1、考研数学一（多元函数微分学）-试卷 1 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： (x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； (x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； (x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(z，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x，u“ 1 (x，2x)=x 2
2、 ，u 有二阶连续偏导数，则 u“ 11 (x，2x)= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.利用变量替换 u=x，v= 化成新方程 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.若函数 （分数：2.00）A.x+yB.x-yC.x 2 -y 2D.(x+y) 26.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 3 y 2 +bcos(x+2y)dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=-2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=-2，b=27.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定
3、都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上8.函数 f(x，y)=e xy 在点(0，1)处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.函数 f(x，y)=x 4 -3x 2 y 2 +z-2 在点(1，1)处的二阶泰勒多项式是 ( )（分数：2.00）A.-3+(4x 3 -6xy 2 +1)x-6x 2 .y.y+ B.-3+(4x 2 -6x 2 y+1)(x-1)-6x 2 y(y-1)+ C.-3-(x-1)-6(y-1)+ D.-
4、3-x-6y+ 10.设函数 z=(1+e y )cosx-ye y ，则函数 z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点D.有无穷多个极小值点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设 f 可微，则由方程 f(cx-ax，cy-bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 az“ x +bz“ y = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)，g(y)都是可微函数，则曲线 （分数：2.00）填空项 1:_13.函数 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 z=e sinxy ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1
5、:_15.设函数 f(x，y)=e x ln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 x 1 (万元)及报纸广告费用 x 2 (万元)之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 1 +32x 2 -8x 1 x 2 - （分数：4.00）(1).在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（分数：2.00）_(2).若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略（分数：2
6、.00）_17.求 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D=(x，y)xz1，0y2上的最大值和最小值（分数：2.00）_18.设 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围（分数：2.00）_19.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 f(a，b)=0，f“ x (a，b)=0，f“ y (a，b)0 且当 r(a，6)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：2.00）_20.求函数
7、z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值（分数：2.00）_21.求内接于椭球面 （分数：2.00）_22.在第一象限的椭圆 （分数：2.00）_23.设函数 f(x，y)及它的二阶偏导数在全平面连续，且 f(0，0)=0， （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设 A，B，C 为常数，B 2 -AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数证明：必存在非奇异线性变换= 1 x+y，= 2 x+y( 1 ， 2 为常数)，将方程 （分数：2.00）_26.求经过直线 （分数：2.00）_27.设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域
8、 U 内连续，且 （分数：2.00）_28.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f“ xy (0，0)，h“(1)=f“ yx (0，0)，且满足 x 2 y 2 z 2 h(xyz)，求 u 的表达式，其中 （分数：2.00）_29.求证：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 g(x，y)= （分数：2.00）_考研数学一（多元函数微分学）-试卷 1 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.考虑二元函数 f(
9、x，y)的下面 4 条性质： (x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； (x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； (x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(z，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查图 15-1 中因果关系的认知：3.设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x，u“ 1 (x，2x)=x 2 ，u 有二阶连续偏导数，则 u“ 11 (x，2x)= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u“ 1 +2u“ 2 =
