1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x， y)可微分，且对任意的 x，y 都有 0，则使不等式 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是( )（A）x 1x 2，y 1y 2。（B） x1x 2，y 1y 2。（C） x1x 2，y 1y 2。（D）x 1x 2，y 1y 2。2 已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy，则( )（A）a=2 ，b=一 2。（B） a=3，b=2。（C） a=2，b=2。（D）a= 一 2，b
2、=2。3 曲面 z=r(x，y，z)的一个法向量为 ( )（A）(F x，F y，F z 一 1)。（B） (Fx1，F y1，F z 一 1)。（C） (Fx，F y，F z)。（D）(一 Fx，F y，一 1)。4 设 u(x，y，z)=zarctan ，则 gradu(1，1，1)=( )5 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足， =一 3，则函数 f(x， y)在点(0，0)处( )（A）取极大值。（B）取极小值。（C）不取极值。（D）无法确定是否取极值。6 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微， z 是 f(x，y)在点 (x0，y 0)处的全增量，则在点
3、(x0，y 0)处( )（A）z=dz。（B） z=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y。（C） z=fx(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy。（D）z=dz+()。7 曲线 在点(1，一 1，0)处的切线方程为( )8 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线( )（A）只有一条。（B）只有两条。（C）至少有三条。（D）不存在。二、填空题9 =_。10 设 z=esinxy，则 dz=_。11 设函数 F(x，y)= =_。12 由方程 xyz+ 确定的隐函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的全微分为
4、 dz=_。13 设 z=f(x2+y2， )，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 =_。14 设函数 f(x，y)可微，且 f(1，1)=1 ，f x(1，1)=a ，f y(1，1)=b。又记 (x)=fx， fx，f(x ，x)，则 (1)=_。15 已知 z= +(xy)，其中 (u)可微，则 x2 +y2=_。16 曲面 (a0) 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为_。17 函数 f(x， y，z)=x 2+y3+z4 在点(1，一 1，0)处方向导数的最大值与最小值的平方和为_。18 函数 z=1 一(x 2+2y2)在点 M0 处沿曲线 C：x 2+2y2=1 在该
5、点的内法线方向n 的方向导数为_。19 曲面 x2+cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，一 1)处的切平面方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知 z=f(u，v)，用变换=0，求 a 值。21 设 y=f(x， t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t(x，y)，求 。22 设曲面 z=f(x，y)二次可微，且 0，证明：对任给的常数 C，f(x，y)=C 为一条直线的充要条件是23 函数 f(x， y)= 试判定其在点 (0，0) 处的可微性。24 在椭圆 x2+4y2=4 上求一点，使其到直线 2x+3y 一 6=0 的距离最短。25 设
6、x，y，z R+。求 u(x，y，z)=lnx+lny+31nz 在球面 x2+y2+z2=5R2 上的最大值，并证明：当 a0，b0， c0 时，有 abc 327( )5。26 求函数 f(x，y)=x 3 一 y3+3x2+3y2 一 9x 的极值。27 求曲线 在点 M0(1，1，3)处的切线与法平面方程。考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因 0，若 x1x 2，则 f(x1，y 1)f(x 2，y 1)； 同理0，若 y1y 2，则 f(x2，x 1)f(x 2，y 2
7、)。 故正确答案为(A)。【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy 可知， =3x2y2+bcos(x+2y)， 以上两式分别对 y，x 求偏导，得 =6xy2bsin(x+2y)， 由于，即 3axy 2 一 2sin(x+2y)=6xy2 一 bsin(x+2y)。 比较两端系数得 a=2，b=2。【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 曲面方程 z=F(x，y，z) 可以写成 F(x，y，z)一 z=0，由曲面的法向量计算公式，其法向量为 (F x，F
8、y，F z1)。【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由梯度计算公式，有【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 已知 =一 3，根据极限保号性，存在 0，当0 0 成立，而 x 2+1 一 xsinyx 2 一 x+1=0，所以当 0 时，有 f(x，y)一 f(0，0) 0，即f(x，y)f(0， 0)，所以 f(x，y)在点(0，0) 处取极大值，故选 A。【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 z=f(x0，y 0)在点(x 0，y 0)处可微，所以 z=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y+()=dz+
9、()， 故应选 D。【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 由法向量计算公式 n=(F x(x0，y 0，z 0)，F y(x0，y 0，z 0)，Fz(x0，y 0，z 0) 得，曲面 x2+y2+z2=2 在点(1，一 1，0)处的法向量为 n1=(2，一2，0)，平面 x+y+z=0 在点(1，一 1，0)处的法线向量为 n2=(1，1，1)。 则曲线在点(1，一 1，0)处的切向量为 =n 1n2=(一 2，一 2，4)，则所求切线方程为 故应选 D。【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 曲线的切向量为 T=(1，一 2t，3t 2)，平面
10、的法向量为 n=(1，2，1) ，于是由 T n=l 一 4t+3t2=0 解得 t1=1，t 2= ，故曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线有两条，故选 B。【知识模块】 多元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 e sinxycosxy(ydx+xdy)【试题解析】 =esinxycosxyx。所以有 dz=esinxycosxy(ydx+xdy)。【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 4【试题解析】 由复合函数求导法则及导数与微分的关系，【知识模块】 多元
