多元函数考研模拟题

1、数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 ( )6 设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x ，u 1(x，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则 u11(x，2x)= ( )7 利用变量代换 u=x，v= ，可将方程 化成新方程 ( )8 若函数 u= ，其中 f 是可微函数，且 =G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( )（A）x+y（B） xy（C） x2y 2（D）(x+y) 29 已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy，则 ( )（A）a=2 ，b=2（B） a=3，b=2（C） a=2，b=2（D）a= 2， b=210 设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且则 u(x，y)的 ( )（A）最大值点和最小值点必定都。

2、A）f(x，y)在(x 0，y 0)处连续（B）（C） f(x，y)在(x 0，y 0)处可微（D）3 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 则函数 f(x，y)在点(0，0)处 ( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值4 设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 则f(x，y)在(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值二、填空题5 设 z=(x2+y2)xy，则6 设 f 二阶可导，7 设 f 二阶可偏导，z=f(xy，z+y 2)，则8 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)=3x+4y+6+()，其中 则 dz|(1,0)=_9 设 z=f(x，y)二阶连续可导，且 fx(x，0)=2x，f(0 ，y)=sin2y，则f(x，y)=_，10 11 12 由 x=zey+z 确定 z=z(x， y)，则 dz|(c,0)=_13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 设 z=f(t2，e 2t)二。

3、I 1 = （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 。
B.I 1 I 2 I 3 。
C.I 2 I 1 I 3 。
D.I 3 I 1 I 3 。
3.如图 67所示，正方形(x，y)x1，y1被其对角线划分为四个区域 D k (k=1，2，3，4)，I k = I k =( ) （分数：2.00）A.I 1 。
B.I 2 。
C.I 3 。
D.I 4 。
二、解答题(总题数：34，分数：68.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）_5.计算二重积分 （分数：2.00）_6.计算二重积分 （分数：2.00）_。

4、，f y(0，0)都不存在。
2 函数 f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是 ( )3 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数大于零。
（B） f(x0，y)在 y=y0 处的导数等于零。
（C） f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零。
（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在。
4 =( )5 设 f(x，y)在 D：x 2+y2a2 上连续，则 =f(x，y)d( )（A）不一定存在。
（B）存在且等于 f(0，0)。
（C）存在且等于 f(0，0)。
（D）存在且等于 f(0， 0)。
6 交换积分次序 1edx0lnxf(x，y)dy 为( )（A） 0edy0lnxf(x，y)dx。
（B） eyedy01f(x，y)dx。
（C） 0lnxdy1ef(x，y)dx 。
（D） 01dyeyef(x，y)dx。
7 累计积分 d0cosf(rcos，rsin)rdr 可以写成( )8 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)=xy+ f(，。

5、可偏导是函数 zf(，y)在点( 0，y 0)连续的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件3 设可微函数 f(，y)在点( 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f( 0，y)在 yy 0 处导数为零（B） f(0，y)在 yy 0 处导数大于零（C） f(0，y)在 yy 0 处导数小于零（D）f( 0，y)在 yy 0 处导数不存在二、填空题4 设 zf( 2y 2， )，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 _5 设 zyf( )，其中 f(u)可导，则 _6 设 zf( 2y 2z 2，yz)且 f 一阶连续可偏导，则 _7 设 yy(，z)是由方程 eyz 2y 2z 2 确定的隐函数，则 _8 设 zf(，y)是由 e2yzy 2z 确定的函数，则 _9 设 yy()由 0 确定，则 _10 设 zz(，y)由 ze 。

6、a3（D）4a 34 设：x 2+y2+z2=a2(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则有 ( )5 设 ( )（A）与 L 的取向无关，与 a，b 的值有关（B）与 L 的取向无关，与 a，b 的值无关（C）与 L 的取向有关，与 a，b 的值有关（D）与 L 的取向有关，与 a，b 的值无关6 设是 yOz 平面上的圆域 y2+z21，则 (x4+y4+z4)dS 为 ( )二、填空题7 设 C 为闭域 D 的正向边界闭曲线，则 C( -y)dx+(xsiny2)dy 可通过 A(A 为 D 的面积)表示为 _8 向量场 A(x，3x，2y) 在点 M(x，y，z) 处的旋度 rotA=_9 空间曲线 x=3t，y=3t 2， z=2t3 从 O(0，0，0) 到 A(3，3，2)的弧长为_10 已知 F=x3i+y3j+z3k，则在点 (1，0，-1)处的 divF 为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11 将 化为先 y，再 x，后 z 的三次积分，其中 f 为连续函数12 求函数 f(x，。