10、1，两边再对 x 求导得 u“ 11 +2u“ 12 +2u“ 21 +4u“ 22 =0， 等式 u“ 1 (x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u“ 11 +2u“ 12 =2x， 将式及u“ 12 =u“ 21 ，u“ 11 =u“ 22 代入式中得 u“ 11 (x，2x)= 4.利用变量替换 u=x，v= 化成新方程 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由复合函数微分法5.若函数 （分数：2.00）A.x+yB.x-y C.x 2 -y 2D.(x+y) 2解析：解析：设 则 u=xyf(t)，6.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3
11、x 3 y 2 +bcos(x+2y)dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=-2B.a=3，b=2C.a=2，b=2 D.a=-2，b=2解析：解析：由 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy 可知， 7.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上 C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上解析：解析：令 B= 8.函数 f(x，y)=e
12、 xy 在点(0，1)处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知(B)正确9.函数 f(x，y)=x 4 -3x 2 y 2 +z-2 在点(1，1)处的二阶泰勒多项式是 ( )（分数：2.00）A.-3+(4x 3 -6xy 2 +1)x-6x 2 .y.y+ B.-3+(4x 2 -6x 2 y+1)(x-1)-6x 2 y(y-1)+ C.-3-(x-1)-6(y-1)+ D.-3-x-6y+ 解析：解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知(C)正确10.设函数 z=(1+e y )cosx-ye y ，则函数 z=
13、f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点 D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆 由 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设 f 可微，则由方程 f(cx-ax，cy-bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 az“ x +bz“ y = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：c）解析：解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题
14、方程两边求全微分，得 f“ 1 .(cdx-adz)+f“ 2 .(cdy-bdz)=0，即 12.设 f(x)，g(y)都是可微函数，则曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f“(z 0 )g“(y 0 )(x-x 0 )+(y-y 0 )+g“(y 0 )(z-z 0 )=0）解析：解析：曲线的参数方程为：x=fg(y)，y=y，z=g(y)13.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*z且 z0）解析：解析：由-114.设 z=e sinxy ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e sinxy cosxy
15、(ydx+xdy)）解析：解析：z“ x =e sinxy cosxy.y，z“ y =e sinxy cosxy.x；dz=e sinxy cosxy(ydx+xdy)15.设函数 f(x，y)=e x ln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：15，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 x 1 (万元)及报纸广告费用 x 2 (万元)之间的关系有如下经验公式： R=
16、15+14x 1 +32x 2 -8x 1 x 2 - （分数：4.00）(1).在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利润函数为 z=f(x 1 ，x 2 ) 由 利用函数 z=f(x 1 ，x 2 )在(075，125)的二阶导数为 )解析：(2).若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z=f(x 1 ，x 2 )在 x 1 +x 2 =15 时的条件极值 构造拉格朗日函数 F(x 1 ，x 2 ，)=15+13x 1 +31x 2 -8x 1 x
17、2 - +(x 1 +x 2 -1.5)， 由方程组 )解析：17.求 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D=(x，y)xz1，0y2上的最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最小值 首先求 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 内部的极值： 解方程组 由 g(x，y)=(f“ xy ) 2 -f“ xx f“ yy =-3， 得 f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x，y)在闭区
18、域 D 边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件 在 z 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xy-x 2 -y 2 +y， 解方程组 在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处 f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面边界的最大值为 ，最小值为 0 同理可求出： 在上面边界上的最大值为-2，最小值为-4； 在左面边界上的最大值为 0，最小值为-4； 在右面边界上的最大值为 ，最小值为-2 比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy-x 2 -y 2 在闭区域 D 上的最大值为 )解析：18.设 f(x，y)=kx 2 +
19、2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 ，可得 f“ x (x，y)=2kx+2ky，f“ xx (x，y)=2k， f“ y (x，y)=2kx+2y，f“ yy (x，y)=2，f“ xy (x，y)=2k， 于是， 若=B 2 -AC=4k 2 -4k0 且A=2k0，故 0k1； 若=B 2 -AC=4k 2 -4k=0，则 k=0 或 k=1， 当 k=0 时，f(x，y)=y 2 ，由于f(x，0)0，于是点(0，0)非极小值点 当 k=1 时，f(x，y)=(x+y)
