1、考研数学一-线性代数(一)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：10.00)1.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij (A ij 为 a ij 的代数余子式)，i=1，2，3，j=1，2，3，则|2 A T |=_（分数：1.00）A.0B.2C.4D.82.列命题中， (1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B； (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； (3)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 A+B 必不可逆； (4)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 AB
2、 必不可逆 正确的是_（分数：1.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)3.设 i =(a i ，b i ，c i ) T ，i=1，2，3，=(d 1 ，d 2 ，d 3 ) T ，则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是（分数：1.00）A.r(1，2，3)=1，r(1，2，3，)=2B.r(1，2，3)=2，r(1，2，3，)=3C.1，2，3 中任意两个均线性无关，且 不能由 1，2，3 线性表出
3、D.1，2，3 线性相关，且 不能由 1，2，3 线性表出4.设 A 是 mn 矩阵，A T 是 A 的转置，若 1 ， 2 ， t ，是齐次方程组 A T x=0 的基础解系，则 r(A)=_（分数：1.00）AtB.n-tC.m-tD.n-m5.设 n 阶可逆矩阵 A 的列向量为 1 ， 2 ， n ，n 阶矩阵 B 的列向量为 1 ， 2 ， n ，若 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， n = n + 1 ，则矩阵 B 的秩_（分数：1.00）A.必为 nB.必为 n-1C.为 n 或 n-1D.小于 n-16.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，那么下列命题中正确的
4、是_（分数：1.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.Ax=b 是 BX=b 同解方程组C.A 与 B 的行向量是等价向量组D.A 与 B 有相同的特征向量7.设矩阵 （分数：1.00）A.a=b=1B.a=b=-1C.a-b0D.a+b=08.设 A 为三阶矩阵， 是三阶可逆阵，且 则 A 与下列哪个矩阵相似_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.设 n 阶实对称矩阵 A，B 均可逆，则下列命题错误的是_（分数：1.00）A.存在可逆矩阵 P，Q，使 PAQ=BB.AB 相似于 BAC.A2 合同于 B2D.A 合同于 B10.设矩阵 （分数：1.00）A.合同且相似B.
5、合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似二、解答题(总题数：15，分数：90.00)11.设 n 阶方阵 求| A |中所有元素的代数余子式之和 （分数：6.00）_12.计算 n 阶行列式 （分数：6.00）_13.设 （分数：6.00）_14.已知 A= T -3E，其中 （分数：6.00）_设 A、B、AB-E 均为 n 阶可逆矩阵（分数：6.00）(1).若 A 为反对称矩阵，证明矩阵对于任意非零常数 C，A+CE 恒可逆；（分数：3.00）_(2).求(A-B -1 ) -1 -A -1 的逆矩阵（分数：3.00）_15.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且矩阵 A、B 满足
6、（分数：6.00）_16.已知矩阵 X 满足 A -1 X+BA -1 =X+E-A+B，且 A、B 如下： （分数：6.00）_已知线性方程组 （分数：6.00）(1). 1 能否由 2 ， 3 ， 4 线性表出（分数：3.00）_(2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并说明理由（分数：3.00）_17.设 n 维向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，向量组 1 ， 2 ， m ， 1 线性相关，向量组 1 ， 2 ， m ， 2 的秩为 m+1证明：向量组 1 ， 2 ， m ，l 1 + 2 线性无关(其中 l 为常数) （分数：6.00）_18.设 A 为 4 阶
7、方阵，有 4 个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，令 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 证明：，A，A 2 ，A 3 线性无关 （分数：6.00）_19.已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，-1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)及=(1，1，b+3，5) (1)a，b 为何值时， 不能表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合 (2)a，b 为何值时， 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 的唯一线性表达式，并写出该表达式 （分数：6.00）_20.已知 1 =(1，2，0，-1) T
