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【考研类试卷】考研数学一-线性代数(一)及答案解析.doc

1、考研数学一-线性代数(一)及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:10.00)1.设 A 是三阶矩阵,其中 a 11 0,A ij =a ij (A ij 为 a ij 的代数余子式),i=1,2,3,j=1,2,3,则|2 A T |=_(分数:1.00)A.0B.2C.4D.82.列命题中, (1)如果矩阵 AB=E,则 A 可逆且 A -1 =B; (2)如果 n 阶矩阵 A,B 满足(AB) 2 =E,则(BA) 2 =E; (3)如果矩阵 A,B 均 n 阶不可逆,则 A+B 必不可逆; (4)如果矩阵 A,B 均 n 阶不可逆,则 AB

2、 必不可逆 正确的是_(分数:1.00)A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)3.设 i =(a i ,b i ,c i ) T ,i=1,2,3,=(d 1 ,d 2 ,d 3 ) T ,则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是(分数:1.00)A.r(1,2,3)=1,r(1,2,3,)=2B.r(1,2,3)=2,r(1,2,3,)=3C.1,2,3 中任意两个均线性无关,且 不能由 1,2,3 线性表出

3、D.1,2,3 线性相关,且 不能由 1,2,3 线性表出4.设 A 是 mn 矩阵,A T 是 A 的转置,若 1 , 2 , t ,是齐次方程组 A T x=0 的基础解系,则 r(A)=_(分数:1.00)AtB.n-tC.m-tD.n-m5.设 n 阶可逆矩阵 A 的列向量为 1 , 2 , n ,n 阶矩阵 B 的列向量为 1 , 2 , n ,若 1 = 1 + 2 , 2 = 2 + 3 , n = n + 1 ,则矩阵 B 的秩_(分数:1.00)A.必为 nB.必为 n-1C.为 n 或 n-1D.小于 n-16.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B,那么下列命题中正确的

4、是_(分数:1.00)A.A 与 B 有相同的特征值B.Ax=b 是 BX=b 同解方程组C.A 与 B 的行向量是等价向量组D.A 与 B 有相同的特征向量7.设矩阵 (分数:1.00)A.a=b=1B.a=b=-1C.a-b0D.a+b=08.设 A 为三阶矩阵, 是三阶可逆阵,且 则 A 与下列哪个矩阵相似_ A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.9.设 n 阶实对称矩阵 A,B 均可逆,则下列命题错误的是_(分数:1.00)A.存在可逆矩阵 P,Q,使 PAQ=BB.AB 相似于 BAC.A2 合同于 B2D.A 合同于 B10.设矩阵 (分数:1.00)A.合同且相似B.

5、合同,但不相似C.不合同,但相似D.既不合同,也不相似二、解答题(总题数:15,分数:90.00)11.设 n 阶方阵 求| A |中所有元素的代数余子式之和 (分数:6.00)_12.计算 n 阶行列式 (分数:6.00)_13.设 (分数:6.00)_14.已知 A= T -3E,其中 (分数:6.00)_设 A、B、AB-E 均为 n 阶可逆矩阵(分数:6.00)(1).若 A 为反对称矩阵,证明矩阵对于任意非零常数 C,A+CE 恒可逆;(分数:3.00)_(2).求(A-B -1 ) -1 -A -1 的逆矩阵(分数:3.00)_15.设矩阵 A 的伴随矩阵 ,且矩阵 A、B 满足

6、(分数:6.00)_16.已知矩阵 X 满足 A -1 X+BA -1 =X+E-A+B,且 A、B 如下: (分数:6.00)_已知线性方程组 (分数:6.00)(1). 1 能否由 2 , 3 , 4 线性表出(分数:3.00)_(2). 4 能否由 1 , 2 , 3 线性表出,并说明理由(分数:3.00)_17.设 n 维向量组 1 , 2 , m (mn)线性无关,向量组 1 , 2 , m , 1 线性相关,向量组 1 , 2 , m , 2 的秩为 m+1证明:向量组 1 , 2 , m ,l 1 + 2 线性无关(其中 l 为常数) (分数:6.00)_18.设 A 为 4 阶

