1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点 (0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在2 在曲线 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线（A）只有一条（B）只有两条（C）至少有三条（D）不存在3 设 f(u)0， 上点 P0(x0，y 0，z 0)(x0=f()处的法线与 z 轴的关系是（A）平行（B）异面直线（C）垂直相交（D）不垂直相交4 下列函数在点(0，0) 处不连续的是（A）（B）（C）（D
2、）5 设 z=f(x，y)= ，则 f(x，y)在点(0，0)处（A）可微（B）偏导数存在，但不可微（C）连续，但偏导数不存在（D）偏导数存在，但不连续6 设 z=f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0) 处（A）偏导数存在且连续（B）偏导数不存在，但连续（C）偏导数存在，可微（D）偏导数存在，但不可微二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求下列极限：8 证明极限 不存在9 ()设 f(x，y)=x 2+(y1)arcsin ()设 f(x，y)=10 求下列函数在指定点处的二阶偏导数：11 设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z
3、=f(x，y)，(y)， x)的偏导数12 设 z=f(u，v)，u=(x ，y)，v=(x ，y) 具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f(x，y) ，(x ，y)的一阶与二阶偏导数13 设 u=f(x， y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组确定 z，t 为 y 的函数，求14 设 u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换 x=rcos，r=rsin 下有15 设函数 z=(1+ey)cosxye y，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点16 求函数 z=x2y(4xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值17 已知
4、平面曲线 Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C0，ACB 20)为中心在原点的椭圆，求它的面积18 求函数 u=ln(x+ )在点 A(1，0，1)沿点 A 指向 B(3，2，2)方向的方向导数19 设有曲面 S： =1，平面：2x+2y+z+5=0()在曲面 S 上求平行于平面 的切平面方程；()求曲面 S 与平面之间的最短距离20 求曲线 ： 在点 M0(1，1，3)处的切线与法平面方程21 设 z(x，y)满足求z(x， y)22 设 f(x，y)= ()求 ；()讨论 f(x，y)在点(0，0)处的可微性，若可微并求 df (0，0) 23 设 z=(x2+y2) 求 dz 与24 设
5、z= f(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求25 设 u= ，求 du 及 26 设 z=z(x，y)是由方程 xy+x+yz=e z 所确定的二元函数，求 dz，27 设由方程 (bzcy ，cxaz，aybx)=0 (*)确定隐函数 z=z(x，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a ， b，c 为非零常数，且 b1a 20，求 a +b28 设 求 29 设 z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足 ()作变量替换 u=3x+y，v=x+y ，以 u，v 作为新的自变量，变换上述方程；()求满足上述方程的 z(x，y)30 在半径为 R 的圆的一切内接角形中求出其面积
6、最大者31 在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2，x+y+z=1 上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?32 曲面 2x2+3y2+z2=6 上点 P(1，1，1)处指向外侧的法向量为 n，求函数 u=在点 P 处沿方向 n 的方向导数33 设在 xOy 平面上，各点的温度 T 与点的位置间的关系为 T=4x2+9y2，点 P0 为(9，4)，求： ()gradT p0； ()在点 P0 处沿极角为 210的方向 l 的温度变化率； ()在什么方向上点 P0 处的温度变化率取得：1最大值；2最小值；3 零，并求此最大、小值34 设 F(x，y，z)有
7、连续偏导数，求曲面 S：F =0 上 点(x 0，y 0，z 0)处的切平面方程，并证明切平面过定点35 证明曲线 ：x=ae tcost，y=ae tsint，z=ae t 与锥面 S：x 2+y2=z2 的各母线(即锥面上点(x， y，z) 与顶点的连线)相交的角度相同，其中 a 为常数36 设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 z=f(ex2y2 )满足方程 =16(x2+y2)z，求f(u)考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论 f(x，y)在点(0 ，0)处是否连续
