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【考研类试卷】考研数学一(多元函数微分学)-试卷3及答案解析.doc

1、考研数学一(多元函数微分学)-试卷 3 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设函数 f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且 f“ x (0,0)=3,f“ y (0,0)=1,则( )(分数:2.00)A.dz (0,0) =3dx+dyB.曲面 z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0)处的法向量为3,1,1C.曲线D.曲线3.已知 f x (x 0 ,y 0 )存在,则 (分数:2.00)A.f x (x 0 ,y 0 )B.0C.2f x (x

2、 0 ,y 0 )D.4.设 f(x,y)= (分数:2.00)A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数存在但不可微C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续5.已知 (分数:2.00)A.0B.2C.1D.一 16.函数 f(x,y)在(0,0)点可微的充分条件是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.7.设 z= (分数:2.00)A.不连续B.连续但偏导数不存在C.连续且偏导数存在但不可微D.可微二、填空题(总题数:10,分数:20.00)8.设 f(x,y,z)=e x +y 2 z,其中 z=Z(x,y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数,则 f“ x (0,1,一 1)= 1

3、(分数:2.00)填空项 1:_9.设 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_10.设 z= (分数:2.00)填空项 1:_11.设 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_12.设 z=z(x,y)由方程 z+e 2 =xy 2 所确定,则 dz= 1(分数:2.00)填空项 1:_13.设函数 f(u)可微,则 f“(2)=2,则 z=f(x 2 +y 2 )在点(1,1)处的全微分 dz (1,1) = 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设 f(u,v)为二元可微函数,z=f(x y ,y x ),则 (分数:2.00)填空项 1:_15.设 z= (分数:2.

4、00)填空项 1:_16.设 z=xg(x+y)+y(xy),其中 g、具有二阶连续导数,则 (分数:2.00)填空项 1:_17.设函数 F(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:15,分数:30.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_19.设 u=f(x,y,z),(x 2 ,e y ,z)=0,y=sinx,其中 f, 都具有一阶连续偏导数,且 (分数:2.00)_20.设函数 f(u)具有二阶连续导数,而 z=f(e x siny)满足方程 (分数:2.00)_21.设 y=y(x),z=z(x)是由方程 Z=xf(x+

5、y)和 F(x,y,z)=0 所确定的函数,其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_22.设 z= ,其中 f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求 (分数:2.00)_23.设函数 z=f(x,y)在点(1,1)可微,且 f(1,1)=1,f“ x (1,1)=2,f“ y (1,1)=3,(x)=f(x),f(xx),求 (分数:2.00)_24.设有一小山,取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面,其底部所占的区域为 D=(x,y)x 2 +y 2 一xy75,小山的高度函数为 h(x,y)=75 一 x 2 一 y 2 +xy (1)设 M

6、(x 0 ,y 0 )为区域 D 上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x 0 ,y 0 ),写出 g(x 0 ,y 0 )的表达式 (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点也就是说,要在 D 的边界线 x 2 +y 2 一 xy=75 上找出使(1)中 g(x,y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置(分数:2.00)_25.设 z=z(x,y)是由 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz 一 z 2 +18=0 确定的函数,求 z=z(x,y)的极值点和极值(分数:2.00)_26.设函数 f(u)在

7、(0,+)内具有二阶导数,且 z= =0(1)验证 f“(u)+ (分数:2.00)_27.已知曲线 C: (分数:2.00)_28.设 z=f(xy,yg(x),其中函数 f 具有二阶连续偏导数,函数 g(x)可导,且在 x=1 处取得极值 g(1)=1,求 (分数:2.00)_29.求 f(x,y)=xe 一 (分数:2.00)_30.求函数 f(x,y)=(y+ (分数:2.00)_31.求z在约束条件 (分数:2.00)_32.试确定常数 a 与 b,使得绎变换 u=z+ay,v=x+by可将方程 (分数:2.00)_考研数学一(多元函数微分学)-试卷 3 答案解析(总分:64.00,

8、做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设函数 f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且 f“ x (0,0)=3,f“ y (0,0)=1,则( )(分数:2.00)A.dz (0,0) =3dx+dyB.曲面 z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0)处的法向量为3,1,1C.曲线 D.曲线解析:解析:化曲线 3.已知 f x (x 0 ,y 0 )存在,则 (分数:2.00)A.f x (x 0 ,y 0 )B.0C.2f x (x 0 ,y 0 ) D.解析:解析:4.设

9、 f(x,y)= (分数:2.00)A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数存在但不可微 C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续解析:解析:由偏导数定义,有5.已知 (分数:2.00)A.0B.2 C.1D.一 1解析:解析:6.函数 f(x,y)在(0,0)点可微的充分条件是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析: 7.设 z= (分数:2.00)A.不连续B.连续但偏导数不存在C.连续且偏导数存在但不可微 D.可微解析:解析:二、填空题(总题数:10,分数:20.00)8.设 f(x,y,z)=e x +y 2 z,其中 z=Z(x,y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的

10、隐函数,则 f“ x (0,1,一 1)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:已知 f(x,y,z)=e x +y 2 z,那么有 f“ x (x,y,z)=e x +y 2 z“ x 在等式x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+z“ x +yz+xyz“ x =0 由 z=0,y=1,z=一 1,可得 z“ x =0 故 f“ x (0,1,一 1)=e 0 =19.设 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:因为10.设 z= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解

11、析:解析:11.设 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:由题干可知 f(x,0)=x 2 ,那么 f“ x (x,0)=2x故 f“ x (1,0)=2x x=1 =212.设 z=z(x,y)由方程 z+e 2 =xy 2 所确定,则 dz= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:13.设函数 f(u)可微,则 f“(2)=2,则 z=f(x 2 +y 2 )在点(1,1)处的全微分 dz (1,1) = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4(dx+dy))解析:解析:由题干可知,