7、方阵,有 4 个不同的特征值 1 , 2 , 3 , 4 ,对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 , 4 ,令 = 1 , 2 , 3 , 4 证明:,A,A 2 ,A 3 线性无关 (分数:6.00)_19.已知 1 =(1,0,2,3), 2 =(1,1,3,5), 3 =(1,-1,a+2,1), 4 =(1,2,4,a+8)及=(1,1,b+3,5) (1)a,b 为何值时, 不能表示为 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合 (2)a,b 为何值时, 有 1 , 2 , 3 , 4 的唯一线性表达式,并写出该表达式 (分数:6.00)_20.已知 1 =(1,2,0,-1) T

8、, 2 =(0,1,-1,0) T , 3 =(2,1,3,-2) T ,试把其扩充为 R 4 的一组规范正交基 (分数:6.00)_21.设齐次线性方程组 (分数:6.00)_22.设矩阵 A=( 1 , 2 , 3 ),线性方程组 Ax= 的通解是(1,-2,0) T +k(2,1,1) T ,k 为任意实数,若 B=( 1 , 2 , 3 ,-5 3 ),求方程组 By=+ 3 的通解 (分数:6.00)_23.已知方程组 (分数:6.00)_考研数学一-线性代数(一)答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:10.00)1.设 A 是三阶矩阵,

9、其中 a 11 0,A ij =a ij (A ij 为 a ij 的代数余子式),i=1,2,3,j=1,2,3,则|2 A T |=_(分数:1.00)A.0B.2C.4D.8 解析:解析 |2 A T |=2 3 | A T |=8| A | 故 A * = A T AA * = AA T =| A |E,两边取行列式,得 | AA T |=| A | 2 =| A |E|=| A | 3 , 得 | A | 2 (| A |-1)=0, 2.列命题中, (1)如果矩阵 AB=E,则 A 可逆且 A -1 =B; (2)如果 n 阶矩阵 A,B 满足(AB) 2 =E,则(BA) 2 =

10、E; (3)如果矩阵 A,B 均 n 阶不可逆,则 A+B 必不可逆; (4)如果矩阵 A,B 均 n 阶不可逆,则 AB 必不可逆 正确的是_(分数:1.00)A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4) 解析:解析 (1)如果 A,B 均为 n 阶矩阵,则命题成立,而题中没有给出 n 阶矩阵这一条件,故(1)不正确例如 显然 A 不可逆,类似地,对于 AB=E,虽然|AB|=1,但能否用行列式乘法公式呢?应检查 AB 是否为 n 阶矩阵,有的考生不注意公式成立时的条件,随意用公式是不妥的 (2)A,B 是 n 阶矩阵,(AB) 2 =E,即(AB)(AB)=E,可知 A

11、,B 均可逆 于是 ABA=B -1 ,从而 BABA=E,即(BA) 2 =E,即(2)正确 (3)设 虽然 A,B 都不可逆,但 3.设 i =(a i ,b i ,c i ) T ,i=1,2,3,=(d 1 ,d 2 ,d 3 ) T ,则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是(分数:1.00)A.r(1,2,3)=1,r(1,2,3,)=2B.r(1,2,3)=2,r(1,2,3,)=3C.1,2,3 中任意两个均线性无关,且

12、 不能由 1,2,3 线性表出 D.1,2,3 线性相关,且 不能由 1,2,3 线性表出解析:解析 对于 A:r( 1 , 2 , 3 )=1 表明三个平面的法向量平行,从而三个平面相互平行(或重合),又 r( 1 , 2 , 3 ,)=2 说明三个平面没有公共的交点,因而这三个平面两两平行,最多有两个重合 对于 B:当三个平面两两相互交成三条平行直线时,必有 r( 1 , 2 , 3 )=2,r( 1 , 2 , 3 ,)=3但当 r( 1 , 2 , 3 )=2,r( 1 , 2 , 3 ,)=3 时,有可能其中两个平面平行,第 3 个平面与它们相交,所以 B 是必要条件不充分 而 或

