1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 u(x，y)=(x+y)+(x y)+xyx+y(t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( )2 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数存在。 若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（A）。（B） 。（C） 。（D）。3 设 f(x
2、y)= 则在原点 (0，0) 处 f(x，y)( )（A）偏导数不存在。（B）不可微。（C）偏导数存在且连续。（D）可微。4 设 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则必有( )（A）存在常数 k， f(x，y)=k。（B） f(x，y)=f(x 0，y 0)。（C） f(x，y 0)=f(x0，y 0)与 (x0，y)=f(x 0，y 0)。（D）当(x) 2+(y)20 时， f(x0+x，y 0+y)一 f(x0，y 0)一f x(x0，y 0)x+fy(x0+y0)y= 。5 极限 xyln(x2+y2)( )（A）不存在
3、。（B）等于 1。（C）等于 0。（D）等于 2。6 设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 =( )（A）f 2+xf“11+(x+z)f“12+xzf“22。（B） xf“12+xzf“22。（C） f2+xf“12+xzf“22。（D）xzf“ 22。二、填空题7 设 f(x，y)= 在点(0，0)处连续，则 a=_。8 连续函数 z=f(x，y)满足 =0，则 dz (0，1) =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求极限10 证明二重极限 不存在。11 设 z=xy，求 。12 设 z=xy+ 。13 设 z=f(x，y)= 等于( )14 设 u=
4、。15 设 z=x3f 。16 设 u=f(x， y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组(1)确定 z，t 为 y 的函数，求 。17 设 z=f(x，y)由方程 zy 一 x+xezyx=0 确定，求 dz。18 设 u=f(x， y，z)具有连续一阶偏导数，z=x(x，y)由方程 xex 一 yey=gez 所确定，求 du。19 设 u=f(x， y，z)，其中 f(x，y，z) 有二阶连续偏导数，z=z(x，y)由方程 x2+y2+z2一 4z=0 所确定，求 。20 设 z=f(u，x，y)，u=xe y，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 。21 设 z=z(x，y)是
5、由 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值。22 求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值。23 求函数 z=x2y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值。24 在旋转椭球面 x2+y2+ =1(c0) 上内接一个顶点在椭球面上，且表面平行于坐标面的长方体，问怎样选取长、宽、高才能使内接长方体的体积最大。25 求曲线 在点(1，一 2，1)处的切线及法平面方程。26 设直线 l： 在平面上，而平面与曲面：z=x 2+y2 相切于点(1，
6、一 25)求 a，b 的值。27 求函数 u=ln(x+ )在点 A(1，0，1)沿点 A 指向 B(3，一 2，2)方向的方向导数。28 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为D=(x，y) x 2+y2 一 xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x2 一 y2+xy。 ()设 M(x，y) 为区域 D 上的一个点，问 h(x，y)，在该点沿平面上什么方向的方向导数最大。若记此方向导数的最大值为 g(x0，y 0)，试写出 g(x0，y 0)的表达式； ()现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，
7、要在 D 的边界曲线 x2+y2 一 xy=75 上找出使()中的 g(x，y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由二元函数连续、偏导数存在与全微分之间的关系图 52，应选A。【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由偏导数定义，有 fx(0，0)= =0，同理fy(0，0)=0又 因为 不存在(前项极限为 0，后项极限不存在)，所以排除(A) ，(C) 两项。
8、 因为z=f x(0，0) x+fy(0，0) y+=，所以 = z=f(0+x，0+ y)f(0，0)=xysin 。 进而因此 f(x，y)在(0，0)处可微，故选 D。【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 表示 f(x，y)当(x ，y)(x 0，y 0)时极限存在； 选项(B)表示f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续； 选项(D)表示 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微。 以上 3 项在题设条件下都不一定成立。 选项(C)表示一元函数 f(x0，y)与 f(x，y 0)分别在点y=y0， x=x0 处连续。 由于 f x(x0，y 0)= 。
9、根据一元函数可导必连续的性质知(C)项正确。【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由于当 0x 2+y21 时，ln(x 2+y2)0，所以 0xyln(x 2+y2)一(x2+y2)ln(x2+y2)。 令 x2+y2=r，则由夹逼准则，xyln(x2+y2)=0，故应选 C。【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由复合函数求导法则， =xf“12+f2+xzf“22，故选C。【知识模块】 多元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 因为 由夹逼准则知，=0又知 f(0，0)=a ，则 a=0。【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 2dx
10、 一 dy【试题解析】 由于函数 f(x，y)连续，则有 f(0，1) 一 20+12=0，即 f(0，1)=1 。由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即 f(x，y)=2xy+2+ ，变形得 f(x，y)一 f(0，1)=2x 一(y 一 1)+，于是可知 f(x，y)在(0 ，1)点是可微的，并且有=一 1，故出 dz (0，1) =2dx 一 dy。【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 原式= =0。【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 取直线 y=kx，则 这说明沿任何一条过原点的直线 y=kx(不包括 x 轴)趋于(
