1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 17 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(，y) （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导3.对二元函数 zf(，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.zf(，y)可微的充分必要条件是 zf(，y)有一阶连续的偏导数B.若 zf(，y)可微，则 zf(，y)的偏导数连续C.若 zf(，y)偏导数连续，则 zf(，y)一定可微D.若 zf(，y)的偏导数不连续
2、，则 zf(，y)一定不可微4.设 f(，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 zf(y)g( y ， 2 y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(t，ty)t 3 f(，y)，且 f 1
3、(1，2)1，f 2 (1，2)4，则f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 zf(，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_8.设 uu(，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_9.设(ay2y 2 )d(b 2 y43)dy 为某个二元函数的全微分，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 uf(，y，yz)，函数 zz(，y)由 e yz y z h(yzt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连
4、续，求 （分数：2.00）_12.设 uu(，y，z)连续可偏导，令 (1)若 0，证明：u 仅为 与 的函数 (2)若（分数：2.00）_13.求二元函数 zf(，y) 2 y(4y)在由 轴、y 轴及 y6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_14.设 f(，y) （分数：2.00）_15.设 f(，y) （分数：2.00）_16.设 z ，求 （分数：2.00）_17.设 u ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_18.设函数 f(，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(t，ty，tz)t k f(，y，z)证明： （分数：2.00）_1
5、9.设 z e t dt，求 （分数：2.00）_20.设 uu(，y)由方程组 uf(，y，z，t)，g(y，z，t)0，h(z，t)0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 0，求 （分数：2.00）_21.设函数 zf(u)，方程 u(u) y P(t)dt 确定 u 为 ，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_22.设 zz(，y)满足 z 2 ，令 证明： （分数：2.00）_23.求 zz 2 12y2y 2 在区域 4 2 y 2 25 上的最值（分数：2.00）_24.设二元函数 f(，y)y(，y)，其中 (，y)
6、在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数 f(，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)0（分数：2.00）_25.已知二元函数 f(，y)满足 4，作变换 且 f(，y)g(u，v)，若 （分数：2.00）_26.设 f(，y)二阶连续可偏导，g(，y)f(e y ， 2 y 2 )，且 f(，y)1yo( （分数：2.00）_27.试求 zf(，y) 2 y 3 3y 在矩形闭域 D(，y)02，1y2上的最大值、最小值（分数：2.00）_28.求函数 f(，y)44y 2 y 2 在区域 D： 2 y 2 18 上最大值和最小值（分数：2.00）_29.求函数 z 2 2y
7、2 2 y 2 在 D(，y) 2 y 2 4，y0上的最小值与最大值（分数：2.00）_30.求 u 2 y 2 z 2 在约束条件 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 17 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(，y) （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：3.对二元函数 zf(，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.zf(，y)可微的充分必要条件是 zf(
8、，y)有一阶连续的偏导数B.若 zf(，y)可微，则 zf(，y)的偏导数连续C.若 zf(，y)偏导数连续，则 zf(，y)一定可微 D.若 zf(，y)的偏导数不连续，则 zf(，y)一定不可微解析：解析：因为若函数 f(，y)一阶连续可偏导，则 f(，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(，y)偏导数不连续不一定不可微，选 C4.设 f(，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f
9、(，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析：若 f(，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 0，因为 M 0 为最大值点，所以 ACB 2 非负，而在 D 内有 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 zf(y)g( y ， 2 y 2 )，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ff y-1 g 1 y y-1 lng 1 y 2y-1 lng 11 2y 2 y-1 g 12 2 y+1 lng 21 4yg 22）解析：解析：由 zf(y)g( y ， 2 y 2 )，得 f
10、(y)f(y)y y-1 g 1 ( y ， 2 y 2 )2g 2 ( y ， 2 y 2 ) 6.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(t，ty)t 3 f(，y)，且 f 1 (1，2)1，f 2 (1，2)4，则f(1，2) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：f(t，ty)t 3 f(，y)两边对 t 求导数得 f 1 (t，ty)yf 2 (t，ty)3t 2 f(，y)， 取 t1，1，y2 得 f 1 (1，2)2f 2 (1，2)3f(1，2)，故 f(1，2)37.设 zf(，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
11、：正确答案：y 2 y1）解析：8.设 uu(，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：u(，3) 两边对 求导，得 u (，3)3u y (，3)1， 再对 求导，得 u (，3)6u y (，3)9u yy (，3)0 由 ，得 10u (，3)6u y (，3)0， u (，3) 3 两边对 求导，得 u (，3)3u y (，3)3 2 ， 解得 u y (，3) 9.设(ay2y 2 )d(b 2 y43)dy 为某个二元函数的全微分，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）填空项 1:_
