1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 u=u(x，y)满足 u 有二阶连续偏导数，则 u11(x，2x)= ( )（A）（B）（C）（D）2 利用变量替换 u=x， ，可将方程 化成新方程 ( )（A）（B）（C）（D）3 若函数 其中 f 是可微函数，且 则函数G(x，y)= ( )（A）x+y（B） xy（C） x2 一 y2（D）(x+y) 24 已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+-3x2y2+bcos(x+2y)dy，则 ( )（A）a=2 ，b=一 2（B） a=3，b=
2、2（C） a=2，b=2（D）a= 一 2，b=25 设 u(x，y) 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且则 u(x，y)的 ( )（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上6 函数 f(x，y)=e xy 在点(0，1)处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式是 ( )（A）（B）（C）（D）7 函数 f(x，y)=x 4 一 3x3y2+x 一 2 在点(1，1)处的二阶泰勒多项式是 ( )（A）一 3+(4x3 一 6xy2+1)x
3、一 6x2.y.y+ (12x2 一 6y2)x2 一 24xy.xy 一 6x2.y2（B）一 3+(4x26xy2+1)(x 一 1)一 6x2y(y 一 1)+ (12x2 一 6y2)(x1)2 一 24xy(x一 1).(y 一 1)一 6x2(y 一 1)2（C）一 3 一(x 一 1)一 6(y 一 1)+ 6(x 一 1)2 一 24(x 一 1)(y 一 1)一 6(y 一 1)2（D）一 3 一 x 一 6y+ (6x2 一 24xy 一 6y2)8 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A
4、） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关二、填空题9 设 则 fz(0，1)=_10 设 f 可微，则由方程 f(cx 一 az，cy 一 bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足azx+bzy=_11 设 f(z)，g(y)都是可微函数，则曲线 在点(x 0，y 0，z 0)处的法平面方程为_12 函数 的定义域为_13 设 z=eminxy，则 dz=_14 设函数 f(x，y)=e xln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为 ，则其拉格朗日型余项 R2=_15 设 z=eminxy，则 dz=_三、解答题
5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且f (4)(x)M(M0) 证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 其中 x为 x关于 x0 的对称点17 求 f(x，y)=x+xy x2 一 y2 在闭区域 D=(x，y)1 0x1，0y2上的最大值和最小值18 设 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围19 求函数 z=x2+y2+2x+y 在区域 D：x 2+y21 上的最大值与最小值19 20 在第一象限的椭圆 ，使过该点的法线与原点的距离最大21 设函数 f(x，y)及它的二阶偏导数在全平面
6、连续，且xy求证：f(5，4)122 23 24 25 设 A 是 m5 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)r(AB)证明：方程 BX0 与ABX0 是同解方程组25 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CADB)n26 求证：f(x，y)=Ax 2+2Bocy+Cy2 在约束条件 下有最大值和最小值，且它们是方程 k2 一(Aa 2+Cb2)k+(ACB2)a2b2=0 的根考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u1+2u
7、2=1，两边再对 x 求导得u11+2u12+2u21+4u22=0， 等式 u1(x，2x)=x 2 两边对 x 求导得u11+2u12=2x， 将式及 u12=u21，u 11=u22代入式中得【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由复合函数微分法 于是【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 设 ，则 u=xyf(t)，于是即 G(x，y)=x 一 y【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(37+2y)dy 可知，以上两式分别对 y，x 求偏导得
8、3axy22sin(x+2y)=6xy2 bsin(s+2y),故得 a=2,b=2.【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 令 由于 B2 一 AC0，函数 u(x，y)不存在无条件极值，所以，D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在 D 的内部出现但是 u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域 D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 直接套用二元函数的泰勒公式即知 B 正确【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 直接套用二元函数的泰勒公式即知 C 正确【
9、知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选(B)【知识模块】 线性代数部分二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 c【试题解析】 本题考查多元微分法，是一道基础计算题方程两边求全微分，得f1.(cdxadz)+f2.(cdybdz)=0，即【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 f(z 0)g(y0)(x-x0)+(yy0)+g(y0)(zz0)=0【试题解析】 曲线的参
