1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= ，则 f(0，1)( )（A）等于 1（B）等于 0（C）不存在（D）等于一 12 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微， z 是 f(x，y)在点 (x0，y 0)处的全增量，则在点(x0，y 0)处( )（A）z=dz（B） z=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y（C） z=fx(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy（D）z=dz+o()3 设 =0，则 f(x，y)在点(0，0) 处( )（A）不连续（B）连续但两个偏
2、导数不存在（C）两个偏导数存在但不可微（D）可微4 已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy，则( )（A）a=2 ，b=一 2（B） a=3，b=2（C） a=2，b=2（D）a= 一 2，b=25 已知 f(x，y)=sin ，则( )（A）f x(0，0)，f y(0，0) 都存在（B） fx(0，0)存在，但 fy(0，0)不存在（C） fx(0，0)不存在，f y(0，0)存在（D）f x(0，0)，f y(0，0) 都不存在6 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，
3、y)在 y=y0 处的导数大于零（B） f(x0，y)在 y=y0 处的导数等于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在7 曲线 在点(1，一 1，0)处的切线方程为( )二、填空题8 设函数 f(u， v)具有二阶连续偏导数 z=f(x，xy)，则 =_9 二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极小值为_ 10 函数 f(x， y)=x2y(4 一 xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最小值是_11 曲面 z=x2+y2 与平面 2x+4yz=0 平行的切平面的方程是_。12 曲面
4、 z 一(xy) 2+2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为_13 函数 u=ln(x+ )在点 A(1，0，1)处沿点 4 指向点 B(3，一 2，2)方向的方向导数为_14 函数 f(x， y，z)=x 3+y4+z2 在点(1，1，0)处方向导数的最大值与最小值之积为_15 曲面 z2+2y2+3z2=21 在点(1，一 2，2)的法线方程为_16 曲线 sin(xy)+ln(y 一 x)=x 在点(0，1)处的切线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 证明可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与f
5、y(x0，y 0)都存在，且 =fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y18 设 z=f(x，y)，x=g(y， z)+ 19 已知 =x+2y+3，u(0，0)=1 ，求 u(x，y)及 u(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由20 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 x 一 y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域D 上的最大值与最小值21 设 =x2+y2 的解，求 u。22 设 z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足 =0，若有 z(x，2x)=x，z(x，2x)=z(x，y) y=2x=x2，求 z“11(x，2x)与 z“12(x，
6、2x)23 设函数 u=f(x，y) 具有二阶连续偏导数，且满足等式 =0确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay，=x+by 下简化为 =024 设 z= 。25 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 在区域 D=(x，y) x 2+y24，y0，x0上的最大值和最小值26 设函数 f(u)具有二阶连续导数，函数 z=f(exsin y)满足方程 =(z+1)e2x，若f(0)=0，f(0)=0 ，求函数 f(u)的表达式27 过椭圆 3x2+2xy+3y2=1 上任一点作椭圆的切线，试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值28 设 z= 。29 设 。30 设 f(
7、u)(u0)有连续的二阶导数，且 z= =16(x2+y2)z，求 f(u)考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f x(0，1)= =1，故选 A【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z=f(x，y) 在点(x 0，y 0)处可微，则 z=fx(x0，y 0)Ax+fy(x0，y 0)y+o()=dz+o()， 故选 D【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由 =0 知 f(x ，y)一 f(0，0)+2x y=o() (当(x
8、，y)(0 ，0)时)， 即有 f(x，y)一 f(0，0)=一 2x+y+o()， 由微分的定义可知 f(x， y)在点(0，0)处可微，故选 D【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 du(x，y)=(axy 3+cos(x+2y)dx+(3x2y2+cos(x+2y)dy知即 3axy2 一2sin(x+2y)6xy2 一 bsin(x+2y)，则 a=2，b=2 ，故选 C【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 因可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，故有 f
9、x(x0，y 0)=0， fy(x0，y 0)=0又由 fx(x0，y 0)= ，可知 B 正确【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 曲面 x2+y2+z2=2 在点(1，一 1，0)处的法线向量为 n1=(2，一 2，0)，平面 x+y+z=0 在点(1，一 1，0)处的法线向量为 n2=(1，1，1) 则曲线，在点(1，一 1，0)处的切向量为 t=n1n2=(一 2，一 2，4)，则所求切线方程为 ，故选 D【知识模块】 多元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 xf“ 12+f2+xyf“22【试题解析】 由题干可知， =xf“12+f2+xyf“22【知识模块
10、】 多元函数微分学9 【正确答案】 -【试题解析】 由题干可知，f x=2x(2+y2)，f y=2x2y+lny+1，【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 一 64【试题解析】 根据题意可知， 得区域。内驻点(2 ，1)则有 f“ xx=8y 一 6xy 一 2y2； f“ xy=8x 一 3x2 一 4xy； f“ yy=一 2x2 则A=一 6，B=一 4，C=一 8，有 ACB2=320，且 A0 所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且 f(2，1)=4 当 y=0(0x6)时，z=0；当 x=0(0y6)时，z=0；当 x+y=6(0y6)时， 则 z=2x3