13、B,亦知 D 是必要条件,不充分 1 , 2 , 3 中任意两个均线性无关 任何两个平面都不平行即相交成一条直线,而 不能由 1 , 2 , 3 线性表出 4.设 A 是 mn 矩阵,A T 是 A 的转置,若 1 , 2 , t ,是齐次方程组 A T x=0 的基础解系,则 r(A)=_(分数:1.00)AtB.n-tC.m-t D.n-m解析:解析 由于 A 是 mn 矩阵,知 A T 是 nm 矩阵,那么 A T x=0 是 n 个方程 m 个未知数的齐次线性方程组,从而 m-r(A T )=t又因 r(A)=r(A T ),所以 r(A)=m-t,选 C5.设 n 阶可逆矩阵 A 的

14、列向量为 1 , 2 , n ,n 阶矩阵 B 的列向量为 1 , 2 , n ,若 1 = 1 + 2 , 2 = 2 + 3 , n = n + 1 ,则矩阵 B 的秩_(分数:1.00)A.必为 nB.必为 n-1C.为 n 或 n-1 D.小于 n-1解析:解析 依题得 则有 其中 6.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B,那么下列命题中正确的是_(分数:1.00)A.A 与 B 有相同的特征值B.Ax=b 是 BX=b 同解方程组C.A 与 B 的行向量是等价向量组 D.A 与 B 有相同的特征向量解析:解析 矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B,故有可逆矩阵 P,使 PA=B,对

15、 A,B 按行分块,有 从而 7.设矩阵 (分数:1.00)A.a=b=1B.a=b=-1C.a-b0D.a+b=0 解析:解析 A 的特征方程为 则 A 的特征值为 1 - 2 =1, 3 =-1由于对应于不同特征值的特征向量线性无关,所以当 A 有三个线性无关的特征向量时,对应于特征值 1 = 2 =1 应有两个线性无关的特征向量,从而 r(1E-A)=1由 8.设 A 为三阶矩阵, 是三阶可逆阵,且 则 A 与下列哪个矩阵相似_ A B C D (分数:1.00)A.B.C. D.解析:解析 观察知 可以由 B 作列变换得到 将 的 1、2 列互换,再将第 2 列乘以 2,第 3 列乘以

16、-1,得 AB,即 B 是可逆阵,则有 9.设 n 阶实对称矩阵 A,B 均可逆,则下列命题错误的是_(分数:1.00)A.存在可逆矩阵 P,Q,使 PAQ=BB.AB 相似于 BAC.A2 合同于 B2D.A 合同于 B 解析:解析 因 A,B 均为实对称矩阵且可逆,所以它们都与单位矩阵 E 等价,从而 A 等价于 B,即存在可逆矩阵 P,Q,使 PAQ=B选项 A 正确 A 可逆,则 A -1 (AB)A=(A -1 A)BA=BA,由相似的定义知选项 B 正确 A,B 均为 n 阶可逆的实对称矩阵,则它们的特征值均不为零,A 2 与 B 2 的特征值均大于 0,即 A 2 与 B 2 的

17、正惯性指数及秩均为 n,故 A 2 合固于 B 2 ,选项 C 正确 对于选项 D,由 A,B 均为实对称矩阵且可逆,不能确定其特征值的正负问题,即不能确定二者的惯性指数是否相同,因此无法判定二者合同故选 D10.设矩阵 (分数:1.00)A.合同且相似B.合同,但不相似 C.不合同,但相似D.既不合同,也不相似解析:解析 根据相似的必要条件: ,易见 A 与 B 肯定不相似,由此可排除 A 和 C 而合同的充分必要条件是:有相同的正惯性指数、负惯性指数,为此可以利用特征值来加以判断 由 二、解答题(总题数:15,分数:90.00)11.设 n 阶方阵 求| A |中所有元素的代数余子式之和

18、(分数:6.00)_正确答案:()解析:利用行列式展开定理,求出| A |中各行或各列元素的代数余子式之和,即求出 或求出 ,然后再相加,求出 即 i=1 时, 时, 12.计算 n 阶行列式 (分数:6.00)_正确答案:()解析:第一行、第一列均只有两个非零元素,不妨按第一列展开,得 13.设 (分数:6.00)_正确答案:()解析:将 A 分块为 ,则 ,因此要先求出 B 与 C 的 n 次幂其中 ,由于 所以 =2 或 =6 对于 =2: 对于 =6: 令 P=( 1 , 2 ),有 而 故 14.已知 A= T -3E,其中 (分数:6.00)_正确答案:()解析:令 B= T ,则

