1、考研数学二（多元函数微分学）-试卷 2 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.m2，n2B.m2，n2C.m2，n2D.m2，n23.函数 x=f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.偏导数存在，但不可微C.可微D.偏导数存在且连续4.函数 z=x 3 +y 3 一 3x 2 一 3y 2 的极小值点是 ( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(2，2)C.(0，2)D.(2，0)
2、5.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续是它在该点偏导数存在的 ( )（分数：2.00）A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件6.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在7.设函数 （分数：2.00）A.极小值点且是最小值点B.极大值点且是最大值点C.极小值点但非最小值点D.极大值点但非最大值点8.设 f(x，y)= 则 f x “(2，1)= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.z x “(x 0 ，y 0 )=0 和 z y “(x 0 ，y 0 )=0 是函数 z=z(x，
3、y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极值的( )（分数：2.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充要条件D.既非必要也非充分条件10.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.y 轴上的所有点B.x=0，y0 的点集C.空集D.x=0，y0 的点集11.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.函数 f(x，y)=ln(x 2 +y 2 一 1)的连续区域是 1（分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.
4、若函数 z=2x 2 +2y 2 +3xy+ax+by+c 在点(一 2，3)处取得极小值一 3则常数 a、b、c 之积 abc= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 u=x 4 +y 4 一 4x 2 y 2 ,则 （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 f 在点(a，b)处的偏导数存在，求 （分数：2.00）_20.设 f(x)可导，F(x，y)= 一x+，y0， （分
5、数：2.00）_21.试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微的充分条件还是必要条件 (1)二元函数的极限 f(x，y)存在； (2)二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某个邻域内有界； (3) f(x，y 0 )=f(x 0 ，y 0 ), f(x 0 ,y)=f(x 0 ，y 0 )； (4)F(x)=f(x，y 0 )在点 x 0 处可微，G(y)=f(x 0 ，y)在点 y 0 处可微； (5) f x “(x，y 0 )一 f x “(x 0 ，y 0 )=0， f y “(x 0 ，y)一 f y “(x 0 ，y 0
6、)=0； (6) （分数：2.00）_22.设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：2.00）_23.设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0，f x “(0，0)=a，f y “(0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，t 2 )，求 (0)（分数：2.00）_24.设 z= +y(x+y)，其中 f 及 二阶可微，求 （分数：2.00）_25.已知 （分数：2.00）_26.求 u=xyz x+y+z 的全微分（分数：2.00）_27.设 z= 其中 f，g 均可微，求 （分数：2.00）_28.设 u= 其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_29.
7、设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，y)具有连续二阶偏导数， （分数：2.00）_30.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t),“(u)连续，且 (u)1求 （分数：2.00）_31.设 f(x，y)= （分数：2.00）_32.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 和 e z 一 xz=0 所确定，求 （分数：2.00）_33.设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 (1)验证 （分数
8、：2.00）_34.设 z=u(x，y)e ax+y , ，求常数 a，使 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）-试卷 2 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.m2，n2B.m2，n2 C.m2，n2D.m2，n2解析：解析：当(x，y)沿 y=kx(k0)趋向点(0，0)时， 当 m2，n2 时， k 取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续 又因为 同
9、理可得 f y “(0，0)=0，故偏导数存在 当 n2 时，有 n=1， 3.函数 x=f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.偏导数存在，但不可微 C.可微D.偏导数存在且连续解析：解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手 由于 所以 f x “(0，0)=0，同理 f y “(0，0)=0令 =zf x “(0，0)x 一 f y “(0，0)y= 当(x，y)沿 y=x 趋于(0，0)点时，4.函数 z=x 3 +y 3 一 3x 2 一 3y 2 的极小值点是 ( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(2，2) C.(0，2)D.(2，0)解析：解析： ，可
10、得到 4 个驻点(0，0)(2，2)(0，2) 和(2，0) 5.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续是它在该点偏导数存在的 ( )（分数：2.00）A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 解析：解析：在多元函数中，一点连续与一点可偏导无必然联系6.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0 D.不存在解析：解析：当 xy0 时，7.设函数 （分数：2.00）A.极小值点且是最小值点B.极大值点且是最大值点 C.极小值点但非最小值点D.极大值点但非最大值点解析：解析：由极值点的判别条件可知8.设 f(
11、x，y)= 则 f x “(2，1)= ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：9.z x “(x 0 ，y 0 )=0 和 z y “(x 0 ，y 0 )=0 是函数 z=z(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极值的( )（分数：2.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充要条件D.既非必要也非充分条件 解析：解析：若 z=z(x，y)= 10.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.y 轴上的所有点B.x=0，y0 的点集C.空集 D.x=0，y0 的点集解析：解析：f(x，y)当 x0 时，为二元连续函数，而当 11.函数 f(x，y)=
