1、考研数学二（多元函数微分学）-试卷 1 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处偏导数存在，则在该点函数 f(x，y)( )（分数：2.00）A.有极限B.连续C.可微D.以上结论均不成立二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.设 f(x，y，z)=e x yz 2 其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_4.已知
2、z= （分数：2.00）填空项 1:_5.设 2sin(x+2y-3z)=z+2y-3z，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=f(x，f(x，2x)，则 “(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.由 z=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz(e，0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 f(x，y)= （分数：2
3、.00）_11.设二元函数 f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足 f“ xx (x，y)=f“ yy (x，y)，f(x，2x)=x 2 ，f“ x (x，2z)=x，求 f“ xx (x，2x)（分数：2.00）_12.设 z=arctan （分数：2.00）_13.设 z=(x 2 +y 2 ) （分数：2.00）_14.设 z=x 2 arctan （分数：2.00）_15.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_16.已知 u(x，y)= （分数：2.00）_17.z= +g(e x ，siny)，f 的二阶导数连续，g
4、 的二阶偏导数连续，求 （分数：2.00）_18.设 z=f(u,x，y)，u=xe y ，其中 f 具有二阶偏导数，求 （分数：2.00）_19.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_20.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 （分数：2.00）_21.设 z=yf(x 2 -y 2 )，求 （分数：2.00）_22.设 z=z(x，y)，由方程 （分数：2.00）_23.设 z=xf(x，u，v)，其中 （分数：2.00）_24.设 z=f(x，y)是由方程 z-y-z+xe z-y-x =0 所确定的二元函数，求 dz（
5、分数：2.00）_25.设 (u，v，)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 确定的函数，求（分数：2.00）_26.设 z=z(x，y)是由 f(y-z，yz)=0 确定的，其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_27.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )，其中 f 可微，求 （分数：2.00）_28.设函数 z=z(x，y)由方程 z=f(y+z，y+z)所确定，其中 f(x，y)具有二阶连续偏导数，求 dz（分数：2.00）_29.若 （分数：2.00）_30.设 z=f(
6、x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）_31.设 f(x，y)二阶连续可偏导，g(x，y)=f(e xy ，x 2 +y 2 )，且 （分数：2.00）_32.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 -3xy 在矩形闭域 D=(x，y)0x2，-1y2)上的最大值、最小值（分数：2.00）_33.求函数 f(x，y)=4x-4y-x 2 -y 2 在区域 D：x 2 +y 2 18 上最大值和最小值（分数：2.00）_34.求函数 z=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0上的最小值与最大值（分数：2.00）_35.求 u=x 2 +y 2 +z
7、 2 在约束条件 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）-试卷 1 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处偏导数存在，则在该点函数 f(x，y)( )（分数：2.00）A.有极限B.连续C.可微D.以上结论均不成立 解析：解析：取 f(x，y)= 显然 f(x，y)在(0，0)处偏导数存在，但二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.设 f(x，y，z)=e x yz 2 其中 z=z(x，y)
8、是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：f“ x =e x yz 2 + x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得 将 x=0，y=1，z=-1 代入得 4.已知 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：lnz= ，两边关于 x 求偏导得5.设 2sin(x+2y-3z)=z+2y-3z，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：两边关于 x 求偏导得 2cos(x+2y-3z) 2sin(x+2y-3z)
9、=x+2y-3z 两边关于 y 求偏导得 2cos(x+2y-3z)6.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=f(x，f(x，2x)，则 “(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：“(x)=f“ x (x，f(x，2x)+f“ y (x，f(x，2x).f“ x (x，2x)+2f“ y (x，2x)， 则“(1)=f“ x (1，f(1，2)+f“ y (1，f(1，2).f“ x (1，2)+2f“ y (1，2) =f“ x (1，2)+f“ y (1，2).f“ x (1，2)+
10、2f“ y (1，x)=3+4(3+8)=477.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：令 = 8.由 z=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz(e，0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：x=e，y=0 时，z=1 x=ze y+z 两边关于 x 求偏导得 1= x=ze y+z 两边关于 y 求偏导得 三、解答题(总题数：27，分数：54.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0=f
11、(0，0)得 f(x，y)在(0，0)处连续 )解析：11.设二元函数 f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足 f“ xx (x，y)=f“ yy (x，y)，f(x，2x)=x 2 ，f“ x (x，2z)=x，求 f“ xx (x，2x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x，2x)=x 2 两边关于 x 求导得 f“ x (x，2x)+2f“ y (x，2x)=2x， 由 f“ x (x，2x)=x 得 f“ y (x，2x)= f“ x (x，2x)=x 两边关于 x 求导得 f“ xx (x，2x)+2f“ xy (x，2x)=1， f“ y (x，2x)= 两边关于 x 求