7、x 0，y 0)处两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)存在是 f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件 4 二元函数 在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在二、填空题5 设 ze sinxy，则 dz_6 处的值为_7 设 ，可导，则 xzxyz y_8 设 ，f， 具有二阶连续导数，则_。
9 设 ，其中 f，g 均可微，则 _。
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10 设 f 和 g 为连续可微函数，uf(x，xy) ，vg(x xy)，求 11 *，其中 f 和 g 具有二阶连续导数，求 12 设 ，求 dx。
13 设 ue u xy，求 14 设 15 设 zf(2xy)g(x ，xy)，其中函数 f(t)二阶。

8、下累次积分的形式为 ( )5 设平面区域 D 由 x=0， y=0，x+y=，则 I1，I 2， I2 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I26 球面 x2+y2+z2=4a2 与柱面 x2+y2=2ax 所围成立体体积等于 ( )二、填空题7 若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有 =_8 设 f(x，y)为连续函数，则 =_，其中 D：x 2+y2t29 由曲线 y=x2，y=x+2 所围成的平面薄片，其上各点处的面密度 =1+x2，则此薄片的质量 M=_10 设 为曲线 z=1-x2-y2，z=0 所围的立体，如果将三重积分 f(x，y，z)dv化为先对 z 再对 y 最后对 x 积分，则 I=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10 记平面区域 D=(x，y)x+y1)，计算如下二重积分：11 ，其中 f(t)为定义在(-， +)上的。

9、A）（B）（C）（D）4 设平面区域 D 由 x=0， y=0, ，x+y=1 围成，若则 I1，I 2，I 3 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I25 球面 x2+y2+z2=4a2 与柱面 x2+y2=2ax 所围成立体体积等于 ( )（A）（B）（C）（D）6 设 1：x 2+y2+z2R2，z0； 2：x 2+y2+z2R2，且 x0，y0，z0则有( )（A）（B）（C）（D）7 累次积分 化为极坐标形式的累次积分为 ( )（A）（B）（C）（D）8 设 则三重积分 等于 ( )（A）（B）（C）（D）9 两个半径为 R 的直交圆柱体所围成立体的表面积 S 等于 ( )（A）（B）（C）（D）10 设 为 x2+y2+z21，则三重积分 等于 ( )（A）0（B） （C）（D）2二、填空题11 若 f(x，y)为关于 z 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D上连续时，必有 =_.12 设 f。

10、y 1y 2 已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy，则( )（A）a=2 ，b=一 （B） a=3，b=（C） a=2，b=（D）a= 一 2，b=3 曲面 z=r(x，y，z)的一个法向量为 ( )（A）(F x，F y，F z 一 1)。
（B） (Fx1，F y1，F z 一 1)。
（C） (Fx，F y，F z)。
（D）(一 Fx，F y，一 1)。
4 设 u(x，y，z)=zarctan ，则 gradu(1，1，1)=( )5 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足， =一 3，则函数 f(x， y)在点(0，0)处( )（A）取极大值。
（B）取极小值。
（C）不取极值。
（D）无法确定是否取极值。
6 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微， z 是 f(x，y)在点 (x0，y 0)处的全增量，则在点(x0，y 0)处( )（A）z=dz。
（B） 。

11、设 uf(y，z)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 f 11 (z)f 12 zf 22B.f 12 zf 22C.f 2 f 12 zf 22D.zf 223.函数 zf(，y)在点( 0 ，y 0 )可偏导是函数 zf(，y)在点( 0 ，y 0 )连续的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件4.设可微函数 f(，y)在点( 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数为零B.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数大于零C.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数小于零D.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数不存在二、填空题(总题数：12，分数：24.00)5.设 zf( 2 y 2 ， )，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 zyf( )，其中 f(u)可导，则 （分数：。