12、（分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在解析：解析：取 y=kx，可得 f(x，y)在(0，0)处不连续由偏导数定义，可得 f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.函数 f(x，y)=ln(x 2 +y 2 一 1)的连续区域是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 +y 2 1）解析：解析：一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式
13、14.若函数 z=2x 2 +2y 2 +3xy+ax+by+c 在点(一 2，3)处取得极小值一 3则常数 a、b、c 之积 abc= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：30）解析：解析：由极值的必要条件知在点(一 2，3)处，z x “=0，z y “=0，从而可分别求出 a、b、c 之值15.设 u=x 4 +y 4 一 4x 2 y 2 ,则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12x 2 一 8y 2）解析：解析：16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 sin ）解析：解析：由 x=rcos，y=rsin，得 u
14、=17.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 f 在点(a，b)处的偏导数存在，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)可导，F(x，y)= 一x+，y0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微的充分条件还是必要条件 (1)二元函数的极限 f(x，y)存在； (2)二元函数
15、 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某个邻域内有界； (3) f(x，y 0 )=f(x 0 ，y 0 ), f(x 0 ,y)=f(x 0 ，y 0 )； (4)F(x)=f(x，y 0 )在点 x 0 处可微，G(y)=f(x 0 ，y)在点 y 0 处可微； (5) f x “(x，y 0 )一 f x “(x 0 ，y 0 )=0， f y “(x 0 ，y)一 f y “(x 0 ，y 0 )=0； (6) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：结论(1)(4)中每一个分别都是 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微的必要条件，而非充分条件而结论(6
16、)是其充分非必要条件因 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微，故z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续，即 f(x 0 ，y 0 )，则极限 必存在，于是 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )某邻域有界 结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x，y 0 )在 x 0 处连续，G(y)=f(x 0 ，y)在 y 0 处连续，它是二元函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的必要条件，而非充分条件而 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件 只要在z=f(x，y)在
17、 P 0 (x 0 ，y 0 )的全微分定义 z=Ax+By+o()， 中取特殊情况，分别令y=0与x=0 即证得结论(4) 结论(5)的 表示偏导函数 f x “(x，y)在 y=y 0 时的一元函数 f x “(x，y 0 )在 x 0 处连续，它仅是二元偏导函数 f x “(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的一个必要条件，对 有类似的结果而 z=f(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微又是 f x “(x，y)，f y “(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件又是不是必要条件 结论(6)的等价形式是 z
18、=f(x，y)一 f(x 0 ，y 0 )=o()，= )解析：22.设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当(x，y)(0，0)时 ln(1+x 2 +y 2 )x 2 +y 2 ，由 再由极限与无穷小的关系可知， =1+o(1)(o(1)为当(x，y)(0，0)时的无穷小量) f(x，y)一 f(0，0)-bx-cy=x 2 +y 2 +(x 2 一 y 2 )o(1)=o() 即 f(x，y)一 f(0，0)=bx+cy+o()(0) 由可微性概念 f(x,y)在点(0，0)处可微且 df(x，y)| (0,0) =bdx+cdy (2
19、)由 df(x，y)| (0,0) =bdx+cdy 于是当b，c 不同时为零时 f(x，y)在点(0，0)处不取极值当 b=c=0 时，由于 )解析：23.设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0，f x “(0，0)=a，f y “(0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，t 2 )，求 (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 (t)=ft，f(t，t 2 )中令 u=t，v=f(t，t 2 )，得 (t)=f(u，v)，“(t)=f 1 “(u，v). +f 2 “(u，v). )解析：24.设 z= +y(x+y)，其中 f 及 二阶可微，求 （分数：2.00）_正确
20、答案：(正确答案：令 u=xy，v=x+y，则 z= +y(v) 由于 f 及 二阶可微，而 u=xy，v=x+y均为初等函数，故满足 这里先求 较为简便一些由复合函数的求导法则，得 )解析：25.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求 u=xyz x+y+z 的全微分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u x “=(1+x)yze x+y+z ，u y “=(1+y)xze x+y+z ，u z “=(1+z)xye x+y+z ，du=e x+y+z (1+x)yzdx+(1+y)xzdy+(1+z)xydz)解析：27.设 z= 其中 f，g 均可微，求
21、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 u= 其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，y)具有连续二阶偏导数， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t),“(u)连续，且 (u)1求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在方程 u=(u)+ y x P(t)dt 两边分别对 x，y 求
22、偏导数，得 )解析：31.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 和 e z 一 xz=0 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 方程 e xy y=0 两：边关于 x 求导，有 方程 e z 一 xz=0 两边关于x 求导，有 于是 )解析：33.设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 (1)验证 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求二元复合函数 中必然包含 f“(u)及 f“(u)，将 ，就能找出 f“(u)与f“(u)的关系式 (2)解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解 在方程 中，令 f“(u)=g(u)，则 f“(u)=g(u)，方程变为 =0，这是可分离变量微分方程，解得 由初始条件 f“(1)=1 得 C 1 =1，所以，f“(u)= )解析：34.设 z=u(x，y)e ax+y , ，求常数 a，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
