1、考研数学一（多元函数微分学）-试卷 3 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 f“ x (0，0)=3，f“ y (0，0)=1，则( )（分数：2.00）A.dz (0,0) =3dx+dyB.曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0)处的法向量为3，1，1C.曲线D.曲线3.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在，则 （分数：2.00）A.f x (x 0 ，y 0 )B.0C.2f x (x
2、 0 ，y 0 )D.4.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数存在但不可微C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续5.已知 （分数：2.00）A.0B.2C.1D.一 16.函数 f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 z= （分数：2.00）A.不连续B.连续但偏导数不存在C.连续且偏导数存在但不可微D.可微二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.设 f(x，y，z)=e x +y 2 z，其中 z=Z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 f“ x (0，1，一 1)= 1
3、（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 z=z(x，y)由方程 z+e 2 =xy 2 所确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 f(u)可微，则 f“(2)=2，则 z=f(x 2 +y 2 )在点(1，1)处的全微分 dz (1,1) = 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y ，y x )，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 z= （分数：2.
4、00）填空项 1:_16.设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g、具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 u=f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx,其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_20.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)满足方程 （分数：2.00）_21.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 Z=xf(x+
5、y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_22.设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_23.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)可微，且 f(1，1)=1，f“ x (1，1)=2，f“ y (1，1)=3，(x)=f(x),f(xx)，求 （分数：2.00）_24.设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)x 2 +y 2 一xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x 2 一 y 2 +xy (1)设 M
6、(x 0 ，y 0 )为区域 D 上一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x 0 ，y 0 )，写出 g(x 0 ，y 0 )的表达式 (2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D 的边界线 x 2 +y 2 一 xy=75 上找出使(1)中 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置（分数：2.00）_25.设 z=z(x，y)是由 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz 一 z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值（分数：2.00）_26.设函数 f(u)在
7、(0，+)内具有二阶导数，且 z= =0(1)验证 f“(u)+ （分数：2.00）_27.已知曲线 C： （分数：2.00）_28.设 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1，求 （分数：2.00）_29.求 f(x，y)=xe 一 （分数：2.00）_30.求函数 f(x，y)=(y+ （分数：2.00）_31.求z在约束条件 （分数：2.00）_32.试确定常数 a 与 b，使得绎变换 u=z+ay，v=x+by可将方程 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数微分学）-试卷 3 答案解析(总分：64.00，
8、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 f“ x (0，0)=3，f“ y (0，0)=1，则( )（分数：2.00）A.dz (0,0) =3dx+dyB.曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0)处的法向量为3，1，1C.曲线 D.曲线解析：解析：化曲线 3.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在，则 （分数：2.00）A.f x (x 0 ，y 0 )B.0C.2f x (x 0 ，y 0 ) D.解析：解析：4.设
9、 f(x，y)= （分数：2.00）A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数存在但不可微 C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续解析：解析：由偏导数定义，有5.已知 （分数：2.00）A.0B.2 C.1D.一 1解析：解析：6.函数 f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 7.设 z= （分数：2.00）A.不连续B.连续但偏导数不存在C.连续且偏导数存在但不可微 D.可微解析：解析：二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.设 f(x，y，z)=e x +y 2 z，其中 z=Z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的
10、隐函数，则 f“ x (0，1，一 1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：已知 f(x，y，z)=e x +y 2 z，那么有 f“ x (x，y，z)=e x +y 2 z“ x 在等式x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+z“ x +yz+xyz“ x =0 由 z=0，y=1，z=一 1，可得 z“ x =0 故 f“ x (0，1，一 1)=e 0 =19.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为10.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
11、析：解析：11.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题干可知 f(x，0)=x 2 ，那么 f“ x (x，0)=2x故 f“ x (1，0)=2x x=1 =212.设 z=z(x，y)由方程 z+e 2 =xy 2 所确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.设函数 f(u)可微，则 f“(2)=2，则 z=f(x 2 +y 2 )在点(1，1)处的全微分 dz (1,1) = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4(dx+dy)）解析：解析：由题干可知，
