1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 19及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(，y)sin （分数：2.00）A.对 可偏导，对 y不可偏导B.对 不可偏导，对 y可偏导C.对 可偏导，对 y也可偏导D.对 不可偏导，对 y也不可偏导3.设 f ( 0 ，y 0 )，f y ( 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(，y)在( 0 ，y 0 )处连续B.f(，y)存在C.f(，y)在( 0 ，y 0 )处可微D.4.设 f(
2、，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值5.设 f(，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6.设 z( 2 y 2 ) y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f二阶可导，且 z f(y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f二阶可偏导，zf(y，y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(，y)连续，且 f(，y)34y6o()，其中 （分数：2.00）填
3、空项 1:_10.设 zf(，y)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 z ，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 z （分数：2.00）填空项 1:_14.设 z ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 zf(，y) 2 arctan y 2 arctan ，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_17.z f(y)yg( 2 y 2 )，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)18.解答题
4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 zyf( 2 y 2 )，其中 f可导，证明： （分数：2.00）_20.设 z ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：2.00）_21.设 uf(y， 2 y 2 )，其中 f二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_22.设 zfg(y)，y，其中 f二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：2.00）_23.设 zz(，y)由 yzyz 确定，求 （分数：2.00）_24.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）_25.设 f(，y) （分数：2.00）_26.讨论 f(，y) （分数：2
5、.00）_27.讨论 f(，y) （分数：2.00）_28.设 zf(esint，tant)，求 （分数：2.00）_29.设 z siny，求 （分数：2.00）_30.设 z f(t，e t )，f 有一阶连续的偏导数球 （分数：2.00）_31.设 u （分数：2.00）_32.设函数 zz(，y)由方程 2 y 2 z 2 yf(z 2 )所确定，其中 f是可微函数，计算 （分数：2.00）_33.设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 zf(2y)g(，y)，求 （分数：2.00）_34.设 zf(e siny， 2 y 2 )，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分
6、数：2.00）_35.设 zf( 2 y 2 ，y，)，其中 f(u，v，)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_36.设 zz(，y)由 yzye zy 0 确定，求 （分数：2.00）_37.设 zf(yg(yz)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）_38.设 uf(z)，其中 z是由 zy(z)确定的 z，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 19答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
7、2.00）_解析：2.设 f(，y)sin （分数：2.00）A.对 可偏导，对 y不可偏导B.对 不可偏导，对 y可偏导 C.对 可偏导，对 y也可偏导D.对 不可偏导，对 y也不可偏导解析：解析：因为 不存在，所以 f(，y)在(0，0)处对 不可偏导； 因为 3.设 f ( 0 ，y 0 )，f y ( 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(，y)在( 0 ，y 0 )处连续B.f(，y)存在C.f(，y)在( 0 ，y 0 )处可微D. 解析：解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，A 不对； 函数 f(，y) 在(0，0)处可偏导，但 (，y)不存在，B 不对
8、； f(，y)在( 0 ，y 0 )处可偏导是可微的必要而非充分条件，C不对，应选 D 事实上由 f ( 0 ，y 0 ) 存在得 4.设 f(，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值解析：解析：因为 3，根据极限保号性，存在 0，当 0 时，有 0，而 2 1siny0，所以当 0 5.设 f(，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值解析：二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6.设 z( 2 y 2 ) y ，则 （分数：2
9、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( 2 y 2 ) y .yln( 2 y 2 ) ）解析：解析：7.设 f二阶可导，且 z f(y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： f(y) ）解析：解析：8.设 f二阶可偏导，zf(y，y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f 1 yf 11 (2y)f 12 2yf 22）解析：解析： yf 1 f 2 ， 9.设 f(，y)连续，且 f(，y)34y6o()，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3d4dy）解析：解析：因为 f(，y)连续，所以 f(