19、 A=B-3E,故 由于 r(B)=1, T =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =4,故 |E-B|= 3 -(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 2 = 2 (-4), B 的特征值为 4,0,0则 A 的特征值为 1,-3,-3,因此 A 可逆 B= T ,B 2 = T T =4B, B 2 =(A+3E) 2 =4B=4(A+3E), 展开得 整理得 设 A、B、AB-E 均为 n 阶可逆矩阵(分数:6.00)(1).若 A 为反对称矩阵,证明矩阵对于任意非零常数 C,A+CE 恒可逆;(分数:3.00)_正确答案:()解析:反证法 若 A+CE

20、 不可逆,则齐次方程组(A+CE)x=0 有非零解,设为 ,则 A=-C,0, 左乘 T 得 T A=-C T ,0 又因为 T A=( T A) T = T A T =- T A, 所以 T A=0 与式矛盾,故 A+CE 可逆(2).求(A-B -1 ) -1 -A -1 的逆矩阵(分数:3.00)_正确答案:()解析:(A-B -1 ) -A -1 =(A-B -1 ) -1 -(A-B -1 ) -1 (A-B -1 )A -1 =(A-B -1 ) -1 E-(A-B -1 )A -1 =(A-B -1 ) -1 (B -1 A -1 ) =AB(A-B -1 ) -1 =(ABA-

21、A) -1 所以 r(A-B -1 ) -1 -A -1 -1 =ABA-A15.设矩阵 A 的伴随矩阵 ,且矩阵 A、B 满足 (分数:6.00)_正确答案:()解析: 因为 所以原式化为 4ABA -1 =2AB+12E, 左乘 A * 得 4|A|BA -1 =2|A|B+12A * , 即 4BA * -4B=12A * , 所以 B(A * -E)=3A * , 故 B=3A * (A * -E) -1 , 16.已知矩阵 X 满足 A -1 X+BA -1 =X+E-A+B,且 A、B 如下: (分数:6.00)_正确答案:()解析:对式 A -1 X+BA -1 =X+E-A+B

22、 进行整理的: (A -1 -E)X=-BA -1 +E-A+B, (A -1 -E)X=(A-B)(A -1 -E) 因为 ,所以 ,可逆则 X=(A -1 -E) -1 (A-B)(A -1 -E) 又因为 易知 (A-B) 2 =6(A-B),(A-B) n =6 n-1 (A-B) 因此 已知线性方程组 (分数:6.00)(1). 1 能否由 2 , 3 , 4 线性表出(分数:3.00)_正确答案:()解析: 1 能由 2 , 3 , 4 线性表出 因为 k(1,2,-3,0) T 是相应齐次方程组 Ax=0 的通解, (2). 4 能否由 1 , 2 , 3 线性表出,并说明理由(

23、分数:3.00)_正确答案:()解析: 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出 如果 4 能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 r( 1 , 2 , 3 )=r( 1 , 2 , 3 , 4 )=r(A) 由于 Ax=0 的基础解系只有一个向量,则 r(A)=n-1=3, 即 r( 1 , 2 , 3 )=3, 1 , 2 , 3 线性无关,与 1 =-2 2 +3 3 矛盾 所以 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出17.设 n 维向量组 1 , 2 , m (mn)线性无关,向量组 1 , 2 , m , 1 线性相关,向量组 1 , 2 , m , 2 的秩为 m+1证明:向量组

24、 1 , 2 , m ,l 1 + 2 线性无关(其中 l 为常数) (分数:6.00)_正确答案:()解析:由已知向量组 1 , 2 , m 线性无关,向量组 1 , 2 , m , 1 线性相关, 得向量 1 可由向量组 1 , 2 , m 线性表出,即 1 = 1 1 + 2 2 + m m 由于向量组 1 , 2 , m , 2 的秩为 m+1,得此向量组线性无关,即 2 不能由向量组 1 , 2 , m 线性表出 设存在 m+1 个常数 k 1 ,k 2 ,k m ,k 使 k 1 1 +k 2 2 +k m m +k(l 1 + 2 )=0, 则必有 k=0,若 k0,则 又 1

