1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 ( )2 极限（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在且不等于 0 及3 设 u=f(r)，而 f(r)具有二阶连续导数，则4 设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x，u 1(x，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则 u“11(x，2x)= ( ) 5 下列结论正确的是 ( )（A）z=f(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域内两个偏导数存在，则 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续（B） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域
2、内连续，则 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数存在（C） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域内两个偏导数存在且有界，则 z=f(x，y)在点(x0，y 0)处连续（D）z=f(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域内连续，则 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)该邻域内两个偏导数有界6 利用变量替换 u=x， 可将方程 化成新方程 ( )7 若函数 其中 f 是可微函数，且则函数 G(x，y)= ( )（A）x+y（B） xy（C） x2 一 y2（D）(x+y) 28 设 u(x，y) 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 则 u(x，y)的 ( )（A）
3、最大值点和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上9 设函数 则函数 z(x，y)在点(0 ，0) 处 ( )（A）不连续，而两个偏导数 zx(0，0)与 zy(0，0)存在（B）连续，而两个偏导数 zx(0，0) 与 zy(0，0)不存在（C）连续，两个偏导数 zx(0，0) 与 zy(0，0)都存在，但不可微（D）可微二、填空题10 设函数 z=z(x，y)由方程 sinx+2yz=ez 所确定，则11 函数 的定义域为_12 设 F(u，v)对其变
4、元 u，v 具有二阶连续偏导数，并设 则13 设 则 fx(0，1)=_14 设 z=esinxy，则 dz=_15 已知 u(0，0)=1，求 u(x，y)的极值点_，并判别此极值是极_(大、小)值三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2 在闭区域 D=(x，y)|0x1，0y2 上的最大值和最小值17 求函数 z=x2+y2+2x+y 在区域 D=(x，y)|x 2+y21)上的最大值与最小值18 求内接于椭球面 的长方体的最大体积19 在第一象限的椭圆 上求一点，使原点到过该点的法线的距离最大20 在球面 x2+y2+z2=5
5、R2(x0，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz 的最大值，并利用所得结果证明不等式21 设 讨论它们在点(0，0)处的偏导数的存在性；函数的连续性； 函数的可微性22 设 f(x，y)在点 0(0，0)的某邻域 U 内连续，且 常数 试讨论 f(0，0) 是否为 f(x，y)的极值?若为极值，是极大值还是极小值?23 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 在区域 D=(x，y)|x 2+y24，y0上的最大值与最小值24 设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f“ xy(0，0)，h(1)=f“ yx(0，0)，且满足求 u 的表
6、达式，其中25 (1)叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微及微分 的定义； (2)证明可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与fy(x0，y 0)都存在，且 并请举例说明(1)之逆不成立26 设 z=f(x，y)， 其中 f，g， 在其定义域内均可微，计算中出现的分母均不为 0，求26 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy 为某二元函数 u(x，y) 的全微分27 求 f(x)；28 求 u(x，y)的一般表达式29 求函数 f(x，y)=x 2
7、+y2 一 12x+16y 在区域 D=(x，y)|x 2+y225上的最大值和最小值30 求二元函数 z=f(x，y)=x 2+4y2+9 在区域 D=(x，y)|x 2+y24)上的最大值与最小值31 设函数 z=z(x，y)由方程 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+32=0 确定，讨论函数 z(x，y)的极大值与极小值32 设 2 关于变量 x，y 具有连续的二阶偏导数，并作变量变换 x=eu+v，y=e u-v，请将方程 变换成 z 关于 u，v 的偏导数的方程考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
8、1 【正确答案】 A【试题解析】 将 x 视为常数，属于基本计算【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 取 y=x，则 取 y=x2，则故原极限不存在【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 属于基本计算，考研计算中常考这个表达式【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u1+2u2=1，两边再对 x 求导得 u“11+2u“12+2u“21+4u“22=0， 等式 u1(x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u“11+2u“12=2x， 将式及 u“12=u“21，u“ 11=u“2