12、dz=f“(x 2 +y 2 )(2xdx+2ydy)， 则 dz (1,1) =f“(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)14.设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y ，y x )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f“ 1 .yx y1 +f“ 2 .y x lny）解析：解析：利用复合函数求偏导的公式，有 15.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yf“(xy)+“(x+y)+y“(x+y)）解析：解析：由题干可得16.设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g、具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_
13、（正确答案：正确答案：g“(x+y)+xg“(x+y)+2y“(xy)+xy 2 “(xy)）解析：解析：由题干可知，17.设函数 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由题干可知，三、解答题(总题数：15，分数：30.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 u=f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx,其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在等式 u=f(x，y，z)的两端同时对 x 求导数，得到如下等式 )解析：20.设函数
14、 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(e x siny)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 Z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=O 的两端对 x 求导，得 )解析：22.设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据复合函数的求导公式，有 )解析：23.设函数 z=f(x，y)在点(1
15、，1)可微，且 f(1，1)=1，f“ x (1，1)=2，f“ y (1，1)=3，(x)=f(x),f(xx)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知得 (1)=f(1，f(1，1)=f(1，1)=1， )解析：24.设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)x 2 +y 2 一xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x 2 一 y 2 +xy (1)设 M(x 0 ，y 0 )为区域 D 上一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x 0 ，y 0 )，写出 g(x 0 ，y 0
16、 )的表达式 (2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D 的边界线 x 2 +y 2 一 xy=75 上找出使(1)中 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由梯度向量的性质：函数 h(x，y)在点 M 处沿该点的梯度方向 (2)求g(x，y)在条件 x 2 +y 2 一 xy 一 75=0 下的最大值点，即 g 2 (x，y)=(y 一 2x) 2 +(x 一 2y) 2 =5x 2 +5y 2 一 8xy 在条件 x 2 +y 2 一 xy 一 75=0 下的最大值点 这是求解
17、条件最值问题，用拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数 L(x，y，)=5x 2 +5y 2 一 8xy+(x 2 +y 2 一 xy 一 75)， 则有 解此方程组得x=一 y 或 =一 2 若 y=一 x，则由(3)式得 3x 2 =75，即 x=5，y=5 若 =一 2，由(1)或(2)均得y=x，代入(3)式得 x 2 =75，即 x= 于是得可能的条件极值点 M 1 (5，一 5)，M 2 (一 5，5)，M 3 )解析：25.设 z=z(x，y)是由 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz 一 z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值（分数：2.00）_正确答
18、案：(正确答案：在方程 x 2 一 6xy+10y 2 一 2yz 一 z 2 +18=0 的两端分别对 x，y 求编导数，于是有 )解析：26.设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z= =0(1)验证 f“(u)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.已知曲线 C： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：点(x，y，z)到 xOy 面的距离为z，故求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数 H=z 2 在条件 x 2 +y 2 一 2z 2 =0，x+y+3z=5 下的最大值点和最小值点 构造拉格朗日函数 L(x，y，z，) =z 2
19、 +A(x 2 +y 2 一 2z 2 )+(x+y+3z 一 5)， )解析：28.设 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取得极值 g(1)=1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =f“ 1 (xy，yg(x)y+f“ 2 (xy，yg(x)yg“(x)， =f“ 11 (xy，yg(x)xy+f“ 12 (xy，yg(x)yg(x)+f“ 1 (xy，yg(x) +f“ 21 (xy，yg(x)xyg“(x)+f“ 22 (xy，yg(x)yg(x)g“(x)+f“ 2 (xy，yg(x)g“(x) 由 g(x)在
20、 x=1 处取得极值 g(1)=1，可知 g“(1)=0故 )解析：29.求 f(x，y)=xe 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求函数 f(x，y)=xe 一 的驻点，f“ x (x，y)=e 一 x=0，f“ y (x，y)=一y=0，解得函数 f(x，y)的驻点为(e，0) 又 A=f“ xx (e，0)=一 1，B=f“ xy (e，0)=0，C=f“ yy (e，0)=一 1，所以 B 2 一 AC0，A0故 f(x，y)在点(e，0)处取得极大值 f(e，0)= )解析：30.求函数 f(x，y)=(y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求驻点，令 )解析：31.求z在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z的最值点与 z 2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，令 F(x，y，z，)=z 2 +A(x 2 +9y 2 一 2z 2 )+(x+3y+3z 一 5) 则 )解析：32.试确定常数 a 与 b，使得绎变换 u=z+ay，v=x+by可将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据链式法则，有 按题意，应取 14a+3a 2 =014b+3b 2 =0 即 (13a)(1 一 a)=0，(13b)(1 一 b)=0 其解分别为 )解析：
