1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： (x，y)在点(x 0，y 0)处连续；(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续； (x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(z，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在2 设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x ， u1(x，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则 u11(x，2x)= ( )3 利用变量替换 u=x，v= 化成新方程 ( )4 若函数 则函数 G(x，y)= ( )（A）x+y（
2、B） x-y（C） x2-y2（D）(x+y) 25 已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x3y2+bcos(x+2y)dy，则 ( )（A）a=2 ，b=-2（B） a=3，b=2（C） a=2，b=2（D）a=-2，b=26 设 u(x，y) 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且则 u(x，y)的 ( )（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上7 函数 f(x，y)=e xy 在点(0，1)处带皮亚诺
3、余项的二阶泰勒公式是 ( )8 函数 f(x，y)=x 4-3x2y2+z-2 在点(1，1)处的二阶泰勒多项式是 ( )（A）-3+(4x 3-6xy2+1)x-6x2.y.y+ (12x2-6y2)x2-24xy.xy-6x2.y2（B） -3+(4x2-6x2y+1)(x-1)-6x2y(y-1)+ (12x2-6y2)(x-1)2-24xy(x-1)(y-1)-6x2(y-1)2（C） -3-(x-1)-6(y-1)+ 6(x-1)2-24(x-1)(y-1)-6(y-1)2（D）-3-x-6y+ (6x2-24xy-6y2)9 设函数 z=(1+ey)cosx-yey，则函数 z=f
4、(x，y) ( )（A）无极值点（B）有有限个极值点（C）有无穷多个极大值点（D）有无穷多个极小值点二、填空题10 设 f 可微，则由方程 f(cx-ax，cy-bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足azx+bzy=_11 设 f(x)，g(y) 都是可微函数，则曲线 在点 (x0，y 0，z 0)处的法平面方程为_12 函数 的定义域为_13 设 z=esinxy，则 dz=_14 设函数 f(x，y)=e xln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为 ，则其拉格朗日型余项 R2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根
5、据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R=15+14x 1+32x2-8x1x2-15 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；16 若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略17 求 f(x，y)=x+xy-x 2-y2 在闭区域 D=(x，y)xz1，0y2上的最大值和最小值18 设 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围19 设 f(x，y)具有二阶连续偏导数证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件
6、是 f(a，b)=0，f x(a，b)=0，f y(a，b)0且当 r(a，6)0 时，b=(a) 是极大值；当 r(a， b)0 时，b=(a)是极小值，其中20 求函数 z=x2+y2+2x+y 在区域 D：x 2+y21 上的最大值与最小值21 求内接于椭球面 的长方体的最大体积22 在第一象限的椭圆 上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大23 设函数 f(x，y)及它的二阶偏导数在全平面连续，且 f(0，0)=0 ，2x-y求证：f(5，4)124 设 讨论它们在点(0，0)处的 偏导数的存在性； 函数的连续性； 方向导数的存在性； 函数的可微性25 设 A，B，C 为常数， B2-
7、AC0，A0u(x，y) 具有二阶连续偏导数证明：必存在非奇异线性变换 =1x+y，= 2x+y(1， 2 为常数)，将方程26 求经过直线 且与椭球面 S：x 2+2y2+3z2=21 相切的切平面方程27 设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且试讨论 f(0，0)是否为 f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?28 设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f xy(0，0)，h(1)=f yx(0，0)，且满足x2y2z2h(xyz)，求 u 的表达式，其中29 求证：f(x，y)=Ax 2+2Bxy+Cy2 在约束条件 g(x，y)= 下有最大值和最小
8、值，且它们是方程 k2-(Aa2+Cb2)k+(AC-B2)a2b2=0 的根考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查图 15-1 中因果关系的认知：【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u1+2u2=1，两边再对 x 求导得u11+2u12+2u21+4u22=0， 等式 u1(x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u11+2u12=2x， 将式及 u12=u21，u 11=u22 代入式中得 u11(x，