8、， 2 =(0，1，-1，0) T ， 3 =(2，1，3，-2) T ，试把其扩充为 R 4 的一组规范正交基 （分数：6.00）_21.设齐次线性方程组 （分数：6.00）_22.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，线性方程组 Ax= 的通解是(1,-2,0) T +k(2,1,1) T ，k 为任意实数，若 B=( 1 ， 2 ， 3 ，-5 3 )，求方程组 By=+ 3 的通解 （分数：6.00）_23.已知方程组 （分数：6.00）_考研数学一-线性代数(一)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：10.00)1.设 A 是三阶矩阵，
9、其中 a 11 0，A ij =a ij (A ij 为 a ij 的代数余子式)，i=1，2，3，j=1，2，3，则|2 A T |=_（分数：1.00）A.0B.2C.4D.8 解析：解析 |2 A T |=2 3 | A T |=8| A | 故 A * = A T AA * = AA T =| A |E，两边取行列式，得 | AA T |=| A | 2 =| A |E|=| A | 3 ， 得 | A | 2 (| A |-1)=0， 2.列命题中， (1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B； (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =
10、E； (3)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 A+B 必不可逆； (4)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 AB 必不可逆 正确的是_（分数：1.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4) 解析：解析 (1)如果 A，B 均为 n 阶矩阵，则命题成立，而题中没有给出 n 阶矩阵这一条件，故(1)不正确例如 显然 A 不可逆，类似地，对于 AB=E，虽然|AB|=1，但能否用行列式乘法公式呢?应检查 AB 是否为 n 阶矩阵，有的考生不注意公式成立时的条件，随意用公式是不妥的 (2)A，B 是 n 阶矩阵，(AB) 2 =E，即(AB)(AB)=E，可知 A
11、，B 均可逆 于是 ABA=B -1 ，从而 BABA=E，即(BA) 2 =E，即(2)正确 (3)设 虽然 A，B 都不可逆，但 3.设 i =(a i ，b i ，c i ) T ，i=1，2，3，=(d 1 ，d 2 ，d 3 ) T ，则三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是（分数：1.00）A.r(1，2，3)=1，r(1，2，3，)=2B.r(1，2，3)=2，r(1，2，3，)=3C.1，2，3 中任意两个均线性无关，且
12、 不能由 1，2，3 线性表出 D.1，2，3 线性相关，且 不能由 1，2，3 线性表出解析：解析 对于 A：r( 1 ， 2 ， 3 )=1 表明三个平面的法向量平行，从而三个平面相互平行(或重合)，又 r( 1 ， 2 ， 3 ，)=2 说明三个平面没有公共的交点，因而这三个平面两两平行，最多有两个重合 对于 B：当三个平面两两相互交成三条平行直线时，必有 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 ，)=3但当 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 ，)=3 时，有可能其中两个平面平行，第 3 个平面与它们相交，所以 B 是必要条件不充分 而 或
13、B，亦知 D 是必要条件，不充分 1 ， 2 ， 3 中任意两个均线性无关 任何两个平面都不平行即相交成一条直线，而 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 4.设 A 是 mn 矩阵，A T 是 A 的转置，若 1 ， 2 ， t ，是齐次方程组 A T x=0 的基础解系，则 r(A)=_（分数：1.00）AtB.n-tC.m-t D.n-m解析：解析 由于 A 是 mn 矩阵，知 A T 是 nm 矩阵，那么 A T x=0 是 n 个方程 m 个未知数的齐次线性方程组，从而 m-r(A T )=t又因 r(A)=r(A T )，所以 r(A)=m-t，选 C5.设 n 阶可逆矩阵 A 的
14、列向量为 1 ， 2 ， n ，n 阶矩阵 B 的列向量为 1 ， 2 ， n ，若 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， n = n + 1 ，则矩阵 B 的秩_（分数：1.00）A.必为 nB.必为 n-1C.为 n 或 n-1 D.小于 n-1解析：解析 依题得 则有 其中 6.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，那么下列命题中正确的是_（分数：1.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.Ax=b 是 BX=b 同解方程组C.A 与 B 的行向量是等价向量组 D.A 与 B 有相同的特征向量解析：解析 矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，故有可逆矩阵 P，使 PA=B，对
15、 A，B 按行分块，有 从而 7.设矩阵 （分数：1.00）A.a=b=1B.a=b=-1C.a-b0D.a+b=0 解析：解析 A 的特征方程为 则 A 的特征值为 1 - 2 =1， 3 =-1由于对应于不同特征值的特征向量线性无关，所以当 A 有三个线性无关的特征向量时，对应于特征值 1 = 2 =1 应有两个线性无关的特征向量，从而 r(1E-A)=1由 8.设 A 为三阶矩阵， 是三阶可逆阵，且 则 A 与下列哪个矩阵相似_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 观察知 可以由 B 作列变换得到 将 的 1、2 列互换，再将第 2 列乘以 2，第 3 列乘以