12、设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 +xf“ 11 +(x+z)f“ 12 +xzf“ 22B.xf“ 12 +xzf“ 22C.f 2 +xf“ 12 +xzf“ 22D.xzy“ 223.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )连续的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件4.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在二、填空题(总题数：12，分数：24.00)5.设 f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 u=f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则。

13、设函数 u(x，y)=(x+y)+(xy)+ xy x+y (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在。
若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（分数：2.00）A.。
B.。
C.。
D.。
4.设 f(xy)= （分数：2.00）A.偏导数不存在。
B.不可微。
C.偏导数存在且连续。
D.可微。
5.设 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则必有( )（分数：2.00）A.存在常数 k，B.C. f(x，y 0 )=f(x 0 ，y 0 )与 D.当(x) 2 +(y) 2 0 时，。

14、设 （分数：2.00）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导3.设 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续B.C.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微D.4.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值5.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设 z=(x 2 +y 2 ) xy ，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f 二阶可导， （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f 二阶可偏导，z=f(xy，z+y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_。

15、2.已知(axy 3 一 y 2 vosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy为某一函数的全微分，则 a，b 取值分别为（分数：2.00）A.一 2和 2B.2和一 2C.一 3和 3D.3和一 33.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.不连续B.偏导数不存在C.偏导数存在但不可微D.偏导数存在且可微4.二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处两个偏导数 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )存在是 f(x，y)在该点连续的（分数：2.00）A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件5.二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在6.考虑二元函数的下面 4条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处两个偏导。

16、C）偏导数存在但不可微（D）偏导数存在且可微3 二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)存在是 f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件4 二元函数 f(x，y)= 在点 (0，0) 处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在5 考虑二元函数的下面 4 条性质：f(x ，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x0，y 0)处两个偏导数存在若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有6 已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 ，则（A）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点（B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点7。

17、在点(x 0，y 0)连续的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件3 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在二、填空题4 设 f(x，y)满足 f(x，0)=1 ，f y(x，0)=x，则 f(x，y)=_5 设 u=f(x，y ，z)=e xyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则6 设 其中 f(u)可导，则7 设 y=y(x，z)是由方程 ex+y+z=x2+y2+z2 确定的隐函数，则8 设 z=f(x，y)是由 确定的函数，则9 设 y=y(x)由 确定，则10 设 z=z(x，y)由 z+ez=xy2 确定，则 dz=_ 11 设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则12 设 其中 f 可导，则13 由方。

18、2，n2（D）m2，n23 函数 z=f(x，y)= 在(0 ，0)点 ( )（A）连续，但偏导数不存在（B）偏导数存在，但不可微（C）可微（D）偏导数存在且连续4 函数 x3+y3 3x23y 2 的极小值点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)5 函数 ，则极限 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在6 设函数 z=1 ，则点(0，0)是函数 z 的 ( )（A）极小值点且是最小值点（B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点（D）极大值点但非最大值点7 设 f(x，y)=arcsin ，则 fx(2，1)= ( )8 zx(x0，y 0)=0 和 zy(x0，y 0)=0 是函数 z=z(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极值的( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充分条件9 函数 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集10 函数 在点(0，0)处 ( )（A）。

19、x 0，y)在 y=y0 处导数等于零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在二、填空题4 设 可导，则 xzx+yzy=_5 设 其中 f，g 均可微，则 =_.6 设生产函数为 Q=ALK，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A， 均为大于零的参数，则当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_7 交换积分次序 =_。
8 函数 f(u，u)由关系式 fxg(y，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则=_.9 设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz (1,0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10 设 z=f(x，y)是由方程 zyx+xez-y-x=0 所确定的二元函数，求 dz11 计算二重积分 其中 D=(。

20、2.设函数 f(x，y)可微分，且对任意的 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。
B.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。
C.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。
D.x 1 x 2 ，y 1 y 2 。
3.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则( )（分数：2.00）A.a=2，b=一 B.a=3，b=C.a=2，b=D.a=一 2，b=4.曲面 z=r(x，y，z)的一个法向量为( )（分数：2.00）A.(F x ，F y ，F z 一 1)。
B.(F x 1，F y 1，F z 一 1)。
C.(F x ，F y ，F z )。
D.(一 F x ，F y ，一 1)。
5.设 u(x，y，z)=zarctan ，则 gradu(1，1，1)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连。