8、，是否可偏导先讨论f(x，y)在点(0，0)出是否可偏导由于 f(x，0)=0( x(，+)，则=0因此(B)，(D)被排除再考察 f(x，y)在点(0，0) 处的连续性令 y=x3，则 f(0，0)，因此 f(x，y)在点(0，0)处不连续故应选 (C)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 t0(，+)，该曲线在点 M0(x(t0)，y(t 0)，z(t 0)=(t0， )的切线方程为 该切线与平面 x+2y+z=4 平行的充要条件是，切线的方向向量(1，2t 0， )与平面的法向量(1，2， 1)垂直，即 (1，2t 0，或 t0=1，且 M0 不在该平面上因此选(
9、B)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 曲面在点 P0 处的法向量为其中 r0= 因 f(r0)0，x 0 与 y0 不同时为零 n 与 k 不平行( 即 n 与 z 轴不平行)又法线与 z 轴相交又 k.n0法线与 z 轴不垂直因此选(D) 【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 注意 1在(A)，(B)中分别有f(x，y)在点 (0， 0)处连续因此选(C) 【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 设z=f(x，y)一 f(0，0)，则可知 z= z=0这表明f(x，y)= 在点(0， 0)处连续因 f(x，0)=0(
10、f(x，0) x=0=0，同理f y(0，0)=0 令 =z 一 fx(0，0)xfy(0，0) y= ，当(x， y)沿 y=x 趋于点(0，0)时 即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在点(0 ，0) 处不可微，故选(B)【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数定义可知这说明 fx(0，0)存在且为 0，同理 fy(0，0)存在且为 0又所以f(x，y)在点(0，0)处可微分故选 (C)【知识模块】 多元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 ()()由 x4+y22x2y 而=0因此原极限为 0【知识模块】 多元函
11、数微分学8 【正确答案】 (x，y) 沿不同的直线 y=kx 趋于(0， 0)，有再令(x，y)沿抛物线 y2=x 趋于(0，0)，有 由二者不相等可知极限不存在【试题解析】 先考察(x，y)沿不同的直线趋于(0，0)时 f(x，y) 的极限若不同，则得证；若相同，再考察点(x，y)沿其他特殊的路径曲线趋于(0，0)时 f(x，y)的极限【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 () 因 f(x，1)=x 2，故=4又因 f(2，y)=4+(y 1)arcsin，故 ()按定义类似可求 =0(或由 x，y 的对称性得) 【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 () 按定义故()将上
12、式对 y 求导，得把 x=2，y= 代入上式，得=e2 ( 2cos2+23sin2+22cos2)= = 2ex (1x)cosxxe x sinx x=2=【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 由复合函数求导法可得【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 已求得第一步，先对 的表达式用求导的四则运算法则得 (*)第二步，再求 这里 f(u，v)对中间变量 u，v 的导数 仍然是 u，v 的函数，而 u，v 还是 x，y 的函数，它们的复合仍是 x，y 的函数，因而还要用复合函数求导法求 ， 即第三步，将它们代入(*)式得 (*)用类似方法可求得【知识模块】 多元函数微分学1
13、3 【正确答案】 注意 z=z(y)，t=t(y)，于是 因此，我们还要求 将方程组两边对 y 求导得记系数行列式为 W=(yt 2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则代入得【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 利用复合函数求导公式，有再对用复合函数求导法及(*)式可得于是【注】 在极坐标变换 x=rcos，=rsin 下，拉普拉斯方程【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 () 先计算()求出所有的驻点由 解得(x，y)=(2n，0) 或 (x，y)=(2n+1)，2)， 其中，n=0，1，2，()判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点在(2n，
14、0)处，由于 =(2)(1)0=2 0， =20则 (2n，0)是极大值点在(2n+1)，2)处，由于=(1+e2 )(e 2 )= 0则(2n+1)，2)不是极值点因此函数 z 有无穷多极大值点(2n ，0)(n=0 ，1，2 ，)，而无极小值点【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 区域 D 如图 81 所示，它是有界闭区域 z(x，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，它或在 D 内的驻点达到，或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点，先求 =2xy(4xy)x 2y=xy(83x2y)， =x2(4xy)x 2y=x2(4x2y)再解方程组得 z(x，y)在