12、dz=f“(x 2 +y 2 )(2xdx+2ydy), 则 dz (1,1) =f“(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)14.设 f(u,v)为二元可微函数,z=f(x y ,y x ),则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f“ 1 .yx y1 +f“ 2 .y x lny)解析:解析:利用复合函数求偏导的公式,有 15.设 z= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:yf“(xy)+“(x+y)+y“(x+y))解析:解析:由题干可得16.设 z=xg(x+y)+y(xy),其中 g、具有二阶连续导数,则 (分数:2.00)填空项 1:_

13、(正确答案:正确答案:g“(x+y)+xg“(x+y)+2y“(xy)+xy 2 “(xy))解析:解析:由题干可知,17.设函数 F(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:由题干可知,三、解答题(总题数:15,分数:30.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:19.设 u=f(x,y,z),(x 2 ,e y ,z)=0,y=sinx,其中 f, 都具有一阶连续偏导数,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:在等式 u=f(x,y,z)的两端同时对 x 求导数,得到如下等式 )解析:20.设函数

14、 f(u)具有二阶连续导数,而 z=f(e x siny)满足方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.设 y=y(x),z=z(x)是由方程 Z=xf(x+y)和 F(x,y,z)=0 所确定的函数,其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:分别在 z=xf(x+y)和 F(x,y,z)=O 的两端对 x 求导,得 )解析:22.设 z= ,其中 f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据复合函数的求导公式,有 )解析:23.设函数 z=f(x,y)在点(1

15、,1)可微,且 f(1,1)=1,f“ x (1,1)=2,f“ y (1,1)=3,(x)=f(x),f(xx),求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知得 (1)=f(1,f(1,1)=f(1,1)=1, )解析:24.设有一小山,取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面,其底部所占的区域为 D=(x,y)x 2 +y 2 一xy75,小山的高度函数为 h(x,y)=75 一 x 2 一 y 2 +xy (1)设 M(x 0 ,y 0 )为区域 D 上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x 0 ,y 0 ),写出 g(x 0 ,y 0

16、 )的表达式 (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点也就是说,要在 D 的边界线 x 2 +y 2 一 xy=75 上找出使(1)中 g(x,y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由梯度向量的性质:函数 h(x,y)在点 M 处沿该点的梯度方向 (2)求g(x,y)在条件 x 2 +y 2 一 xy 一 75=0 下的最大值点,即 g 2 (x,y)=(y 一 2x) 2 +(x 一 2y) 2 =5x 2 +5y 2 一 8xy 在条件 x 2 +y 2 一 xy 一 75=0 下的最大值点 这是求解

17、条件最值问题,用拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数 L(x,y,)=5x 2 +5y 2 一 8xy+(x 2 +y 2 一 xy 一 75), 则有 解此方程组得x=一 y 或 =一 2 若 y=一 x,则由(3)式得 3x 2 =75,即 x=5,y=5 若 =一 2,由(1)或(2)均得y=x,代入(3)式得 x 2 =75,即 x= 于是得可能的条件极值点 M 1 (5,一 5),M 2 (一 5,5),M 3 )解析:25.设 z=z(x,y)是由 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz 一 z 2 +18=0 确定的函数,求 z=z(x,y)的极值点和极值(分数:2.00)_正确答

18、案:(正确答案:在方程 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz 一 z 2 +18=0 的两端分别对 x,y 求编导数,于是有 )解析:26.设函数 f(u)在(0,+)内具有二阶导数,且 z= =0(1)验证 f“(u)+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.已知曲线 C: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:点(x,y,z)到 xOy 面的距离为z,故求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数 H=z 2 在条件 x 2 +y 2 一 2z 2 =0,x+y+3z=5 下的最大值点和最小值点 构造拉格朗日函数 L(x,y,z,) =z 2

19、 +A(x 2 +y 2 一 2z 2 )+(x+y+3z 一 5), )解析:28.设 z=f(xy,yg(x),其中函数 f 具有二阶连续偏导数,函数 g(x)可导,且在 x=1 处取得极值 g(1)=1,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: =f“ 1 (xy,yg(x)y+f“ 2 (xy,yg(x)yg“(x), =f“ 11 (xy,yg(x)xy+f“ 12 (xy,yg(x)yg(x)+f“ 1 (xy,yg(x) +f“ 21 (xy,yg(x)xyg“(x)+f“ 22 (xy,yg(x)yg(x)g“(x)+f“ 2 (xy,yg(x)g“(x) 由 g(x)在

20、 x=1 处取得极值 g(1)=1,可知 g“(1)=0故 )解析:29.求 f(x,y)=xe 一 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:先求函数 f(x,y)=xe 一 的驻点,f“ x (x,y)=e 一 x=0,f“ y (x,y)=一y=0,解得函数 f(x,y)的驻点为(e,0) 又 A=f“ xx (e,0)=一 1,B=f“ xy (e,0)=0,C=f“ yy (e,0)=一 1,所以 B 2 一 AC0,A0故 f(x,y)在点(e,0)处取得极大值 f(e,0)= )解析:30.求函数 f(x,y)=(y+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:先求驻点,令 )解析:31.求z在约束条件 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:z的最值点与 z 2 的最值点一致,用拉格朗日乘数法,令 F(x,y,z,)=z 2 +A(x 2 +9y 2 一 2z 2 )+(x+3y+3z 一 5) 则 )解析:32.试确定常数 a 与 b,使得绎变换 u=z+ay,v=x+by可将方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据链式法则,有 按题意,应取 14a+3a 2 =014b+3b 2 =0 即 (13a)(1 一 a)=0,(13b)(1 一 b)=0 其解分别为 )解析:

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