16、-1，得 AB，即 B 是可逆阵，则有 9.设 n 阶实对称矩阵 A，B 均可逆，则下列命题错误的是_（分数：1.00）A.存在可逆矩阵 P，Q，使 PAQ=BB.AB 相似于 BAC.A2 合同于 B2D.A 合同于 B 解析：解析 因 A，B 均为实对称矩阵且可逆，所以它们都与单位矩阵 E 等价，从而 A 等价于 B，即存在可逆矩阵 P，Q，使 PAQ=B选项 A 正确 A 可逆，则 A -1 (AB)A=(A -1 A)BA=BA，由相似的定义知选项 B 正确 A，B 均为 n 阶可逆的实对称矩阵，则它们的特征值均不为零，A 2 与 B 2 的特征值均大于 0，即 A 2 与 B 2 的
17、正惯性指数及秩均为 n，故 A 2 合固于 B 2 ，选项 C 正确 对于选项 D，由 A，B 均为实对称矩阵且可逆，不能确定其特征值的正负问题，即不能确定二者的惯性指数是否相同，因此无法判定二者合同故选 D10.设矩阵 （分数：1.00）A.合同且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解析 根据相似的必要条件： ，易见 A 与 B 肯定不相似，由此可排除 A 和 C 而合同的充分必要条件是：有相同的正惯性指数、负惯性指数，为此可以利用特征值来加以判断 由 二、解答题(总题数：15，分数：90.00)11.设 n 阶方阵 求| A |中所有元素的代数余子式之和
18、（分数：6.00）_正确答案：()解析：利用行列式展开定理，求出| A |中各行或各列元素的代数余子式之和，即求出 或求出 ，然后再相加，求出 即 i=1 时， 时， 12.计算 n 阶行列式 （分数：6.00）_正确答案：()解析：第一行、第一列均只有两个非零元素，不妨按第一列展开，得 13.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：将 A 分块为 ，则 ，因此要先求出 B 与 C 的 n 次幂其中 ，由于 所以 =2 或 =6 对于 =2： 对于 =6： 令 P=( 1 ， 2 )，有 而 故 14.已知 A= T -3E，其中 （分数：6.00）_正确答案：()解析：令 B= T ，则
19、 A=B-3E，故 由于 r(B)=1， T =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =4，故 |E-B|= 3 -(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 2 = 2 (-4)， B 的特征值为 4，0，0则 A 的特征值为 1，-3，-3，因此 A 可逆 B= T ，B 2 = T T =4B， B 2 =(A+3E) 2 =4B=4(A+3E)， 展开得 整理得 设 A、B、AB-E 均为 n 阶可逆矩阵（分数：6.00）(1).若 A 为反对称矩阵，证明矩阵对于任意非零常数 C，A+CE 恒可逆；（分数：3.00）_正确答案：()解析：反证法 若 A+CE
20、 不可逆，则齐次方程组(A+CE)x=0 有非零解，设为 ，则 A=-C，0， 左乘 T 得 T A=-C T ，0 又因为 T A=( T A) T = T A T =- T A， 所以 T A=0 与式矛盾，故 A+CE 可逆(2).求(A-B -1 ) -1 -A -1 的逆矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：(A-B -1 ) -A -1 =(A-B -1 ) -1 -(A-B -1 ) -1 (A-B -1 )A -1 =(A-B -1 ) -1 E-(A-B -1 )A -1 =(A-B -1 ) -1 (B -1 A -1 ) =AB(A-B -1 ) -1 =(ABA-
21、A) -1 所以 r(A-B -1 ) -1 -A -1 -1 =ABA-A15.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且矩阵 A、B 满足 （分数：6.00）_正确答案：()解析： 因为 所以原式化为 4ABA -1 =2AB+12E， 左乘 A * 得 4|A|BA -1 =2|A|B+12A * ， 即 4BA * -4B=12A * ， 所以 B(A * -E)=3A * ， 故 B=3A * (A * -E) -1 ， 16.已知矩阵 X 满足 A -1 X+BA -1 =X+E-A+B，且 A、B 如下： （分数：6.00）_正确答案：()解析：对式 A -1 X+BA -1 =X+E-A+B
22、 进行整理的： (A -1 -E)X=-BA -1 +E-A+B， (A -1 -E)X=(A-B)(A -1 -E) 因为 ，所以 ，可逆则 X=(A -1 -E) -1 (A-B)(A -1 -E) 又因为 易知 (A-B) 2 =6(A-B)，(A-B) n =6 n-1 (A-B) 因此 已知线性方程组 （分数：6.00）(1). 1 能否由 2 ， 3 ， 4 线性表出（分数：3.00）_正确答案：()解析： 1 能由 2 ， 3 ， 4 线性表出 因为 k(1，2，-3，0) T 是相应齐次方程组 Ax=0 的通解， (2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并说明理由（
23、分数：3.00）_正确答案：()解析： 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 如果 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r(A) 由于 Ax=0 的基础解系只有一个向量，则 r(A)=n-1=3， 即 r( 1 ， 2 ， 3 )=3， 1 ， 2 ， 3 线性无关，与 1 =-2 2 +3 3 矛盾 所以 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出17.设 n 维向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，向量组 1 ， 2 ， m ， 1 线性相关，向量组 1 ， 2 ， m ， 2 的秩为 m+1证明：向量组