11、一 12x2(0x6)，且 =6x2 一 24x 令 =0，解得 x=4则 y=2，f(4，2)=一 64且 f(2，1)=4，f(0，0)=0 则 z=f(x，y)在 D 上的最大值为 f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=一 64【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 2x+4y 一 z=5【试题解析】 令 F(x，y， z)=z 一 x2 一 y2，则 Fx=一 2x，F y=一 2y，F z=1 设切点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则切平面的法向量为一 2x0，一 2y0，1，其与已知平面2x+4y 一 z=0 平行因此有 可解得 x0=1，y 0=2相应地有z0=x0
12、2+y02=5 故所求的切平面方程为 2(x 一 1)+4(y 一 2)一(z 5)=0，即 2x+4y 一z=5【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 4x+2y+(1 一 ln2)z=8【试题解析】 根据题意，令 F(x，y，z)=z 一(xy) z+2xy 一 3，那么有 F x(1，2，0)=2y 一 zxz1yz (1,2,0)=4， F y(1，2，0)=2x 一 zxzyz1 (1,2,0)=2， F z(1，2，0)=1 一(xy)zln(xy) (1,2,0)=1 一 ln2 则所求切平面的方程为 4(x 一 1)+2(y 一 2)+(1 一 ln2)z=0即 4x+
13、2y+(1 一 ln2)z=8【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 一 25【试题解析】 函数 f(x，y，z) 在(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值分别为f(x，y，z)在该点处梯度向量的模和梯度向量模的负值 gradf (1,1,0)=(3，4，0)， g= =5 则函数 f(x，y，z)=x 3+t4+z2 在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值之积为 g( 一g)=一g 2=一 25【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+2y2+3z2 一 21，
14、那么有 F x(1，一 2，2)=2x (1,2,2)=2， Fy(1，一 2，2)=4y (1,2,2)=8， F z(1，一 2， 2)=6z (1,2,2)=12 因此，所求法线方程为【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 y=x+1【试题解析】 设 F(x，y)=sin(xy)+ln(y 一 x)一 x，则故所求切线方程为 y=x+1【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 设 z=f(x0，y 0)在点(x 0，y 0)处可微，则等式成立令y=0，于是【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 由 z=f(x，y)，
15、有 dz=f 1dx+f2dy【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 由 =2x+y+1，有 u(x，y)=x 2+zy+z+(y)，再结合 =x+2y+3，有 x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，(y)=y 2+3y+C 于是 u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C 又由 u(0，0)=1 得 C=1，因此 u(x，y)=x 2+xy+y2+x+3y+1【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 先求在 D 内的驻点，即令再求 f(x，y)在D 边界上的最值，(1)在 x 轴上 y=0，所以 f(x，0)=0(2)在 y 轴上 x=0，所以f(0，y)=0 (3
16、)在 x+y=6 上，将 y=6 一 x 代入 f(x，y)中，得 f(x，y)=2x 2(x 一 6)， 则由 fx=6x2 一 24x=0， 得 x=0(舍)，x=4，y=6 一 x=2 于是得驻点 ， 相应的函数值 f(4，2)=x 2y(4 一 x 一 y) (4,2)=一 64 综上所述，最大值为 f(2，1)=4，最小值为 f(4， 2)=一 64【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 其中 C，C 是任意常数【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 z(x，2x)是 z(x，y)与 y=2x 的复合函数，先将 z(x，2x)=x 两边对x 求导，由复合函数求导法则
17、z1(x，2x)+2z 2(x，2x)=1，已知 z1(x，2x)=x 2，于是x2+2z2(x，2x)=1，再将它对 x 求导并由复合函数求导法则 2x+2z“ 21(x，2x)+4z“22(x，2x)=0 由 z“21=z“12 以及 z“11=z“22，可得 z“11(x，2x)与 z“12(x，2x)满足关系式 2z“ 11(x，2x)+z“ 12(x，2x)=一 x 将已知等式 z1(x，2x)=x 2 对 x 求导得z“11(x，2x)+2z“ 12(x，2x)=2x由上面两个关系式得【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 【
18、知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 先求 D 内的驻点及相应的函数值，由再求 f(x，y)在D 的边界的最大值与最小值，D 的边界由三部分组成： 一是直线段上 f(x，y)=x 2 (0x2)，最小值为 0，最大值为 4 二是线段 上 f(x，y)=2y 2 (0y2)，最小值为 0，最大值为8 于是 f(x，y)在 D 的边界上的最大值为 8，最小值为 0最后通过比较知 f(x，y)在 D上的最大值为 8，最小值为 0【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 此方程对应的齐次方程 f“(u)f(u)=0 的通解为 f(u)=C1eu+C2eu，方程 f“(u)一 f(u)=1
19、 的一个特解为 f(u)=一 1 所以方 f“(u)f(u)=1 的通解为 f(u)=C1eu+C2eu 一 1，其中C1，C 2 为任意常数由 f(0)=0，f(0)=0 得 C1=C2=(eu+eu)一 1【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 设(x，y)为所给椭圆上任一点，则可求得在(x，y)处的切线方程为 (3x+y)(X 一 x)+(x+3y)(Y 一 y)=0，则只需求(3x+y)(x+3y)在条件 3x2+2xy+3y2=1 下的极值即可设 F(x，y，)=(3x+y)(x+3y)+(3x2+2xy+3y2 一 1)，【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 先求 ，并且 f(x)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量；(xy)是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由于 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 本题确定两个因变量，三个自变量由第一个方程来看，u 是因变量，x，y，t 是自变量，由第二个方程来看，z 是因变量因此确定 x，y，t 为自变量，u，z 为因变量于是将方程组对 x 求偏导数得【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学