11、函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 等式 xyz+ 两边求微分得 yzdx+xzdy+xydz+(xdx+ydy+zdz)=0，把(1，0，一 1)代入上式得 dz=dx 一 dy。【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 由复合函数求导法则有 ，再将等式两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 a(1+b+b 2)+b3【试题解析】 由题设 f(x，y)可微，且 f(1，1)=1，f x(1，1)=a，f y(1，1)=b 。又 (x)=fxx，fx ，f(x，x)+f yx，f(x ，x)f xx，f(x，x) +f yx，f(x，x)
12、fx(x，x)+f y(x，x)， 所以 (1)=f x(1，1)+f y(1，1)f x(1，1)+f y(1，1)f x(1，1)+fy(1，1) =a+ba+b(a+6)=a(1+b+b2)+b3。【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 0【试题解析】 由多元复合函数的求导法则【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 a【试题解析】 设曲面上任意一点 M(0，y 0，z 0)，则曲面在 M 点的法向量为又因为，所以 M 点的切平面方程满足等式令 x=y=0，得切平面在 z 轴上的截距z= ；x=z=0，得切平面在 y 轴上的截距 y= ；y=z=0，得切平面在x 轴上的截距
13、 x= 。 故截距之和为【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 26【试题解析】 函数 f(x，y，z)=x 2+y3+z4 在点(1 ，一 1，0)处方向导数的最大值与最小值分别为函数 f(x，y，z) 在该点处梯度的模(长度)及梯度模(长度)的相反数。 由梯度计算公式，有 gradf(1，一 1，0)=(f x，f y，f z) (1，1，0)=(2x，3y 2，4z 2) (1，1，0) =(2，3，0)，则该点处梯度的模长 gradf(1，一1，0) = ， 故所求平方和为 =26。【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y)=x 2+2y2
14、一 1，则曲线 C 在点 M0( )的法向量是 (2x，4y) ， 因此曲线 C 在点 M0 ，一 2)。【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 x 一 y+z=一 2【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+cos(xy)+yz+x，则曲面的法向量 n=F x，F y，F z=2x 一 ysin(xy)+1，一 xsin(xy)+z，y ， 则曲面 x2+cos(xy)+yz+x=0 在点(0，1，一1)处的法向量为 n=1，一 1，1，故切平面方程为 (x 一 0)一(y 一 1)+(z+1)=0，即x 一 y+z=一 2。【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明
15、、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由 z=f(u，v)，且 u，v 分别是 x 与 y 的函数，则，那么将以上结果代入原方程，整理得 由题意可知 a 应满足 6+aa2=0，且 10+5a0 故得 a=3。【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 等式 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得而 t=t(x，y) 由 F(x，y， t)=0 所确定，则由隐函数存在定理有【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 必要性：若 f(x，y)=C 表示一条直线，则 f(x，y) 一定是关于 x，y的一次式，必有 0。又因为 f(x，y)=C，所以 ，则因此可得 f“xx(fy)2
16、2fxfyfxy+f“yy(fx)2=0。亦即充分性：由(1)和(2)可知 =0，因而 f(x，y)=C 必是关于 x，y 的一次式，即 f(x，y)=C 表示一条直线。【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由偏导数定义，有 fx(0，0)= =0，由对称性知 fy(0，0)=0 ，而上式极限不存在。 事实上，故 f(x，y)在(0，0)点不可微。应选 B。【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 由点到直线的距离公式，椭圆 x2+4y2=4 上的点 P(x，y)到直线2x+3y 一 6=0 的距离为 由于 d 的表达式中含有绝对值，而d2= ，所以本题转化为求函数(2x+3y
17、6) 2 在条件 x2+4y2=4 下的最小值点。 构造拉格朗日函数 F(x，y，)=(2x+3y 一 6)2+(x2+4y2 一 4)，则根据本题实际意义知，最短距离存在，即点( )为所求的点。【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 构造拉格朗日函数 r(x，y，z ，)=lnx+lny+3lnz+(x 2+y2+z2 一 5R2)，令 解得驻点(R，R，R2)，于是有 lnxyz 3ln( R5)，故 xyz 3，特别地，取 x2=a，y 2=b，z 2=c，平方后即得 abc327( )5。【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 由已知得，f x(x，y)=3x 2+6x
18、 一 9，f y(戈，y)=一 3y2+6y。令进而得到驻点为 M1(1，0)，M 2(1，2)，M3(一 3，0) ，M 4(一 3，2)。 又 f“ xx(x，y)=6x+6，f“ xy(x，y)=0，f“ yy(x，y)=一6y+6。 在点 M1(1，0)处，A=12，B=0，C=6 。则 ACB2=720 且 A0，故f(1，0)=一 5 为极小值； 在点 M2(1，2)处，A=12，B=0，C= 一 6。则 ACB2=一723(一 3，0) 处， A=一 12，B=0 ，C=6。则 ACB2=一 720，故 f(一 3，0)不是极值； 在点 M4(一 3，2)处，A= 一 12，B=
19、0 ，C=一 6。则 ACB2=720 且 A0，故 f(一 3，2)=31 为极大值。【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 曲面 x2+z2=10 和曲面 y2+z2=10 在点 M0 的法向量分别为n1=(2x，0，2z) (1，1，3) =2(1，0，3)，n 2=(0，2y，2z) (1，1，3) =2(0，1，3)。由于切线的方向向量与它们均垂直，即有 l=n 1n2= =一 3i 一 3j+k。可取方向向量 l=(3，3，一 1)，因此切线方程为 法平面方程为 3(x 一1)+3(y 一 1)一(z 一 3)=0，即 3x+3yz 一 3=0。【知识模块】 多元函数微分学