15、D 内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且 z(2，1)=4 在 D 的边界y=0，0x6 或 x=0，0y6 上 z(x，y)=0；在边界 x+y=6(0x6)上将 y=6x 代入得 z(x，y)=x 2(6x)(2)=2(x 36x 2)，0x6令 h(x)=2(x36x 2)，则 h(x)=6(x24x) ， h(4)=0，h(0)=0，h(4)=64，h(6)=0 ，即 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为 0，最小值为64因此， z(x，y)=64【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为 d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bx
16、y+Cy21=0令 F(x，y，)=x 2+y2(Ax 2+2Bxy+Cy21)，解方程组将式乘 x，式乘 y，然后两式相加得 (1A)x 2Bxy+Bxy+(1C) 2=0，即 x2+y2=(Ax2+2Bxy+Cy2)=，于是可得 d= 从直观知道，函数 d2 的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组 Fx=0，F y=0 有非零解，其系数行列式应为零，即该方程一定有两个根1， 2，它们分别对应 d2 的最大值与最小值因此，椭圆的面积为【试题解析】 只需求椭圆的半长轴 a 与半短轴 b，它们分别是椭圆上的点到中心(原点)的距离的最大值与最小值因此，归结为求解条件极值问
17、题【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 先求 =(31，20，21) =(2 ，2，1)，l=(2，2，1)再求于是【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 () 先写出曲面 S 上任意点(x 0，y 0，z 0)处的切平面方程记 S 的方程为 F(x，y，z)=0 ，F(x ，y，z)= 1 ，则 S 上点 M0(x0，y 0，z 0)处的切平面方程为 Fx(M0)(xx 0)+Fy(M0)(yy 0)+Fz(M0)(zz 0)=0，其中 Fx(M0)=x0， Fy(M0)=2y0， Fz(M0)= z0该切平面与平面平行 它们的法向量共线即成比例=，且 2x0+2y0+z0
18、+50因为 M0(x0，y 0，z 0)在 S 上，所以它满足方程 即 42=1= 于是，(x0，y 0，z 0)=(1， ，1)显然，(x 0，y 0，z 0)不在平面上相应的切平面方程是即 x+y+ z2=0， x+y+ z+2=0这就是曲面 S 上平行于平面的切平面方程()椭球面 S 是夹在上述两个切平面之间，故曲面 S 上切点到平面 的距离最短或最长因此，曲面 S 到平面 的最短距离为 d2=【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 这两个曲面在点 M0 的法向量分别为 n0=(2x，0，2z) (1，1，3)=2(1，0，3) ， n2=(0，2y，2z) (1，1，3) =2
19、(0，1，3)切线的方向向量与它们均垂直，即有 l=n 2n2= =3i3j+k 可取方向向量 l=(3，3，1)，因此切线方程为 法平面方程为 3(x1)+3(y1)(z3)=0，即3x+3y z3=0【试题解析】 关键是求切线的方向向量这里没给出曲线的参数方程，而是给出曲面的交线方程，曲面的交线的切线与它们的法向均垂直，由此可求出切线的方向向量 l【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 把 y 看作任意给定的常数，将等式两边对 x 求积分得 z(x，y)=xsiny ln1xy+(y)，其中 (y)为待定函数由 式得siny ln1y+(y)=siny,故 (y)=2siny+ l
20、n1y因此， z(x，y)=(2x)siny+ 【试题解析】 实质上这是一元函数的积分问题当 y 任意给定时，求 z(x，y)就是 x 的一元函数的积分问题，但求积分后还含有 y 的任意函数，要由 z(1，y)定出这个任意函数【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 () 当(x ，y)(0 ，0)时， 当(x，y)=(0，0) 时，因 f(x，0)=0 由对称性得当(x，y)(0，0)时()考察 在点(0，0)处的连续性注意即在点(0 ，0) 处均连续，因此 f(x，y)在点(0，0)处可微于是【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得
21、由 dz 的表达式得 (2x+y)对 y 求导得【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量，(x+y) 是一元函数 ()与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由题设知 方便，由复合函数求导法则得=f(xy)+(x+y)+y(x+y)，=yf(xy)+(x+y)+y(x+y)【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 u= 复合而成的x，y，z 的三元函数先求 du(从而也就求得 也就可求得du，然后再由 由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则，得 从而因此【知识模块】 多元函数微分学
22、26 【正确答案】 将方程两边求全微分后求出出，由 dz 可求得 分别对 x，y 求导求得 将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得 ydx+xdy+dx+dydz=e zdx，解出 dz= (y+1)dx+(x+1)dy从而 再将 对 x 求导得代入 的表达式得 最后求出【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 将方程(*)看成关于 x，y 的恒等式，两边分别对 x，y 求偏导数得由a+b，可得 因此【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 将方程组对 x 求偏导数得解得 将方程组对 y 求偏导数同样可得【试题解析】 在题设的两个方程中共有五个变量
