1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P12 设 ，Q 为三阶非零矩阵，且 PQ 0，则( ) （A）当 t6 时，r(Q) 1（B）当 t6 时，r(Q)2（C）当 t6 时，r(Q)1（D）当 t6 时，r(Q)23 函数 z=x3+y3 一 3x2 一 3y2 的极小值点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)4 函数 y=f(x， y)在点(x 0，y 0)处连续是它在该点偏导数存
2、在的 ( )（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件5 函数 则极限 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在6 zx(x0，y 0)=0 和 zy(x0，y 0)=0 是函数 z=z(x，y)在点 (x0，y 0)处取得极值的( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充分条件7 函数 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集8 极限 ( )（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在，但不等于 也不等于 09
3、 设 u=f(r)，而 具有二阶连续导数，则 =( )（A）（B）（C）（D）10 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数存在 若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 ( )（A）（B） （C） （D）二、填空题11 函数 f(x， y)=ln(x2+y2 一 1)的连续区域是_12 设13 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c 在点( 一 2，3)处取得极小值一 3
4、，则常数a、b、c 之积 abc=_14 曲面 z=eyz+xsin(x+y)在 处的法线方程为_15 设 则在极坐标 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示17 设 A 为 n 阶矩阵，若 Ak1 0，而 Ak0证明：向量组 ，A，A k1 线性无关17 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关18 设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0 ，f x(0，0)=a ，f y(0，0
5、)=b，且 (t)=f(t，t 2)，求 (0)19 设 其中 f 及 二阶可微，求20 设 其中 f，g 均可微，求21 设 其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求22 设函数 z=f(u)，方程 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1求23 设24 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 和 ez 一xz=0 所确定，求24 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式25 验证26 若 f(1)=0，f(1)=1 ，求函数 f(u)的表达式27 设齐次线性方程组
6、 ，其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解28 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又且 AB0，求方程组 AX0 的通解29 30 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；31 若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 BAE 14E23 或 BAE 23E14 即 BAP 1P2 或 BAP 2P1，所以B1 P21 P11 A1 或 B1 P 1
7、1 P21 A1 ，注意到 Eij1 E ij，于是B1 P2P1A1 或 B1 P 1P2A1 ，选(C) 【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Q0，所以 r(Q)1，又由 PQ0 得 r(P)r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)1，选(C)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 可得到 4 个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0) 在(0 ，2)点和(2 ，0) 点，均有 ACB20，因而这两个点不是极值点；在(0，0)点，ACB2=360，且 A=一 60 ，所以(0，0)点是极大值点；在(
8、2，2) 点，ACB2=360，且 A=120，所以 (2，2)点是极小值点，故选 B【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 在多元函数中，一点连续与一点可偏导无必然联系【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时， 当(x，y)(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为 0【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 若 ，则(0，0)为其极小值点，但 zx(0，0)，zy(0，0)均不存在【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 f(x，y)当 x0 时，为二元连续函数，而当所以，(0，y 0)为 f(x
9、，y) 的连续点，故此函数的不连续点为空集【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 当取 y=kx 时， 与 k 有关，故极限不存在【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 属基本计算，考研计算中常考这个表达式【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查图 151 中因果关系的认知：【知识模块】 多元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 x 2+y21【试题解析】 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 0【试题解析】 本题属于基本计算，考研中考过多次这种表达式【知识模块】
10、多元函数微分学13 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(一 2，3)处，z x=0，z y=0，从而可分别求出 a、b、c 之值【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 一 sin【试题解析】 由 x=rcos，y=rsin ，得【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示 反之，设任一
11、n 维向量总可由1， 2， n 线性表示，取 ，则 e1，e 2，e n可由 1， 2， ， n 线性表示，故 1，a 2， n 的秩不小于 e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 令 l0l 1Al k1 Ak1 0(*)(*) 两边同时左乘 Ak1 得l0Ak1 0，因为 Ak1 0，所以 l00；(*) 两边同时左乘 Ak2 得 l1Ak1 0，因为 Ak1 0，所以 l10，依次类推可得 l2l k1 0，所以，A， Ak1 线性无关【知识模块】 线性代
12、数部分【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 在 (t)=ft,f(t，t 2)中令 u=t，v=f(t，t 2)，得 (t)=f(u，v)，【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 令 u=xy，v=x+y ，则 由于 f 及 二阶可微，而u=xy， v=x+y 均为初等函数，故满足 这里先求 较为简便一些由复合函数的求导法则，得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】
13、多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解f(u)=lnu+C2由初值条件 f(1)=0C 2=0，所以 f(u)=lnu【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 (1)当ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当 a6 时，方程组的同解方程组为x1x 2x n0，其通解为 Xk 1(一 1，1，0，0) Tk 2(一 1，0，1，0)T k n1 (1，0，0，1) T(k1，k 2，k n1 为任意常数)；(3)令，当 a(1 一 n)b 时，r(A) n1，显然(1，1
14、，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 由 AB0 得 r(A)r(B)3 且 r(A)1(1)当 k9 时，因为 r(B)2，所以 r(A)1，方程组 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k9 时，r(B) 1，1r(A)2，当 r(A)2 时，方程组 AX0 的通解为 (C为任意常数)；当 r(A)1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 【知识模块】
15、 线性代数部分30 【正确答案】 利润函数为 z=f(x1，x 2)=15+14x1+32x28x1x22x12 一 10x22 一(x1+x2)=15+13x1+31x28x1x22x12 一 10x22利用函数 z=f(x1，x 2)在(075 ，125)的二阶导数为 由于B2 一 AC 一 6480=一 160，A=一 40，所以函数 z=f(x1，x 2)在(075，125)处达到极大值，也即最大值所以投入电台广告费 075 万元，报纸广告费 125万元时，利润最大【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z=f(x1，x 2)在x1+x2=15 时的条件极值构造拉格朗日函数 F(x1，x 2，)一 15+13x1+31x28x1x22x12 一 10x22+(x1+x215) ，由方程组 得x1=0， x2=1 5即将广告费 15 万元全部用于报纸广告，可使利润最大【知识模块】 多元函数微分学