9、2 代入式 中得【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系设在(x 0，y 0)某邻域 U 内，对于任意(x，y) U，有|f x(x，y)|M，|f y(x，y)|M(M 为正常数) 由微分中值定理，有 |f(x，y) 一 f(x0，y 0)|f(x，y)一 f(x，y 0)|+|f(x，y 0)一 f(x0，y 0)| =|fy(x，y 0+1Ay)y|+|fx(x0+2x，y 0)x| M(|x|+|y|)， 这里 x=xx0，y=yy0，0 1， 21 当 时，有x0， y0，必有 |f(x ，y)一 f(x0，y 0)|M
10、(|x|+|y|)0 ， 故 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由复合函数微分法于是 又 u=x，故 【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 设 则 u=xyf(t)， 于是即 G(x，y)=xy【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 令 由于 B2 一 AC0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以 D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D 的内部出现但是 u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域 D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上【知识模块
11、】 多元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 直接验证(D)正确，从而排除(A) ，(B) ，(C) 按微分定义，z(x，y)在点(0，0)处可微，且 【知识模块】 多元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 方程两端对 x 求偏导数 移项并解出即可【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 由 且 z0 可得【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 e sinxycosxy(ydx+xdy)【试题解析】 由于 zx=esin
12、xycosxyy，z y=esinxycosxyx，所以 dz=esinxycosxy(ydx+xdy)【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 由 有 u(x，y)=x 2+xy+x+(y)再由 =x+2y+3 有x+(y)=x+2y+3，得 (y)=2y+3，(y)=y 2+3y+C 于是 u(x，y)=x 2+xy+x+y2+3y+C 再由 u(0，0)=1 得 C=1，从而 u(x，y)=x 2+xy+y2+x+3y+1 所以 为极小值【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 这是闭区域上求最值的问题由于函数
13、f(x，y)=x+xyx 2 一 y2 在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最小值 首先求 f(x，y)=35-+xyx 2 一y2 在闭区域 D 内部的极值： 解方程组 得区域 D内部唯一的驻点为 由 g(x，y)=(f“ xy)2 一 f“xxf“yy=一 3 得 f(x，y)=x+xy 一x2 一 y2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件 在 x 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x ，y，)=x+xy 一 x2 一 y2+y， 解方程组 得可能的极值点 其函数值为
14、在下边界的端点(0，0)，(1，0) 处 f(0，0)=0 ，f(1，0)=0，所以下边界的最大值为 最小值为 0。 同理可求出： 在上边界上的最大值为一 2，最小值为一 4； 在左边界上的最大值为 0，最小值为一 4； 在右边界上的最大值为最小值为一 2 比较以上各值，可知函数 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2 在闭区域 D上的最大值为 最小值为一 4【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 由于 x2+y21 是有界闭区域，z=x 2+y2+2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值 解方程组 得由于 不在区域 D 内，舍去 函数在区域内部无偏导数不存在的点 再
15、求函数在边界上的最大值与最小值点，即求 z=x2+y2+2x+y 满足约束条件 x2+y2=1 的条件极值点此时z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2+y2 一 1)，解方程组 得 或 所有三类最值怀疑点仅有两个，由于 所以最小值 最大值【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 设该内接长方体体积为 v，P(x， y，z)(x0，y0，z0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x0，y0，z0 且满足条件 因此，需要求出v=8xyz 在约束条件 下的极值 设求出 L 的所有偏导数，并令它
16、们都等于 0，有 式，分别乘以 x，y，z，有 得或 =0(=0 时，8xyz=0，不合题意，舍去) 把 代入式，有 解得 从而由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点 为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 设 则有椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为即 原点到该法线的距离为记 x0，y0，约束条件为 构造拉格朗日函数 h(x，y，)=f(x，y)+g(x，y) 根据条件极值的求解方法，先求 令得方程组： 由式得一 16+x4=0，则 由式 得一 1+4y4=0 即 所以有 则 代入式得到 解
17、得根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 作拉格朗日函数 L(x，y，z ，)=lnx+lny+3lnz+(x 2+y2+z2 一 5R2)，并令 由，式得 代入式得可疑点 因 xyz2 在有界闭集 x2+y2+z2=5R2(x0，y0，z0)上必有最大值，且最大值必在x0，y0，z 0 取得，故 f=ln xyz3 在 x2+y2+z2=5R2 上也有最大值，而唯一，故最大值为 又 lnx+lny+3lnz，即 故 x2y2z227R10 令 x2=a，y 2=b，z 2=c，又知x2+y2+z2=5R