10、数方程为：x=fg(y)，y=y，z=g(y)【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 由 可得【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 e sinxycos xy(ydx+xdy)【试题解析】 z x=esinxycosxy.y，z y=esinxycos xy.x； dz=esinxycos xy(ydx+xdy)【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 在 0，x之间， 在 0，y 之间【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 e sinxycos xy(ydx+xdy)【试题解析】 z x=esinxycosxy.y，z y=esin
11、xycos xy.x； dz=esinxycos xy(ydx+xdy)【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最小值首先求 f(x，y)=x+xyx 2 一y2 在闭区域 D 内部的极值：解方程组 得区域 D 内部唯一的驻点为 由 g(x，y)=(f xy)2 一 fxxfyy=一 3，得 f(x，y)=x+xyx 2 一 y2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x，y
12、)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件在 z 轴上约束条件为y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xyx 2 一 y2+y，解方程组在下面边界的端点(0， 0)，(1，0)处 f(0，0)=0 ，f(1 ，0)=0，所以，下面边界的最大值为 ，最小值为 0同理可求出：在上面边界上的最大值为一 2，最小值为一 4；在左面边界上的最大值为 0，最小值为一 4；在右面边界上的最大值为 ，最小值为一 2比较以上各值，可知函数 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2 在闭区域 D 上的最大值为 ，最小值为一 4【知识模块】 多元函数微分
13、学18 【正确答案】 由 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2，可得 fx(x，y)一 2kx+2ky，f yy(x，y)=2k，f y(x，y)=2kx+2y，f yy(x，y)=2 ，f xy(x，y)=2k，于是，若=B 2 一 AC=4k2一 4k0 且 A 一 2k0，故 0k1；若 =B2 一 AC=4k2 一 4k=0，则 k=0 或k=1，当 k=0 时，f(x，y)=y 2，由于 f(x，0)0，于是点(0，0)非极小值点当 k=1时，f(x，y)=(x+y) 2，由于 f(x，一 x)0，于是点(0，0)也非极小值点综上所述，k 的取值范围为(0，1) 【知识模块】 多元
14、函数微分学19 【正确答案】 由于 x2+y21 是有界闭区域，z=x 2+y2+2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值(1)(2)函数在区域内部无偏导数不存在的点(3)再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求 z=x2+y2+2x+y在满足约束条件 x2+y2=1 的条件极值点此时，z=p+2x+y用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2a+y+(x 2+y2 一 1)，所有三类最值怀疑点仅有两个，由于 ，所以最小值 ，最大值【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 设 椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为 原点到该法线的距
15、离为，构造拉格朗日乘子函数 h(x， y，)=f(x，y)+g(x，y)根据条件极值的求解方法，先求根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 因 与路径无关设 O(0，0)，A(4，4)，B(5 ，4)，由条件 在直线 OA：y=x 上，所以【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 首先，方程组 BX0 的解一定是方程组 ABX0 的解令 r(B)r 且 1， 2，
16、 nr 是方程组 BX0 的基础解系，现设方程组 ABX0 有一个解 0 不是方程组 BX0 的解，即 B00，显然 1， 2， nr ， 0 线性无关，若1， 2， nr ， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k nr ，k 0，使得 k11k 22k nr nr k 000， 若 k00，则k11k 22k nr nr 0，因为 1， 2， nr 线性无关， 所以k1k 2k nr 0，从而 1， 2， nr ， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可由1， 2， nr ，线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B00，矛盾，所以 1， 2， nr ， 0 线性无关，且为方
17、程组 ABX0 的解，从而 n 一 r(AB)n一 r1 ，r(AB)r 一 1，这与 r(B)r(AB)矛盾，故方程组 BX0 与 ABX0 同解【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 因为 f(x，y)在全平面连续 为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)分别为最大值点和最小值点，令 则(x 1，y 1)，(x2，y 2)应满足方程 记相应乘子为 1， 2，则(x 1，y 1， 1)满足解得 1=Ax12+2Bx1y1+C1y2 同理2=2Ax22+2Bx2y2+Cy22，即 1， 2 是 f(x，y)在椭圆 上的最大值和最小值又方程组和 有非零解，系数行列式为 0，即 化简得 一(Aa 2+Cb2)+(ACB2)a2b2=0，所以 1， 2 是上述方程(即题目所给方程)的根【知识模块】 多元函数微分学