11、0，0)点时，极限存在且都为零，并且若沿 y 轴趋于(0，0)点极限也为零。 但若沿过原点的抛物线 x=y2 趋于(0，0)点时，有【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 由二元函数 z=f(x，y)的求导法则，得 =xylnx，因此有 =e2lne=e2。【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 令 u= ，则 z=xy+xF(u)，由复合函数求导法则，有【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 当 x=0 时，z=f(0，y)=r ，于是故选 A。【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 由全微分的基本公式及全微分的四则运算法则，得【知识模块】 多元函数微分学15
12、 【正确答案】 由复合函数求导法则=x4f1+x2f2。【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 注意 z=z(y)，t=t(y)，于是因此，需要求 ，将方程组(1)两边对 y 求导得记系数行列式为 W=(yt2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 对已知方程两边求微分，得 dz 一 dy 一 dx+ezyxdx+xezyx(dz一 dydx)=0，解得 dz= +dy。【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 由 u=f(x，y，z)知，du= 。对等式 xex 一yey=zez 两端求微分得 (e x+xex)dx
13、 一(e y+yey)dy=(ez+zez)dz，【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 由复合函数求导法则知， 。 在方程 x2+y2+z2 一4z=0 两端对 x 求偏导，得上式两端再对 x 求偏导并结合 ，得其中因 f(x，y，z)具有二阶连续偏导数，故 f“13=f“31。【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 由已知， +fx=fue y+fx，所以 +f“xy =f“uuxe2y+f“uyey+fuey+f“xuxey+f“xy。【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 在方程 x26xy+10y2 一 2yzz2+18=0 两端分别对 x 和 y 求偏导数，
14、有将上式代入原方程中，解得可能取得极值的点为(9，3)和(一 9，一 3)。在(1)两端再次对 x 求导得 ，在(1)两端对 y 求导得，在(2)两端再次对 y 求导得 ，所以可计算得。故 AC 一 B2=0，从而点(9，3)是 z=z(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3 。类似地，由可知ACB2= 0，从而点(一 9，一 3)是 z=z(x，y)的极大值点，极大值为 z(一 9，一 3)=一 3。【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 作拉格朗日函数 L(x，y，z ，)=xy+2yz+(x 2+y2+z210)。令由(1)，(3)得 z=2x，代入(2)中，并结合(1)
15、 得到 y2=5x2，全部代入(4)得所有可能极值点为 A(1，一 2)。 而且当 =0 时也有一组解 y=0，x=一 2z，z 2=2，即 ，比较各点处的函数值得 u(A)=u(D)= ，u(E)=u(F)=0。 故函数的最大值为。【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 区域 D 如图 53 所示，它是有界闭区域， z(x，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，其最值或在 D 内的驻点处取得，或在 D 的边界上取得。 为求 D 内驻点，先求 =2xy(4 一 x 一 y)一 x2y=xy(83x 一 2y)， =x2(4 一 x 一 y)一 x2y=x2(4 一 x
16、 一 2y)。令解得 z(x，y) 在 D 内的唯一驻点(x，y)=(2 ，1)且 z(2，1)=4。 在 D 的边界 y=0，0x6 或 z=0，0y6 上 z(x，y)=0； 在边界x+y=6(0x6)上，将 y=6 一 x 代入 z(x，y)，有 z(x，y)=x 2(6 一 x)(一 2)=2(x3 一 6x2)(0x6)。令 h(x)=2(x3 一 6x2)，则 h(x)=6(x2 一 4x)，得 h(4)=0，h(0)=0。 且 h(4)=一 64，h(0)=0 ，即 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为 0，最小值为一 64。 综上， z(x，y)=一 64。【知
17、识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 设内接长方体在第一象限内的顶点为 A(x，y，z) ，则长方体的体积为 V=8xyz，其中 A(x，y，z)的坐标满足 x2+y2+ =1。 由方程 x2+y2+，从而把三元函数 V=8xyz 求最大值的问题化为求下述二元函数求最大值的问题： V(x，y)=8cxy ，0x1，0y1。 等式两边分别对 x 和 y 求偏导，得方程组解得 x=是函数 V(x，y)在定义域内的唯一驻点，且由实际问题的性质知，体积最大的内接长方体一定存在，所以 就是 V(x，y)的最大值点。因此当长方体的长、宽、高分别取 时，内接长方体的体积最大。【知识模块】 多元函数微分
18、学25 【正确答案】 设 则Fx=2x，F y=2y，F z=2z，G x=Gy=Gz=1。在点(1，一 2，1)处法平面方程为 一(x 一 1)+(x 一 1)=0，即 x 一 z=0。【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 曲面 z=x2+y2 在点(1，一 2，5)处的法向量为 n=(2x，2y，一1) (1，2，5) =(2，4，一 1)，于是切平面方程为 2(x 一 1)一 4(y+2)一(z 一 5)=0，即 2x 一 4y 一 z 一 5=0。 (1) 由 得 y=一 x 一 b，z=x 一 3+a(一 x一 b)，代入 (1)式得 2x+4x+4b 一 x+3+ax+a
19、b5=0，即(5+a)x+46+ab 一 2=0，于是有 5+a=0，4b+ab 一 2=0。因此解得 a=一 5，b=一 2。【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 () 函数 h(x，y) 在点 M 处沿该点的梯度方向 =一 2x0+y0，一 2y0+x0。 方向导数的最大值是 gradh(x，y) 的模，即 g(x 0，y 0)= 。 ()求g(x，y)在条件 x2+y2 一 xy 一 75=0 下的最大值点与求 g2(x，y)=(y 一 2x)2+(x 一 2y)2=5x2+5y2 一 8xy 在条件 x2+y2 一 xy 一 7
20、5=0 下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x，y，)=5x 2+5y2 一8xy+(x2+y2 一 xy 一 75)，则有联立(1)，(2)解得y=一 x，= 一 6 或 y=x， =一 2。 若 y=一 x，则由(3) 式得 3x2=75，即x=5，y= 5。 若 y=x，则由(3)式得 x2=75，即 x= 。 于是得可能的条件极值点 M 1(5，一 5)，M 2(一 5，5)，M 。 现比较 f(x，y)=g 2(x，y)=5x 2+5y28xy 在这些点的函数值，有 f(M 1)=f(M2)=450，f(M 3)=f(M4)=150。 因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在 M1，M 2，M 3，M 4中取到。所以 g2(x，y) 在 M1，M 2 取得边界线 D 上的最大值，即 M1，M 2 可作为攀登的起点。【知识模块】 多元函数微分学