23、 x，y，z，t 和 u按题意 x，y是自变量，u 是因变量，从而由第二个方程知 z 应是因变量，即第二个方程确定 z是 x，y 的隐函数这样一来在五个变量中 x，y 和 t 是自变量，u 与 z 是因变量【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 () 将 z 对 x，y 的偏导数转换为 z 对 u，v 的偏导数由复合函数求导法得 这里 仍是 u，v 的函数，而 u，v 又是 x，y 的函数，因而将，代入原方程得 即原方程 变成=0 ()由题()，在变量替换 u=3x+y，v=x+y 下，求解满足的 z=z(x，y)转化为求解满足的 z=z(u，v)由 式 =f(u)，其中f(u)为任意
24、的有连续导数的函数再对 u 积分得 z=(u)+()，其中 ， 为任意的有连续的二阶导数的函数回到原变量得 z=(3x+y)+(x+y)【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 用 x，y，z 表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积 S 可用 x，y， z，R 表示为 其中z=2xy，将其代入得 S= R2sinx+sinysin(x+y)，定义域是D=(x，y) x0 ，y0，x+y2现求 S(x，y)的驻点： R2cosxcos(x+y)，R2cosycos(x+y)解 =0，得唯一驻点：(x，y)=( )在 D内部，又在 D 的边界上即 x=0 或 Yy=0 或 x+y=2 时
25、 S(x，y)=0因此，S 在()取最大值因 x=y= ，因此内接等边三角形面积最大【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 用拉格朗日乘子法令 F(x，y， z，)=x 2+y2+z2+(x2+y2z)+(x+y+z1)，解方程组 由前三个方程得 x=y，代入后两个方程得 解得 x=y= 记 M1，可算得 g(M1)=95从实际问题看，函数 g 的条件最大与最小值均存在，所以g 在点 M1，M 2 分别达到最小值和最大值，因而函数 f 在点 M1，M 2 分别达到最大值和最小值，即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点 M1 处最大，在点 M2 处最小【试题解析】 当负点电荷在点(x，y，
26、z) 处时，两电荷间的引力大小为 f(x,y，z)=负点电荷又在椭圆上，于是问题化为求函数 f(x，y，z)在条件x2+y2 z=0，x+y+z1=0 下的最大值和最小值为简单起见，考虑函数g(x，y ，z)=x 2+y2+z2，f 的最大值 (或最小值)就是 g 的最小值(或最大值)(差一倍数)于是问题又化为求函数 g(x，y，z)=x 2+y2+z2 在条件 x2+y2z=0，x+y+z 1=0 条件下的最大值和最小值【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 首先求出方向露及其方向余弦曲面 F(x，y，z)=2x2+3y2+z2 6=0，在 P 处的两个法向量是 =(4x，6y，2z
27、) p=2(2，3，1)，点 P 位于第一卦限，椭球面在P 处的外法向的坐标均为正值，故可取 n=(2，3，1)它的方向余弦为【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 () 按梯度的定义gradT p0= =(8x，18y) p0=72(1，1)()求 P0 点处沿 l 方向的温度变化率即求 按方向用极角表示时方向导数的计算公式得()温度 T在 P0 点的梯度方向就是点 P0 处温度变化率( 即 )取最大值的方向，且最大值为gradT p0=72 温度 T 在 P0 点的负梯度方向，即gradT p0=72(1，1)就是点 P0 处温度变化率取最小值方向，且最小值为gradT p0=72
28、 与p0 处梯度垂直的方向即 就是点 p0 处温度变化率为零的方向因为【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 记 G(x，y，z)=F ，曲面 S 的方程可写为 G(x，y，z)=0，则 S 上任一点 M0(x0，y 0，z 0)处的法向量为 其中 于是曲面 S 上点 M0 处的切平面方程是即上式左端中令 x=y=z=0 得即切平面通过定点(0，0，0)【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】 曲线 的参数方程满足 x2+y2=z2，于是 在锥面 S 上， 上任一点(x， y，z) 处的母线方向 l=x，y，z，切向量 T=x，y，z=ae t(costsint)，aet(cOs
29、t+sint)，ae t=xy，x+y，z因此即曲线 与锥面 S 的各母线相交的角度相同【试题解析】 先求 的切向量 T=x(t)，y(t)，z(t)以及锥面上点(x，y，z)的母线方向，即它与锥的顶点(0，0，0)的连线方向 l=(x，y，z)，最后考察 cos(T，l) 【知识模块】 多元函数微分学36 【正确答案】 令 u=ex2y2 ，则有其中=2ye x2y2 =2yu进而可得 =4x2u2f(u)+(2u+4x2u)f(u)， =4y2u2f(u)(2u 4y 2u)f(u)所以 =4(x2+y2)u2f(u)+4(x2+y2)uf(u)由题设条件，得 u 2f(u)+uf(u)4f(u)=0这是欧拉方程，令 u=et，方程化为 4z=0(z=f(u)，解此二阶线性常系数齐次方程得 z=C 1e2t+C2e2t ，即 z=f(u)=C1u2+ ，其中 C1，C 2 为 常数【试题解析】 z=f(e x2y2 )是 z=f(u)与 u=ex2y2 的复合函数，由复合函数求导法可导出 与 f(u)，f(u)的关系式，从而由 =16(x2+y2)z 导出 f(u)的微分方程式，然后解出 f(u)【知识模块】 多元函数微分学