20、 2 ，由于 f(x，-x)0，于是点(0，0)也非极小值点 综上所述，k 的取值范围为(01)解析：19.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 f(a，b)=0，f“ x (a，b)=0，f“ y (a，b)0 且当 r(a，6)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是一道新颖的计算性证明题，考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算，计算量大，难度不小 y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 “(a)=0
21、而 于是 f“ x (a，b)=0，f“ y (a，b)0又 )解析：20.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x 2 +y 2 1 是有界闭区域，z=x 2 +y 2 +2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值 由于 不在区域 D 内，舍去。 (2)函数在区域内部无偏导数不存在的点 (3)再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求 z=x 2 +y 2 +2x+y 在满足约束条件 x 2 +y 2 =1 的条件极值点此时，z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数
22、L(x，y，)=1+2x+y+(x 2 +y 2 -1)， 解方程组 所有三类最值怀疑点仅有两个，由于 ，所以最小值 )解析：21.求内接于椭球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该内接长方体体积为 v，px，y，z)(x0，y0，z0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以 v=8xyz，x0，y0，z0 且满足条件因此，需要求出 v=8xyz 在约束条件 下的极值 设 L(x，y，z，)=8xyz+ ，求出 L的所有偏导数，并令它们都等于 0，有 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点 为顶点所作对称于坐标平面的
23、长方体即为所求的最大长方体，体积为 v= )解析：22.在第一象限的椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 g(x，y)= 椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为 原点到该法线的距离为 d= 记 f(x，y)= ，x0，y0，约束条件为 g(x，y)= ，构造拉格朗日乘子函数h(x，y，)=f(x，y)+g(x，y) 根据条件极值的求解方法，先求 根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为 )解析：23.设函数 f(x，y)及它的二阶偏导数在全平面连续，且 f(0，0)=0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 与路径无关 设 O(
24、0，0)，A(4，4)，B(5，4)，由条件 2x-y，在直线 OA：y=x 上， ，所以 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)按定义易知 f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=0 (2)以下直接证明成立，由此可推知、均成立事实上， )解析：25.设 A，B，C 为常数，B 2 -AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数证明：必存在非奇异线性变换= 1 x+y，= 2 x+y( 1 ， 2 为常数)，将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入所给方程，将该方程化为 由于 B 2 -AC0，A0，所以代数方程 A 2 +2B+C=0 有两个
25、不相等的实根 1 与 2 取此 1 与 2 ，此时 1 2 A+(+)B+C= (AC-B 2 )0，代入变换后的方程，成为 )解析：26.求经过直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 设切点为 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )，于是 S 在点 M 处的法向量 n=(2x 0 ，4y 0 ，6z 0 )，切 平面方程为 2x 0 (x-x 0 )+4y 0 (y-y 0 )+6z 0 (z-z 0 )=0 再利用 S 的方程化简得 x 0 x+2y 0 y+3z 0 z=21 在 L 上任取两点，例如点 ，代入上式得 再由 S 的方程 ，联立解得切点(3，0，2)与(1，2，
26、2)，故得切平面方程为 x+2z=7 和 x+4y+6z=21 方法二 直线 L 的方程可写成 x-2y=0，x+2z-7=0经过 L 的平面束方程可写成 x-2y+(x+2z-7)=0， 即 (1+)x-2y+2z-7=0 椭球面 S 在点 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )的法向量为 n=(2x 0 ，4y 0 ，6z 0 )，于是有 又 M 在S 上，又在切平面上，故有 及 (1+)x 0 =2y 0 +2z 0 -7=0， 由式、联立解得 )解析：27.设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 再令 ，b0，于是上式可改写
27、为 由 f(x，y)的连续性，有另一方面，由 知，存在点(0，0)的去心邻域 时，有a )解析：28.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f“ xy (0，0)，h“(1)=f“ yx (0，0)，且满足 x 2 y 2 z 2 h(xyz)，求 u 的表达式，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u“ x =yzh“(xyz)，u“ xy =zh“(xyz)+xyz 2 h“(xyz)，u“ xyz =h“(xyz)+xyzh“(xyz)+2xyzh“(xyz)+x 2 y 2 z 2 h“(xyz) 故 3xyzh“(xyz)+h“(xyz)=0，令 xyz=
28、t，得3th“(t)+h“(t)=0 设 v=h“(t)，得 3tv“+v=0，分离变量，得 又 f(x，0)=0，则易知 f“ x (0，0)=0，当(x，y)(0，0)时， 于是 f“ x (0，y)=-y，所以 f“ xy (0，0)=-1，由对称性知 f“ yx (0，0)=1，所以 h(1)=-1，h“(1)=1， 于是 这样 h(t)= )解析：29.求证：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 g(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在全平面连续， 为有界闭区域，故 f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )分别为最大值点和最小值点，令 则(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )应满足方程 记相应乘子为 1 ， 2 ，则(x 1 ，y 1 ， 1 )满足 解得 ，即 1 ， 2 是 f(x，y)在椭圆 上的最大值和最小值 又方程组和有非零解，系数行列式为 0，即 )解析：