10、1，0)9， 由 f(，y)34y6o()得 zf(，y)f(1，0)3(1)4yo( 10.设 zf(，y)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( ）解析：解析：由 1 得 (1)y()， 由 f (，0)2 得 ()2，即 (1)y2， 再由 (1)y2 得 z( )y 2 h(y)，由 f(0，y)sin2y 得 h(y)sin2y，故 f(，y)( 11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 z ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：13.设 z （分数：2.00）
11、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*sin2y(yddy)）解析：解析：14.设 z ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 zf(，y) 2 arctan y 2 arctan ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 f(，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 y1）解析：解析：由 2 得 2y 1 ()， 因为 f y (，0)，所以 1 ()，即 2y， 再由 17.z f(y)yg( 2 y 2 )，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：2.00）填
12、空项 1:_ （正确答案：正确答案： f(y) ）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 zyf( 2 y 2 )，其中 f可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2yf( 2 y 2 )， f( 2 y 2 )2y 2 f( 2 y 2 )，则 )解析：20.设 z ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 uf(y， 2 y 2 )，其中 f二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f 1 2f 2
13、， f 1 2yf 2 f 11 2f 12 2f 2 2(f 21 2f 22 )f 11 4f 12 4f 22 2f 2 ， f 11 2yf 12 2f 2 2y(f 21 2yf 22 )f 11 4yf 12 4yf 22 2f 2 ， 则 )解析：22.设 zfg(y)，y，其中 f二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： g(y)f 1 f 2 ， )解析：23.设 zz(，y)由 yzyz 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 Fyzyz， )解析：24.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）
14、_正确答案：(正确答案：设 f(，y) ，显然 f(，y)在点(0，0)处连续 但 不存在，所以 f(，y)在点(0，0)处对 不可偏导，由对称性，f(，y)在点(0，0)处对 y也不可偏导 所以 f(，t)在点(0，0)处可偏导，且 f (0，0)f y (00)0 因为 ， 所以 )解析：25.设 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 (，y)不存在，故函数 f(，y)在点(0，0)处不连续 因为 )解析：26.讨论 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 (，y)0f(0，0)，即函数 f(，y)在点(0，0)处连续 因为 0，所以
15、f (0，0)0，根据对称性得 f y (0，0)0，即函数 f(，y)在(0，0)处可偏导 zf (0，0)f y (0，0)yf(，y)f (0，0)f y (0，0)y ， 因为 )解析：27.讨论 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(，y)0f(0，0)，所以 f(，y)在点(0，0)处连续 因为 0，所以 f (0，0)0，由对称性得 f y (0，0)0，即函数 f(，y)在点(0，0)处可偏导 zf (0，0)f y (0，0)yf(，y)f (0，0)f y (0，0)yysin ， 因为 )解析：28.设 zf(esint，tant)，求 （分数：
16、2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 z siny，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 z f(t，e t )，f 有一阶连续的偏导数球 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 u （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设函数 zz(，y)由方程 2 y 2 z 2 yf(z 2 )所确定，其中 f是可微函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 y 2 z 2 yf(z 2 )两边对 求偏导得 22z yf(z 2 )2yzf(z 2 ) ， 解得 2 y 2 z 2 yf(z 2 )两边
17、对 y求偏导得 )解析：33.设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 zf(2y)g(，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2f(2y)g 1 (，y)yg 2 (，y)， )解析：34.设 zf(e siny， 2 y 2 )，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f 1 e siny2f 2 ， f 1 e cosye siny(f 11 e cosy2yf 12 )2(f 21 e cosy2yf 22 ) f 1 e cosy )解析：35.设 zf( 2 y 2 ，y，)，其中 f(u，v，)二阶连续可偏导，求
18、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2f 1 yf 2 f 3 ， )解析：36.设 zz(，y)由 yzye zy 0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 yy zy 0 两边对 求偏导得 方程 yzy zy 0 两边对 y求偏导得 )解析：37.设 zf(yg(yz)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 zf(yg(yz)两边对 求偏导得 等式zf(yg(yz)两边对 y求偏导得 )解析：38.设 uf(z)，其中 z是由 zy(z)确定的 z，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，zy(z)两边对 求偏导得 两边对 y求偏导得 )解析：