12、（正确答案：2）解析：解析：令 P(，y)ay2y 2 ，Q(，y)b 2 y43， 因为(ay2y 2 )d(b 2 y43)dy 为某个二元函数的全微分， 所以 三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.设 uf(，y，yz)，函数 zz(，y)由 e yz y z h(yzt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 uu(，y，z)连续可偏导，令 (1)若 0，证明：u 仅为 与 的函数 (2)若（分数：2.00）_正确答案：(正确答
13、案：(1)因为 0 所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数 从而 )解析：13.求二元函数 zf(，y) 2 y(4y)在由 轴、y 轴及 y6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 f(，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 ：y0(06)上，z0； 在 L 2 ：0(0y6)上，z0； 在 L3：y6(06)上，2 2 (6)2 3 12 2 ， 由 6 2 240 得 4，因为 f(0，6)0，f(6，0)0，f(4，2)64，所以 f(，y)在 L 3 上最小值为64，最大值为 0 (2)在区域 D 内，由 得
14、驻点为(2，1)， A )解析：14.设 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：0f(，y)y， 因为 y0，由迫敛定理得 f(，y)0f(0，0)，即 f(，y)在(0，0)处连续 由 0 得 f (0，0)0，同理f y (0，0)0， 即 f(，y)在(0，O)处可偏导 由迫敛定理得 )解析：15.设 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 0f(，y) ，所以 f(，y)0f(0，0)，故f(，y)征点(0，0)处连续 )解析：16.设 z ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 u ，其中 f(s，t)二阶连续可偏
15、导，求 du 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设函数 f(，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(t，ty，tz)t k f(，y，z)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ut，vty，wtz，f(t，ty，tz)t k f(，y，z)，两边对 t 求导得 当 t1 时，有 )解析：19.设 z e t dt，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 uu(，y)由方程组 uf(，y，z，t)，g(y，z，t)0，h(z，t)0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组由五
16、个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 ，y 为自变量，由 uf(，y，z，t)，g(y，z，t)0，h(z，t)0，得 三个方程两边对 y 求偏导得 )解析：21.设函数 zf(u)，方程 u(u) y P(t)dt 确定 u 为 ，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：zf(u)两边对 及 y 求偏导，得 方程 u(u) y P(t)dt 两边对 及 y 求偏导，得 )解析：22.设 zz(，y)满足 z 2 ，令 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求 zz 2 12
17、y2y 2 在区域 4 2 y 2 25 上的最值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 4 2 y 2 25 时，由 得驻点为(，y)(0，0) 当 4 2 y 2 25 时，令 F 2 12y2y 2 (4 2 y 2 25)， 由 因为 z(0，0)0， ， 所以目标函数的最大和最小值分别为 106 )解析：24.设二元函数 f(，y)y(，y)，其中 (，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数 f(，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(必要性)设 f(，y)在点(0，0)处可微，则 f (0，0)，f y (0，
18、0)存在 所以 (0，0)0 (充分性)若 (0，0)0，则 f (0，0)0，f y (0，0)0 )解析：25.已知二元函数 f(，y)满足 4，作变换 且 f(，y)g(u，v)，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(，y)二阶连续可偏导，g(，y)f(e y ， 2 y 2 )，且 f(，y)1yo( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(，y)1yo( )得 f(，y)(1)yo( )， 由可微的定义得 f(1，0)0，f (1，0)f y (1，0)1 ye y f 1 2f 2 ， e y f 1 2yf 2 ， g (0，0)0，g
19、y (0，0)0 y 2 e y f 1 ye y (ye y f 11 2f 12 )2f 1 2(ye y f 21 2f 22 )， (e y ye y )f 1 ye y (e y f 11 2yf 12 )2(e y f 21 2yf 22 )， )解析：27.试求 zf(，y) 2 y 3 3y 在矩形闭域 D(，y)02，1y2上的最大值、最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(，y)在区域 D 内时， 在 L 1 y1(02)上，z 3 31， 因为 z3 2 30，所以最小值为 z(0)1，最大值为 z(2)13； 存 L 2 ：y2(02)上，z 3 68， 由
20、 z3 2 60 得 ，z(0)8，z( )84 ，z(2)4； 在 L 3 ：0(1y2)上，zy 3 ， 由 z3y 3 0 得 y0，z(1)1，z(0)0，z(2)8； 在 L 4 ：2(1y2)上，y 3 6y8， 由 z3y 2 60得 y ，z(1)13，z( )84 )解析：28.求函数 f(，y)44y 2 y 2 在区域 D： 2 y 2 18 上最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 2 y 2 18 时， 由 得 2，y2，f(2，2)8； 当 2 y 2 18 时，令 F44y 2 y 2 ( 2 y 2 18)， )解析：29.求函数 z 2 2
21、y 2 2 y 2 在 D(，y) 2 y 2 4，y0上的最小值与最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(，y)位于区域 D 内时， z( ，1)2，z( ，1)2； 在 L 1 ：y0(22)上，z 2 ，由 z20 得 0， z(2)4，z(0)0； 在 L 2 (0t)上， z4cos 2 t8sin 2 t16sin 2 tcos 2 t 44sin 2 t16sin 2 t(1sin 2 t) 412sin 2 t16sin 4 t 16 ， 当 sin 2 t1 时，z 的最大值为 8；当 sin 2 t 时，z 的最小值为 )解析：30.求 u 2 y 2 z 2 在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F 2 y 2 z 2 ( 2 y 2 z)(yz4)， )解析：
