1、考研数学二（多元函数微分学）-试卷 3 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导3.对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微D.若
2、 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微4.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(u，v)一
3、阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f“ 1 (1，2)=1，f“ 2 (1，2)=4，则 f(1，2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_8.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_9.设(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：34.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设 u=f(x，y，xyz)
4、，函数 z=z(x，y)由 h(xy+z-t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求（分数：2.00）_设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_(2).若 （分数：2.00）_12.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_13.设 f(x，y)= 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_设 f(x，y)= （分数：4.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：2.00）_(2).f(x，y
5、)在点(0，0)处是否可微?（分数：2.00）_14.设 z= （分数：2.00）_15.设 u= ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_16.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_17.设 z= （分数：2.00）_18.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_19.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，
6、P(t)，“(u)连续，且 “(u)1，求 （分数：2.00）_20.设 z=z(x，y)满足 证明： （分数：2.00）_21.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值（分数：2.00）_22.设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_23.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）-试卷 3 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分
7、钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析：因为 =0=f(0，0)，所以 f(x，y)在(0，0)处连续； 因为 ，所以 f“ x (0，0)=0，根据对称性，f“ y (0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导； 由 ，得 f(x，y)在(0，0)处可微； 当(x，y)(0，0)时，f“ x (x，y)= 则 f“ x (x，y)= 因为 3.对二元函数 z=f(x，y)，下列
8、结论正确的是( )（分数：2.00）A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续C.若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微 D.若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微解析：解析：因为若函数 f(z，y)一阶连续可偏导，则 f(z，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)4.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D
9、 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析：若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 ，因为 M 0 为最大值点，所以AC-B 2 非负，而在 D 内有 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.设 z=xf(x+y)+g(x y ，x 2 +y 2 )，其中 f，g 分别阶连续可导和二阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f“+xf“+x y-1 g“ 1 +yx y-1 lnxg
10、“ 1 +yx 2y-1 lnxg“ 11 +2y 2 x y-1 g“ 12 +2x y+1 lnxg“ 21 +4xyg“ 22 ）解析：解析：由 z=xf(x+y)+g(x 2 ，x 2 +y 2 )，得 =f(x+y)+xf“(x+y)+yx y-1 g“ 1 (x y ，x 2 +y 2 )+2xg“ 2 (x y ，x 2 +y 2 ) 6.设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且 f“ 1 (1，2)=1，f“ 2 (1，2)=4，则 f(1，2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：f(tx，ty)=t
11、3 f(x，y)两边对 t 求导数得 xf“ 1 (tx，ty)+yf“ 2 (tx，ty)=3t 2 f(x，y)，取 t=1，x=1，y=2 得 f“ 1 (1，2)+2f“ 2 (1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=37.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +xy+1）解析：解析：由 =2y+(x)，因为 f“ y (z，0)=x，所以 (x)=x，即 8.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 u“ x
12、(x，3x)+3u“ y (x，3x)=1， 再对 x 求导，得 u“ xx (x，3x)+6u“ yy (x，3x)+9u“ yy (x，3x)=0 由 ，得 10u“ xx (x，3x)+6u“ xy (x，3x)=0， u“ x (x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 u“ xx (x，3x)+3u“ xy (x，3x)=3x 2 ， 解得 u“ xy (x，3x)= 9.设(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析：
13、令 P(x，y)=ay-2xy 2 ，Q(x，y)=bx 2 y+4x+3， 因为(ay-2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分， 所以 三、解答题(总题数：16，分数：34.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 h(xy+z-t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).若 （分数
14、：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：12.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 ：y=0(0x6)上，z=0； 在 L 2 ：x=0(0y6)上，z=0； 在 L 3 ：y=6-x(0x6)上，z=-2x 2 (6-x)=2x 3 -12x 2 由 =6x 2 -24x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以 f(x，y)在 L 3 上最小值
15、为-64，最大值为 0 (2)在区域 D 内，由 得驻点为(2，1)， )解析：13.设 f(x，y)= 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导，且 f“ x (0，0)=f“ y (0，0)=0 f(x，y)-f(0，0)-f“ x (0，0)x-f“ y (0，0)y= 2 sin 因为 ，所以 f(x，y)在(0，0)处可微 当(x，y)(0，0)时， )解析：设 f(x，y)= （分数：4.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：2.00）_正确答案：(正确答
16、案：因为 )解析：(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x，y)=f(x，y)=f(0，0)= )解析：14.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：15.设 u= ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=t k f(x,y，z)，两边对 t 求导得
17、)解析：17.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得 三个方程两边对 y 求偏导得 )解析：19.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且 “(u)1，求 （分
18、数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得 )解析：20.设 z=z(x，y)满足 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：21.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 4x 2 +y 2 25 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0) 当 4x 2 +y 2 =25 时，令 F=x 2 +12xy+2y 2 +2(4x 2 +y 2 -25)， 由 因为 z(0，0)=0，z(2，3)=-50， ，所以目标函数的最大和最小值分别为 )解析：22.设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f“ x (0，0)，f“ y (0，0)存在 (充分性)若 (0，0)=0，则 f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=0 )解析：23.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
