1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 10 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x，y)可微分，且对任意的 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。B.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。C.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。D.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。3.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则( )（分数：2.00）A.a=
2、2，b=一 2。B.a=3，b=2。C.a=2，b=2。D.a=一 2，b=2。4.曲面 z=r(x，y，z)的一个法向量为( )（分数：2.00）A.(F x ，F y ，F z 一 1)。B.(F x 1，F y 1，F z 一 1)。C.(F x ，F y ，F z )。D.(一 F x ，F y ，一 1)。5.设 u(x，y，z)=zarctan ，则 gradu(1，1，1)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足， （分数：2.00）A.取极大值。B.取极小值。C.不取极值。D.无法确定是否取极值。7.设 z=f(x，y
3、)在点(x 0 ，y 0 )处可微，z 是 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的全增量，则在点(x 0 ，y 0 )处( )（分数：2.00）A.z=dz。B.z=f x (x 0 ，y 0 )x+f y (x 0 ，y 0 )y。C.z=f x (x 0 ，y 0 )dx+f y (x 0 ，y 0 )dy。D.z=dz+()。8.曲线 在点(1，一 1，0)处的切线方程为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线( )（分数：2.00）A.只有一条。B.只有两条。C.至少有三条
4、。D.不存在。二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 z=e sinxy ，则 dz= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_13.由方程 xyz+ （分数：2.00）填空项 1:_14.设 z=f(x 2 +y 2 ， )，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设函数 f(x，y)可微，且 f(1，1)=1，f x (1，1)=a，f y (1，1)=b。又记 (x)=fx，fx，f(x，x)，则 (1)= 1。（分数：2.00）
5、填空项 1:_16.已知 z= +(xy)，其中 (u)可微，则 x 2 （分数：2.00）填空项 1:_17.曲面 （分数：2.00）填空项 1:_18.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 3 +z 4 在点(1，一 1，0)处方向导数的最大值与最小值的平方和为 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.函数 z=1 一(x 2 +2y 2 )在点 M 0 （分数：2.00）填空项 1:_20.曲面 x 2 +cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，一 1)处的切平面方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.已知 z=f(u，v)，用变换 （分数：2.00）_23.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t(x，y)，求 （分数：2.00）_24.设曲面 z=f(x，y)二次可微，且 0，证明：对任给的常数 C，f(x，y)=C 为一条直线的充要条件是 （分数：2.00）_25.函数 f(x，y)= （分数：2.00）_26.在椭圆 x 2 +4y 2 =4 上求一点，使其到直线 2x+3y 一 6=0 的距离最短。（分数：2.00）_27.设 x，y，zR + 。求 u(x，y，z)=lnx+lny+31nz 在球面 x 2 +
7、y 2 +z 2 =5R 2 上的最大值，并证明：当 a0，b0，c0 时，有 abc 3 27( （分数：2.00）_28.求函数 f(x，y)=x 3 一 y 3 +3x 2 +3y 2 一 9x 的极值。（分数：2.00）_29.求曲线 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 10 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x，y)可微分，且对任意的 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2
8、 。 B.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。C.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。D.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。解析：解析：因 0，若 x 1 x 2 ，则 f(x 1 ，y 1 )f(x 2 ，y 1 )； 同理 3.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则( )（分数：2.00）A.a=2，b=一 2。B.a=3，b=2。C.a=2，b=2。 D.a=一 2，b=2。解析：解析：由 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy 可知， =3x 2 y 2