12、导得 f“ yx (x，2x)+2f“ yy (x，2x)= )解析：12.设 z=arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 z=(x 2 +y 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 z=x 2 arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =e x sinyf“ 1 +2xf“ 2 ， =e x cosf“ 2 +e x siny(e x cosyf“ 11 +2yf“ 1
13、2 )+2x(e x cosyf“ 21 +zyf“ 22 ) )解析：16.已知 u(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.z= +g(e x ，siny)，f 的二阶导数连续，g 的二阶偏导数连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 z=f(u,x，y)，u=xe y ，其中 f 具有二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2f“ 1 +ycosxf“ 2 ， )解析：2
14、0.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =fy“ 1 +xf“ 2 ， =y(yf“ 11 +xf“ 12 )+f“ 2 +x(yf“ 21 +xf“ 22 )=y 2 f“ 11 +2xyf“+x 2 f“ 22 +f“ 2 ， =xf“ 1 -yf“ 2 ， =x(xf“ 11 -yf“ 12 )-f“ 2 -y(xf“ 21 -yf“ 22 )=x 2 f“ 11 -2xyf“ 12 +y 2 f“ 22 -f“ 2 ， )解析：21.设 z=yf(x 2 -y 2 )，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设
15、z=z(x，y)，由方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =0 两边关于 x 求偏导得 )解析：23.设 z=xf(x，u，v)，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =f+xf“ 1 +f“ 2 .(-tanx)+f“ 3 .x siny-1 .siny =f+xf“ 1 -xtanxf“ 2 +x siny sinyf“ 3 ； )解析：24.设 z=f(x，y)是由方程 z-y-z+xe z-y-x =0 所确定的二元函数，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 z-y-x+xe z-y-x =0 两边关于 x，y 求偏导得 方法二 z-y-x+
16、xe z-y-x =0 两边微分得 dz-dy-dx+d(xe z-y-x )=0， 即 dz-dy-dx+(e z-y-x -xe z-y-x )dx-xe z-y-x dy+xe z-y-x dz=0， 解得 )解析：25.设 (u，v，)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 确定的函数，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 两边关于 x 求偏导得 )解析：26.设 z=z(x，y)是由 f(y-z，yz)=0 确定的，其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：
17、(正确答案：f(y-x，yz)=0 两边关于 x 求偏导得 )解析：27.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )，其中 f 可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )两边关于 x 求偏导得 )解析：28.设函数 z=z(x，y)由方程 z=f(y+z，y+z)所确定，其中 f(x，y)具有二阶连续偏导数，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=f(y+z，y+x)两边关于 x 求偏导得 z=f(y+z，y+x)两边关于 y 求偏导得)解析：29.若 （分数：2.00）_正确答案：(
18、正确答案：由 由 z(x，0)=x 得 +(0)=x，从而 (x)=1，(0)=0； 再由z(0，y)=y 2 得 (y)=y 2 ，故 z(x，y)= )解析：30.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =2 得 =2y+(x)，由 f“ y (x，0)=x 得 (x)=x，即 )解析：31.设 f(x，y)二阶连续可偏导，g(x，y)=f(e xy ，x 2 +y 2 )，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)=1-x-y+ 得 f(x，y)=-(x-1)-y+ 由可微的定义得 f(1，0)=0，f“ x (1，0)=f“
19、y (1，0)=-1 =xe xy f“ 2 +2yf“ 2 ，g“ x (0，0)=0，g“ y (0，0)=0 =y 2 e xy yf“ 1 +ye xy (ye xy f“ 11 +2xf“ 12 )+2f“ 1 +2x(ye xy f“ 21 +2xf“ 22 )， =(e xy +xye xy )f“ 1 +ye xy (xe xy f“ 11 +2yf“ 12 )+2x(xe xy f“ 21 +2yf“ 22 )， )解析：32.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 -3xy 在矩形闭域 D=(x，y)0x2，-1y2)上的最大值、最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确
20、答案：当(x，y)在区域 D 内时， 由 f(1，1)=-1； 在 L 1 ：y=-1(0x2)上，z=x 3 +3x-1， 因为 z“=3x 2 +30，所以最小值为 z(0)=-1，最大值为 z(2)=13； 在 L 2 ：y=2(0x2)上，z=x 3 -6x+8， 由 z“=3x 2 -6=0 得 ； 在 L 3 ：x=0(-1y2)上，z=y 3 ， 由 z“=3y 2 =0 得y=0，z(-1)=-1，z(0)=0，z(2)=8； 在 L 4 ：x=2(-1y2)上，z=y 3 -6y+8， 由 z“=3y 2 -6=0 得 )解析：33.求函数 f(x，y)=4x-4y-x 2
21、-y 2 在区域 D：x 2 +y 2 18 上最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x 2 +y 2 18 时， 由 得 x=2，y=-2，f(2，-2)=8； 当 x 2 +y 2 =18时，令 F=4x-4y-x 2 -y 2 +(x 2 +y 2 -18)， )解析：34.求函数 z=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在 D=(x，y)x 2 +y 2 4，y0上的最小值与最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(x，y)位于区域 D 内时， 在 L 1 ：y=0(-2x2)上，z=x 2 ，由z“=2x=0 得 x=0， z(2)=4，z(0)=0； 在 L 2 ： (0t)上， z=4cos 2 t+8sin 2 t-16sin 2 tcos 2 t=4+4sin 2 t-16sin 2 t(1-sin 2 t) =4-12sin 2 t+16sin 4 t=16(sin 2 t- 当 sin 2 t=1时，z 的最大值为 8；当 sin 2 t= )解析：35.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F=x 2 +y 2 +z 2 +(x 2 +y 2 -z)+(x+y+z-4)， )解析：