24、 1 ， 2 ， m ，l 1 + 2 线性无关(其中 l 为常数) （分数：6.00）_正确答案：()解析：由已知向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，向量组 1 ， 2 ， m ， 1 线性相关， 得向量 1 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出，即 1 = 1 1 + 2 2 + m m 由于向量组 1 ， 2 ， m ， 2 的秩为 m+1，得此向量组线性无关，即 2 不能由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出 设存在 m+1 个常数 k 1 ，k 2 ，k m ，k 使 k 1 1 +k 2 2 +k m m +k(l 1 + 2 )=0， 则必有 k=0，若 k0，则 又 1
25、= 1 1 + 2 2 + m m ，代入式得 18.设 A 为 4 阶方阵，有 4 个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，令 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 证明：，A，A 2 ，A 3 线性无关 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由已知 A i = 1 1 (i=1，2，3，4)，得 A=A( 1 + 2 + 3 + 4 )= 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 ， 设存在四个常数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使 k 1 +k 2 A+k 3 A 2 +k 4 A 3 =0， 即 即 由于属于不同特征值的
26、特征向量线性无关，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关 其系数行列式 19.已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，-1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)及=(1，1，b+3，5) (1)a，b 为何值时， 不能表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合 (2)a，b 为何值时， 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 的唯一线性表达式，并写出该表达式 （分数：6.00）_正确答案：()解析：向量 是否可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，相当于方程组 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 是否有解，利用初等行变换化增广矩
27、阵为阶梯形讨论即可 (1)设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 ，则 因为 可见当 a=-1，b0 时， ， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合 (2)当 a-1 时， ，方程组有唯一解， 可以用 1 ， 2 ， 3 ， 4 唯一线性表出，且 20.已知 1 =(1，2，0，-1) T ， 2 =(0，1，-1，0) T ， 3 =(2，1，3，-2) T ，试把其扩充为 R 4 的一组规范正交基 （分数：6.00）_正确答案：()解析：要先判断 1 ， 2 ， 3 的线性相关性，再扩充成 R 4 的一组基(可用阶梯形向量组是线性无关的)，然后再用 sch
28、midt 正交化改造为规范正交基。 由 3 =2 1 -3 2 知 1 ， 2 ， 3 线性相关，但 1 ， 2 线性无关，故可将其扩充为 R 4 的一组基，例如添加(0，0，1，0) T ，(0，0，0，1) T ，那么，令 1 =(0，0，1，0) T ， 2 =(0，0，0，1) T (已相互正交)， 而 再单位化，得 21.设齐次线性方程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析：对系数矩阵作初等行变换，有 若 =a，得同解方程组 x 1 +x 2 +x n =0，r(A)=1，基础解系的个数 s=n-r(A)=n-1得基础解系为 1 =(-1，1，0，0) T ， 2 =(-1，0，
29、1，0) T ， n-1 =(-1，0，1) T 方程组的通解为是 k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k 2 ，k n-1 为任意常数 若 a，则 22.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，线性方程组 Ax= 的通解是(1,-2,0) T +k(2,1,1) T ，k 为任意实数，若 B=( 1 ， 2 ， 3 ，-5 3 )，求方程组 By=+ 3 的通解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由方程组 Ax= 的通解，知 即 1 -2 2 =，2 1 + 2 + 3 =0，且 n-r(A)=1，即 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 )=3-1=2，则
30、 r(B)=r( 1 ， 2 ， 3 ，-5 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 1 -2 2 -5 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=2 因此，四元方程组 By=+ 3 的通解形式为 +k 1 1 +k 2 2 由 知 是 By=+ 3 的一个解 又由 知 23.已知方程组 （分数：6.00）_正确答案：()解析：对增广矩阵作初等变换，有 (1)-2 且 1 时， 方程组有唯一解 (2)=-2 时，r(A)=2， 方程组无解 (3)=1 时， 方程组有无穷解 x 1 =-2-x 2 -x 3 ，令 x 2 =1，x 3 =0，特解 0 =(-3,1,0) T 对应齐次方程的基础解系，由 x 1 =-x 2 -x 3 ，得到的基础解系为 1 =(-1,1,1) T ， 2 =(-1,0,1) T ， 于是，原方程的通解为