9、+bcos(x+2y)， 以上两式分别对 y，x 求偏导，得 =6xy 2 bsin(x+2y)， 由于 4.曲面 z=r(x，y，z)的一个法向量为( )（分数：2.00）A.(F x ，F y ，F z 一 1)。 B.(F x 1，F y 1，F z 一 1)。C.(F x ，F y ，F z )。D.(一 F x ，F y ，一 1)。解析：解析：曲面方程 z=F(x，y，z)可以写成 F(x，y，z)一 z=0，由曲面的法向量计算公式，其法向量为 (F x ，F y ，F z 1)。5.设 u(x，y，z)=zarctan ，则 gradu(1，1，1)=( ) （分数：2.00）A
10、. B.C.D.解析：解析：由梯度计算公式，有6.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足， （分数：2.00）A.取极大值。 B.取极小值。C.不取极值。D.无法确定是否取极值。解析：解析：已知 =一 3，根据极限保号性，存在 0，当 0 0 成立，而 x 2 +1 一xsinyx 2 一 x+1= 0， 所以当 0 7.设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，z 是 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的全增量，则在点(x 0 ，y 0 )处( )（分数：2.00）A.z=dz。B.z=f x (x 0 ，y 0 )x+f y (x 0 ，y 0 )y。C.z
11、=f x (x 0 ，y 0 )dx+f y (x 0 ，y 0 )dy。D.z=dz+()。 解析：解析：因为 z=f(x 0 ，y 0 )在点(x 0 ，y 0 )处可微，所以 z=f x (x 0 ，y 0 )x+f y (x 0 ，y 0 )y+()=dz+()， 故应选 D。8.曲线 在点(1，一 1，0)处的切线方程为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由法向量计算公式 n=(F x (x 0 ，y 0 ，z 0 )，F y (x 0 ，y 0 ，z 0 )，F z (x 0 ，y 0 ，z 0 ) 得，曲面 x 2 +y 2 +z 2 =2 在点(1，一 1，
12、0)处的法向量为 n 1 =(2，一 2，0)，平面 x+y+z=0在点(1，一 1，0)处的法线向量为 n 2 =(1，1，1)。 则曲线 在点(1，一 1，0)处的切向量为 =n 1 n 2 =(一 2，一 2，4)， 则所求切线方程为 9.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线( )（分数：2.00）A.只有一条。B.只有两条。 C.至少有三条。D.不存在。解析：解析：曲线的切向量为 T=(1，一 2t，3t 2 )，平面的法向量为 n=(1，2，1)，于是由 Tn=l 一4t+3t 2 =0 解得 t 1 =1，t 2
13、= 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 z=e sinxy ，则 dz= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e sinxy cosxy(ydx+xdy)）解析：解析： 12.设函数 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由复合函数求导法则及导数与微分的关系，13.由方程 xyz+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式 xyz+ 两边求微分得 yzdx+xzdy+xydz+ (
14、xdx+ydy+zdz)=0， 把(1，0，一 1)代入上式得 dz=dx 一14.设 z=f(x 2 +y 2 ， )，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由复合函数求导法则有 ，再将等式两边对 y 求偏导得15.设函数 f(x，y)可微，且 f(1，1)=1，f x (1，1)=a，f y (1，1)=b。又记 (x)=fx，fx，f(x，x)，则 (1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a(1+b+b 2 )+b 3）解析：解析：由题设 f(x，y)可微，且 f(1，1)=1，f
15、x (1，1)=a，f y (1，1)=b。又 (x)=f x x，fx，f(x，x)+f y x，f(x，x)f x x，f(x，x) +f y x，f(x，x)f x (x，x)+f y (x，x)， 所以 (1)=f x (1，1)+f y (1，1)f x (1，1)+f y (1，1)f x (1，1)+f y (1，1)=a+ba+b(a+6)=a(1+b+b 2 )+b 3 。16.已知 z= +(xy)，其中 (u)可微，则 x 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由多元复合函数的求导法则17.曲面 （分数：2.00）填空项 1:_ （正
16、确答案：正确答案：a）解析：解析：设曲面上任意一点 M( 0 ，y 0 ，z 0 )，则曲面在 M 点的法向量为 又因为 ，所以 M 点的切平面方程满足等式 令 x=y=0，得切平面在 z 轴上的截距 z= ；x=z=0，得切平面在y 轴上的截距 y= ；y=z=0，得切平面在 x 轴上的截距 x= 。 故截距之和为 18.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 3 +z 4 在点(1，一 1，0)处方向导数的最大值与最小值的平方和为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：26）解析：解析：函数 f(x，y，z)=x 2 +y 3 +z 4 在点(1，一 1，0)处方向导数