18、2，则【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 对 f(x，y)作如下讨论 按定义易知 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0，故在点(0 ，0)处偏导数存在 所以f(x，y)在点(0，0)处连续 按可微定义，若可微，则 即应有 但上式并不成立(例如取y=kx，上式左边为 故不可微 对 g(x，y)作如下讨论以下直接证明成立，由此可推知， 均成立事实上， 所以 按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0) 处可微【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 由 知 再令 于是上式可改写为 由 f(x，y)的连续性，有 另一方面，由知，存在点(0，0)的去心邻域 当 时，有故在 内，f(
19、x，y)0所以 f(0，0)是 f(x，y)的极小值【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 先求 f(x，y)在 D 内部的驻点由 f x(x，y)=2x 一2xy2=0，f y(x，y)=4y 一 2x2y=0，解得 x=0 或 y=1； 或 y=0经配对之后，位于区域 D 内部的点为 经计算，有 再考虑 D 边界上的 f(x，y)在 y=0 上，f(x，0)=x 2，最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0又在 x2+y2=4(y0)上，有 令 g(x)=4x 3 一 10x=0，得 x=0 或 有 g(0)=8， 比较以上函数值的大小，有 【知识模块】 多元函数微分学2
20、4 【正确答案】 因 u x=yzh(xyz)，u“ xy=zh(xyz)+xyz2h“(xyz)， u“ xyz=h(xyz)+xyzh“(xyz)+2xyzh“(xyz)+x2y2z2h“(xyz) 故 3xyzh“(xyz)+h(xyz)=0，令 xyz=t，得3th“(t)+h(t)=0 设 v=h(t)，得 3tv+v=0，分离变量，得 从而又 f(x，0)=0 ，则易知 f(0，0)=0，当(x，y)(0，0) 时，有 于是 fx(0，y)=一 y，所以 f“xy(0，0)=一 1，由对称性知 f“yx(0，0)=1，所以 h(1)=一 1，h(1)=1， 于是故 从而【知识模块】
21、 多元函数微分学25 【正确答案】 (1)定义：设 z=f(x，y)在点(x 0， 0)的某邻域 U 内有定义，(x 0+x0，y 0+y)U增量 其中 A，B 与x 和 y 都无关， 则称f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，并且 为 z=f(x，y)在点(x0，y 0)处的微分 (2)设 z=f(x，y) 在点(x 0，y 0)处可微，则 (*)式成立令 y=0，于是 令x0，有同理有 于是 fx(x0，y 0)与 fx(x0，y 0)存在，并且例如，对于函数有 两个偏导数均存在以下用反证法证 f(x，y)在点(0 ，0)处不可微若可微，则有 f=f(x，y)一 f(0，0)=0 x+
22、0y+o()， 但此式是不成立的例如取y=k x，则 与 k 有关，(*)式不成立，所以不可微【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，利用微分形式不变性解题比较方便，由 z=f(x，y)，有 dz=f 1dx+f2dy 由 有 解得 代入第一式 dz 表达式中再解出 得 【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 由题知，存在二元函数 u(x，y)，使 du=xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy，即 由于 f(x)具有一阶连续导数，所以 u 的二阶混合偏导数连续，所以有 即有 x(1+2y)一 f(x)
23、=f(x)+2xy， f(x)+f(x)=x 又 f(0)=0，可求得 f(x)=x 一 1+e-x【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 由上题有，du=(xy 2+yye-x)dx+(x 一 1+e-x+x2y)dy求 u(x，y)有多个方法 方法一 凑微分法 所以u(x，y)= (xy)2+xy+ye-x 一 y+C，其中 C 为任意常数 方法二 偏积分法由 其中C1(y)为 Y 的任意可微函数再由 得 x 2y+x+e-x+C1(y)=x一 1+e-x+x2y，于是 C1(y)=一 1，C 1(y)=一 y+C于是 u= (xy)2+xy+ye-x 一 y+C，其中 C 为任意
24、常数【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 令 解得 点(6，一 8)不在区域D 内，所以在 D 内无极值点又闭区域上的连续函数必有最大值和最小值，因此，最大值和最小值只能在边界 x2+y2=25 上取得 在边界 x2+y2=25 上，f(x，y)=2512x+16y构造拉格朗日函数 L(x ，y，)=2512x+16y+2(x 2+y2 一 25)， 比较大小可知，f(x，y)在点(3，一 4)处有最小值 f(3，一 4)=一 75，在点(一 3，4)处有最大值 f(一3，4)=125【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 按二元函数求极值的方法因可得驻点(0，0)，又 所以
25、 z(0，0)=9 为极小值 再考查 D 的边界 D=(x，y)|x 2+y2=4)上的情况，用参数方程 x=2cost，y=2sint，0t2于是在边界上， z=4cos2t+16sin2t+9=12sin2t+13 当 时，z 最大，最大值为25在 D 的边界 D 上的最小值为 13z(0，0)=9所以 z(0，0)=9 为最小值【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 将 x26xy+10y2 一 2yzz2+32=0 两边分别对 x，y 求偏导数，有 为求驻点，令 联立方程得 与原设方程 x 2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+32=0 联立解得点(1 2，4，4) 1 与(一 12，一 4，一 4)2再将(*)与 (*)式对 x， y 求偏导数，得 再以 点(12，4，4)1 代入得 所以z=4 为极小值 将点( 一 12，一 4，一 4)2 代入得 所以 z=一 4 为极大值【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 按 的复合关系计算偏导数，为此，先解出 于是有 代入原方程左边，原方程化为【知识模块】 多元函数微分学