9、2x)=【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由复合函数微分法【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 设 则 u=xyf(t)，【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy 可知，故得 a=2，b=2【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 令 B= ，由于 B2AC0，函数 u(x，y)不存在无条件极值，所以，D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在 D 的内部出现但是 u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域 D
10、 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 直接套用二元函数的泰勒公式即知(B)正确【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 直接套用二元函数的泰勒公式即知(C)正确【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆 由得驻点为(k，cosk-1)，k-0 ，1，2， 又zxx=-(1+ey)co
11、sx，z xy=-eYsinx，z yy=ey(cosx-2-y) (1)当 k=0，2，4，时，驻点为(k，0) ，从而 A=zxx(k，0)=-2，B=z xy(k，0)=0，C=z yy(k，0)=-1 ，于是 B2-AC=-20，而 A=-20，即驻点(k，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； (2)当 k=1，3，时，驻点为(k，-2)，此时 A=z xx(k，-2)=1+e -2，B=z xy(k，-2)=0，C=z yy(k，-2)=-e -2，于是 B2-AC=(1+e-2).e0，即驻点(k，-2)为非极值点；综上所述，故选(C)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题
12、10 【正确答案】 c【试题解析】 本题考查多元微分法，是一道基础计算题方程两边求全微分，得f1.(cdx-adz)+f2.(cdy-bdz)=0，即【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 f(z 0)g(y0)(x-x0)+(y-y0)+g(y0)(z-z0)=0【试题解析】 曲线的参数方程为：x=fg(y)，y=y，z=g(y)【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 z且 z0【试题解析】 由-1 1 可得【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 e sinxycosxy(ydx+xdy)【试题解析】 z x=esinxycosxy.y，z y=esinxycosxy
13、.x； dz=esinxycosxy(ydx+xdy)【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 ， 在 0，x 之间， 在 0，y 之间【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 利润函数为 z=f(x1，x 2)由利用函数 z=f(x1，x 2)在(075 ，125)的二阶导数为由于 B2-AC=64-80=-160，A=-40，所以函数 z=f(x1，x 2)在(075，125)处达到极大值，也即最大值所以投入电台广告费 075 万元，报纸广告费 125 万元时，利润最大【知识模块】 多元
14、函数微分学16 【正确答案】 若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z=f(x1，x 2)在x1+x2=15 时的条件极值 构造拉格朗日函数 F(x1，x 2，)=15+13x 1+31x2-8x1x2-+(x1+x2-1.5)，由方程组 得x1=0， x2=1 5即将广告费 15 万元全部用于报纸广告，可使利润最大【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xy-x 2-y2 在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最小值 首先求 f(x，y)=x+xy-x 2-y2 在闭区域D 内部的极值：解方程组由 g(x，y)=(fxy)2
15、-fxxfyy=-3，得 f(x，y)=x+xy-x 2-y2 在闭区域 D 内部的极大值再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件在 z 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xy-x 2-y2+y，解方程组在下面边界的端点(0，0) ，(1，0) 处 f(0，0)=0 ，f(1 ，0)=0，所以，下面边界的最大值为，最小值为 0同理可求出：在上面边界上的最大值为-2，最小值为-4；在左面边界上的最大值为 0，最小值为-4；在右面边界上的最大值为 ，最小值为-2比较以上各值，可知函数 f(x，y)=x
16、+xy-x 2-y2 在闭区域 D 上的最大值为 ，最小值为-4【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 由 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2，可得 f x(x，y)=2kx+2ky，f xx(x，y)=2k， fy(x，y)=2kx+2y ，f yy(x，y)=2 ，f xy(x，y)=2k， 于是， 若=B 2-AC=4k2-4k0 且 A=2k0，故 0 k1； 若=B 2-AC=4k2-4k=0，则 k=0 或 k=1， 当k=0 时， f(x， y)=y2，由于 f(x，0)0，于是点(0，0)非极小值点 当 k=1 时，f(x，y)=(x+y) 2，由于 f(x，-x)