17、的最大值与最小值分别为函数f(x，y，z)在该点处梯度的模(长度)及梯度模(长度)的相反数。 由梯度计算公式，有 gradf(1，一 1，0)=(f x ，f y ，f z ) (1，1，0) =(2x，3y 2 ，4z 2 ) (1，1，0) =(2，3，0)， 则该点处梯度的模长 gradf(1，一 1，0)= ， 故所求平方和为 19.函数 z=1 一(x 2 +2y 2 )在点 M 0 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 F(x，y)=x 2 +2y 2 一 1，则曲线 C 在点 M 0 ( )的法向量是 (2x，4y) ， 因此曲线 C 在点
18、M 0 ，一 2)。 20.曲面 x 2 +cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，一 1)处的切平面方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 y+z=一 2）解析：解析：令 F(x，y，z)=x 2 +cos(xy)+yz+x，则曲面的法向量 n=F x ，F y ，F z =2x 一ysin(xy)+1，一 xsin(xy)+z，y， 则曲面 x 2 +cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，一 1)处的法向量为 n=1，一 1，1，故切平面方程为 (x 一 0)一(y 一 1)+(z+1)=0，即 x 一 y+z=一 2。三、解答题(总题数：9，
19、分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.已知 z=f(u，v)，用变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=f(u，v)，且 u，v 分别是 x 与 y 的函数，则 ，那么 将以上结果代入原方程，整理得 )解析：23.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t(x，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得 而 t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则由隐函数存在定理有 )解析：24.设曲面 z=f(x，y)二次可微，且 0，
20、证明：对任给的常数 C，f(x，y)=C 为一条直线的充要条件是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：若 f(x，y)=C 表示一条直线，则 f(x，y)一定是关于 x，y 的一次式，必有 0。又因为 f(x，y)=C，所以 ，则 因此可得 f“ xx (f y ) 2 2f x f y f xy +f“ yy (f x ) 2 =0。亦即 充分性：由(1)和(2)可知 )解析：25.函数 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由偏导数定义，有 f x (0，0)= =0， 由对称性知 f y (0，0)=0，而 上式极限不存在。 事实上， )解析：26.在椭
21、圆 x 2 +4y 2 =4 上求一点，使其到直线 2x+3y 一 6=0 的距离最短。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由点到直线的距离公式，椭圆 x 2 +4y 2 =4 上的点 P(x，y)到直线 2x+3y 一 6=0的距离为 由于 d 的表达式中含有绝对值，而 d 2 = ，所以本题转化为求函数(2x+3y6) 2 在条件 x 2 +4y 2 =4 下的最小值点。 构造拉格朗日函数 F(x，y，)=(2x+3y 一 6) 2 +(x 2 +4y 2 一4)，则 根据本题实际意义知，最短距离存在，即点( )解析：27.设 x，y，zR + 。求 u(x，y，z)=lnx+lny
22、+31nz 在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 上的最大值，并证明：当 a0，b0，c0 时，有 abc 3 27( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造拉格朗日函数 r(x，y，z，)=lnx+lny+3lnz+(x 2 +y 2 +z 2 一 5R 2 )，令 解得驻点(R，R， R 2 )，于是有 lnxyz 3 ln( R 5 )， 故 xyz 3 ， 特别地，取 x 2 =a，y 2 =b，z 2 =c，平方后即得 abc 3 27( )解析：28.求函数 f(x，y)=x 3 一 y 3 +3x 2 +3y 2 一 9x 的极值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知得，f x (x，y)=3x 2 +6x 一 9，f y (戈，y)=一 3y 2 +6y。 令 )解析：29.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 x 2 +z 2 =10 和曲面 y 2 +z 2 =10 在点 M 0 的法向量分别为 n 1 =(2x，0，2z) (1，1，3) =2(1，0，3)，n 2 =(0，2y，2z) (1，1，3) =2(0，1，3)。由于切线的方向向量与它们均垂直，即有 l=n 1 n 2 = =一 3i 一 3j+k。 可取方向向量 l=(3，3，一 1)，因此切线方程为 )解析：
