (本小题满分 12分 ) 已知一个四棱锥的三视图如图所示，其中，且 , 分别为 、 、 的中点 （ 1）求证： PB/平面 EFG （ 2）求直线 PA与平面 EFG所成角的大小 （ 3）在直线 CD上是否存在一点 Q，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 CQ的长；若不存在，请说明理由。
23、答案： (1)根据已知中的线线平行来证明得到线面平行的证明。 (2) (3) 试题分析：解：（ 1）取 AB中点 M， EF/AD/MG EFGM共面， 由 EM/PB,PB 面 EFG， EM 面 EFG，得 PB/平面 EFG 4 分 （ 2）如图建立直角坐标系， E(0,0,1),F(1,0,1),G(2,1,0) =(1,0,0), =(1,1,-1), 设面 EFG的法向量为 =（ x,y,z）由 得出 x=0, 由 得出 x+y-z=0 从而 =（ 0,1,1） ,又 =(0,0,1),得 cos = = （ 为 与 的夹角）=45o 8 分 （ 3）设 Q(2,b,0)，面 EF
24、Q 的法 向量为 =（ x,y,z）， =(2,b,-1) 由 得出 x=0, 由 得出 2x+by-z=0，从而 =（ 0,1,b） 面 EFD的法向量为 =（ 0,1,0），所以 ，解得， b= CQ= 12 分 考点：空间中点线面的位置关系的运用 点评：解决该试题的关键是利用向量法合理的建立直角坐标系，然后借助于平面的法向量，以及直线的方向向量来求解二面角的问题。同时能熟练的运用线面的垂直的判定呢性质定理解题，属于中档题。 （本小题满分 12 分）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有 5 次选题答题的机会，选手累计答对 3 题
25、或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答错 3题者则被淘汰，已知选手甲答题连续两次答错的概率为 ，（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响。）（ I）求甲选手回答一个问题的正确率；（ ）求选手甲可进入决赛的概率；（ ）设选手甲在初赛中答题的个数为 ，试写出 的分布列，并求 的数学期望。 答案：（ 1） （ 2） （ 3）试题分析：解：（ 1）设甲选手 答对一个问题的正确率为 ，则 故甲选手答对一个问题的正确率 3分 （ ）选手甲答了 3道题目进入决赛的概率为 = 4分 选手甲答了 4道题目进入决赛的概率为 5分 选手甲答了 5道题目进入决赛的概率为 6分
26、选手甲可以进入决赛的概率 7分 （ ） 可取 3， 4， 5则有 8分 9分 10分 3 4 5 故 12分 考点：独立事件的概率和二项分布的运用 点评：解决该试题的关键是能理解独立事件的概念分情况来求解概率值，同时能结合独立重复试验的概率公式求解分布列和期望值。属于基础题。 已知函数 （ 1）画出函数 的图象，写出函数 的单调区间； （ 2）解关于 的不等式 答案： (1) 单调递减区间是 ，单调递增区间是 (2) 当 时， 恒成立，即不等式的解为 ； 当 时，不等式的解为 ； 当 时，不等式的解为 试题分析： 画出函数 的图象如图中的折线，其单调递减区间是 ，单调递增区间是 （ 2）结合图象可知： 当 时， 恒成立，即不等式的解为 ； 当 时，不等式的解为 ； 当 时，不等式的解为 考点：绝对值函数 点评：利用去掉绝对值符号来得到函数式，结合函数性质来得到不等式的解集，属于基础题。