25、= 1 1 + 2 2 + m m ,代入式得 18.设 A 为 4 阶方阵,有 4 个不同的特征值 1 , 2 , 3 , 4 ,对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 , 4 ,令 = 1 , 2 , 3 , 4 证明:,A,A 2 ,A 3 线性无关 (分数:6.00)_正确答案:()解析:由已知 A i = 1 1 (i=1,2,3,4),得 A=A( 1 + 2 + 3 + 4 )= 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 , 设存在四个常数 k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 ,使 k 1 +k 2 A+k 3 A 2 +k 4 A 3 =0, 即 即 由于属于不同特征值的

26、特征向量线性无关,所以 1 , 2 , 3 , 4 线性无关 其系数行列式 19.已知 1 =(1,0,2,3), 2 =(1,1,3,5), 3 =(1,-1,a+2,1), 4 =(1,2,4,a+8)及=(1,1,b+3,5) (1)a,b 为何值时, 不能表示为 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合 (2)a,b 为何值时, 有 1 , 2 , 3 , 4 的唯一线性表达式,并写出该表达式 (分数:6.00)_正确答案:()解析:向量 是否可由 1 , 2 , 3 , 4 线性表出,相当于方程组 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 是否有解,利用初等行变换化增广矩

27、阵为阶梯形讨论即可 (1)设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 ,则 因为 可见当 a=-1,b0 时, , 不能表示成 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合 (2)当 a-1 时, ,方程组有唯一解, 可以用 1 , 2 , 3 , 4 唯一线性表出,且 20.已知 1 =(1,2,0,-1) T , 2 =(0,1,-1,0) T , 3 =(2,1,3,-2) T ,试把其扩充为 R 4 的一组规范正交基 (分数:6.00)_正确答案:()解析:要先判断 1 , 2 , 3 的线性相关性,再扩充成 R 4 的一组基(可用阶梯形向量组是线性无关的),然后再用 sch

28、midt 正交化改造为规范正交基。 由 3 =2 1 -3 2 知 1 , 2 , 3 线性相关,但 1 , 2 线性无关,故可将其扩充为 R 4 的一组基,例如添加(0,0,1,0) T ,(0,0,0,1) T ,那么,令 1 =(0,0,1,0) T , 2 =(0,0,0,1) T (已相互正交), 而 再单位化,得 21.设齐次线性方程组 (分数:6.00)_正确答案:()解析:对系数矩阵作初等行变换,有 若 =a,得同解方程组 x 1 +x 2 +x n =0,r(A)=1,基础解系的个数 s=n-r(A)=n-1得基础解系为 1 =(-1,1,0,0) T , 2 =(-1,0,

29、1,0) T , n-1 =(-1,0,1) T 方程组的通解为是 k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 ,其中 k 1 ,k 2 ,k n-1 为任意常数 若 a,则 22.设矩阵 A=( 1 , 2 , 3 ),线性方程组 Ax= 的通解是(1,-2,0) T +k(2,1,1) T ,k 为任意实数,若 B=( 1 , 2 , 3 ,-5 3 ),求方程组 By=+ 3 的通解 (分数:6.00)_正确答案:()解析:由方程组 Ax= 的通解,知 即 1 -2 2 =,2 1 + 2 + 3 =0,且 n-r(A)=1,即 r(A)=r( 1 , 2 , 3 )=3-1=2,则

30、 r(B)=r( 1 , 2 , 3 ,-5 3 )=r( 1 , 2 , 3 , 1 -2 2 -5 3 )=r( 1 , 2 , 3 )=2 因此,四元方程组 By=+ 3 的通解形式为 +k 1 1 +k 2 2 由 知 是 By=+ 3 的一个解 又由 知 23.已知方程组 (分数:6.00)_正确答案:()解析:对增广矩阵作初等变换,有 (1)-2 且 1 时, 方程组有唯一解 (2)=-2 时,r(A)=2, 方程组无解 (3)=1 时, 方程组有无穷解 x 1 =-2-x 2 -x 3 ,令 x 2 =1,x 3 =0,特解 0 =(-3,1,0) T 对应齐次方程的基础解系,由 x 1 =-x 2 -x 3 ,得到的基础解系为 1 =(-1,1,1) T , 2 =(-1,0,1) T , 于是,原方程的通解为

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