17、0，于是点(0，0)也非极小值点 综上所述，k 的取值范围为(0 1) 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 本题是一道新颖的计算性证明题，考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算，计算量大，难度不小 y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是(a)=0而 于是fx(a，b)=0，f y(a，b)0又【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 由于 x2+y21 是有界闭区域，z=x 2+y2+2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值 由于不在区域 D 内，舍去。 (2)函数在区域内部无偏导数不存在的点 (3)再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2
18、+2x+y 在满足约束条件 x2+y2=1 的条件极值点此时， z=1+2x+y用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2+y2-1)，解方程组所有三类最值怀疑点仅有两个，由于 ，所以最小值【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 设该内接长方体体积为 v，px，y，z)(x0，y0，z 0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x0，y0，z0 且满足条件 因此，需要求出 v=8xyz在约束条件 下的极值 设 L(x，y，z ，)=8xyz+，求出 L 的所有偏导数，并令它们都等于 0，有由题意知，内接于椭球
19、面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为v=【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 设 g(x，y)=椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为 原点到该法线的距离为 d=记 f(x，y)= ， x0，y0，约束条件为 g(x，y)= ，构造拉格朗日乘子函数 h(x，y，)=f(x，y)+g(x ，y)根据条件极值的求解方法，先求根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 因 与路径无关设 O(0，0) ，A(4，4)，B(5，4)，由
20、条件 2x-y，在直线 OA：y=x 上， ，所以【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 (1) 按定义易知 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0(2)以下直接证明 成立，由此可推知、均成立事实上，【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 代入所给方程，将该方程化为由于 B2-AC0，A0，所以代数方程 A2+2B+C=0 有两个不相等的实根 1 与2取此 1 与 2，此时 12A+(+)B+C= (AC-B2)0，代入变换后的方程，成为 变换的系数行列式 1-20【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 方法一 设切点为 M(x0，y 0，z 0)，于是 S 在点 M
21、 处的法向量n=(2x0，4y 0，6z 0)，切平面方程为 2x 0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0再利用 S 的方程化简得 x 0x+2y0y+3z0z=21在 L 上任取两点，例如点 ，代入上式得 再由 S 的方程，联立解得切点(3，0，2)与(1，2，2)，故得切平面方程为x+2z=7 和 x+4y+6z=21 方法二 直线 L 的方程可写成 x-2y=0，x+2z-7=0经过 L的平面束方程可写成 x-2y+(x+2z-7)=0， 即 (1+)x-2y+2z-7=0椭球面 S 在点M(x0，y 0，z 0)的法向量为 n=(2x0，4y 0，6z 0)，于是有
22、又 M 在 S 上，又在切平面上，故有 及 (1+)x0=2y0+2z0-7=0， 由式、 、联立解得 ，x0=1， y0=2， z0=2于是得切平面方程 x+4y+6z=21 但注意，采用平面束方程时，它并不包括方程 x+2z-7=0 在内它是否也是适合条件的另一解呢? 为此，有两个办法来进一步检查一是将平面束方程写成 x+2z-7+(x-2y)=0，按上述办法重新做一遍，得 =0，即 x+2z-7=0 也是解 另一办法是，将 x+2z-7=0 与S：x 2+2y2+3z2=21 联立，得 2y2+7(z-2)2=0，得 y0=0，z 0=2，从而 x0=3点(x0，y 0，z 0)=(3，
23、0，2)在平面 x+2z-7=0 上，也在曲面 S：x 2+2y2+3z2=21 上，并且在该点处，两者的法向量(1，0，2)与(6，0，12) 平行，故平面 x+2z-7=0 与曲面 S的确在点(3 ，0，2) 处相切，前者也是后者的一个切平面得二解【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 由再令 ，b0，于是上式可改写为由f(x，y)的连续性，有 另一方面，由 知，存在点(0 ，0)的去心邻域 时，有a 内，f(x，y)0所以 f(0，0)是 f(x，y)的极小值【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 u x=yzh(xyz)，u xy=zh(xyz)+xyz2h“(xyz)
24、，u xyz=h(xyz)+xyzh(xyz)+2xyzh(xyz)+x2y2z2h(xyz)故 3xyzh(xyz)+h(xyz)=0，令 xyz=t，得 3th(t)+h(t)=0设 v=h(t)，得 3tv+v=0，分离变量，得 又f(x，0)=0，则易知 fx(0，0)=0 ，当(x，y)(0，0)时，于是 fx(0，y)=-y，所以 fxy(0，0)=-1 ，由对称性知 fyx(0，0)=1，所以 h(1)=-1，h(1)=1，于是 这样 h(t)=【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 因为 f(x，y)在全平面连续， 为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)分别为最大值点和最小值点，令 则(x 1，y 1)，(x2，y 2)应满足方程记相应乘子为1， 2，则(x 1，y 1， 1)满足 解得，即 1， 2 是 f(x，y)在椭圆上的最大值和最小值 又方程组和 有非零解，系数行列式为 0，即 化简得 2-(Aa2+Cb2)+(AC-B2)a2b2=0，所以 1， 2是上述方程(即题目所给方程)的根【知识模块】 多元函数微分学
