1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f(x，y)= ，则( )（A）f x(0，0)，f y(0，0)都存在。（B） fx(0，0)不存在，f y(0，0)存在。（C） fx(0，0)不存在，f y(0，0)不存在。（D）f x(0，0)，f y(0，0)都不存在。2 函数 f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是 ( )3 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数大于零。（B） f(x0，y)在 y=y0 处的导
2、数等于零。（C） f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零。（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在。4 =( )5 设 f(x，y)在 D：x 2+y2a2 上连续，则 =f(x，y)d( )（A）不一定存在。（B）存在且等于 f(0，0)。（C）存在且等于 f(0，0)。（D）存在且等于 f(0， 0)。6 交换积分次序 1edx0lnxf(x，y)dy 为( )（A） 0edy0lnxf(x，y)dx。（B） eyedy01f(x，y)dx。（C） 0lnxdy1ef(x，y)dx 。（D） 01dyeyef(x，y)dx。7 累计积分 d0cosf(rcos，rsin)rd
3、r 可以写成( )8 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)=xy+ f(，)dd ，其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于( )（A）xy。（B） 2xy。（C） xy+ 。（D）xy+1。二、填空题9 设 f(x，y， z)=ex+y2z，其中 z=z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 fx(0，1，一 1)=_。10 没函数 f()可微，且 f(0)= ，则 z=f(4x2 一 y2)在点(1，2)处的全微分 dz (1，2)=_。11 设 z= =_。12 设 z=xf()+g()，= ，且 f()及 g()具有二阶连续
4、导数，则=_。13 二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极小值为_ 。14 交换积分次序 =_。15 设 D=(x， y)x 2+y21，则 (x2 一 y)dxdy=_。16 csc2ydxdy=_，其中 D 由 y 轴，y= ，y=arctanx 围成。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 z= 。18 已知函数 f(，)具有连续的二阶偏导数， f(1，1)=2 是 f(，)的极值，已知z=f(x+y)，f(x，y) 。求 。18 设函数 f()在(0，+)内具有二阶导数，且 z= 满足等式=0。19 验证 f()+ =0；20 若 f(1)=0，
5、f (1)=1，求函数 f()的表达式。21 求 f(x，y)=xe 一 的极值。22 求函数 =x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。23 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 x2dxdy。24 计算 (xy2+3exsiny)d，其中 D：x 2+y22x。25 计算 ，其中 D=(x，y)0yminx，1 一 x。26 设二元函数 f(x，y)= 计算二重积分f(x，y)d，其中 D=(x，y)x+y2 。27 设区域 D=(x，y) x 2+y21，x0 ，计算二重积分 I= 。考研数学二（多元函数积分
6、学）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 所以 fy(0，0)存在。故选 B。【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 fx(x，y)=f x(0，0) ，且有 fy(x，y)=f y(0，0)，可知，f(x，y)的两个一阶偏导数 fx(x，y)和 fy(x，y)在(0，0)点连续，因此 f(x，y)在(0， 0)点可微。故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 因可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，故有 fx(x0，y 0)=0,f
7、y(x0，y 0)=0。又由 fx(x0，y 0)= f(x0，y) y=y0，可知 B 正确。【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 结合二重积分的定义可得【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理知 f(x，y)d=a 2f(，)，(，)D ，【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 交换积分次序得 1edx0lnxf(x，y)dy= 01dyeyef(x，y)dx。【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 由累次积分 0 d0cosf(rcos，rsin)rdr 可知，积分区域 D 为
8、D=(r，) 0rcos，0 )。由 r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆可作出D 的图形如图 147 所示。该圆的直角坐标方程为 。故用直角坐标表示区域 D 为 D=(x，y)0y ，0y1 ，或 D=可见 A、B 、C 均不正确，故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 等式 f(x，y)=xy+ 两端积分得【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 已知 f(x，y，z)=e x+y2z，那么有 fx(x，y，z)=e x+y2zx。在等式x+y+zxyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+zx+yz+xyzx=0。
9、 由 x=0，y=1，z=一 1，可得 zx=0。 故 fx(0，1，一 1)=e0=1。【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 4dx 一 2dy【试题解析】 直接利用微分的形式计算，因为【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 (ln21)【试题解析】 设 则 z=，所以【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 0【试题解析】 由复合函数求导法则【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，f x=2x(2+y2)，f y=2x2y+lny+1。由。又所以 B2 一 AC=一 2e(2+ )0，则 A0。故 f(0， )是 f(x，y
10、)的极小值，且 。【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 02dy f(x，y)dx【试题解析】 由题干可知，积分区域如图 1413 所示，则有【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 利用函数奇偶性及轮换对称性【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由已知分别带入可得=0。【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 因为 =f1(x+y)，f(x，y)+f 2(x+y)，f(x，y)f 1(x，y)，所以=f11(x+y)，f(x，
11、y)+f 12(x+y)，f(x，y)f 2(x，y)+f 21(x+y)，f(x，y)f 1(x，y)+f 22(x+y)，f(x，y) f 2(x，y)f 1(x，y)+f 2(x+y)，f(x，y) f 12(x，y)，又因为 f(1， 1)=2 是 f(，)的极值，故 f1(1，1)=0，f 2(1，1)=0 。因此=f11(2，2)+f 12(2，2)f 2(1，1)+f 21(2，2)f 1(1，1)+f22(2， 2)f 2(1，1)f 1(1，1)+f 2(2，2)f 12(1，1)=f 11(2，2)+f 2(2，2)f 12(1，1)。【知识模块】 多元函数微积分学【知识模
12、块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 设 = ，则【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 令 f()=p，则 p+ =0，分离变量得 ，两边积分得 lnp=一 ln+lnC1，即 。由 f(1)=1 可得 C1=1。对等式 f()= 两边积分得 f()=lnu+C2，由 f(1)=0 可得 C2=0，故 f()=ln。【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 先求函数 f(x，y)=xe 一 的驻点，f x(x，y)=e 一x=0，f y(x，y)=一 y=0，解得函数 f(x，y) 的驻点为(e，0)。又 A=fxx(e，0)= 一1，B=f xy(e，0)=0，C=f
13、 yy(e，0)=一 1，所以 B2 一 AC0，A 0。故 f(x，y)在点(e， 0)处取得极大值，f(e，0)= e2。【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 可以利用拉格朗日乘数法求极值，两个约束条件的情况下，作拉格朗日函数 F(x，y，z，)=x 2+y2+z2+(x2+y2 一 z)+(x+y+z 一 4)，且令解方程组得(x 1，y 1，z 1)=(1，1，2)，(x 2，y 2，z 2)=(一2，一 2，8) 。代入原函数，求得最大值为 72，最小值为 6。【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 根据已知 则有【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】
14、 由于积分区域关于 x 轴对称，3e xsiny 关于 y 为奇函数，故(xy2+3exsiny)d= xy2d。对该积分利用极坐标进行计算可得【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 积分区域如图 1 一 420 所示，在极坐标中【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 f(x，y)d= f(x，y)d，其中 D1 为 D 在第一象限内的部分。【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 积分区域 D 如图 1424 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 f(x，y)= 是变量 y 的偶函数，函数 g(x，y)= 是变量 y 的奇函数。 则取 D1=Dy0，【知识模块】 多元函数微积分学
