1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 15及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(，y)sin （分数：2.00）A.对 可偏导，对 y不可偏导B.对 不可偏导，对 y可偏导C.对 可偏导，对 y也可偏导D.对 不可偏导，对 y也不可偏导3.设 f ( 0 ，y 0 )，f y ( 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(，y)在( 0 ，y 0 )处连续B.f(，y)存在C.f(，y)在( 0 ，y 0 )处可微D.4.设 f(，
2、y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 z （分数：2.00）填空项 1:_8.设 zln( )，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 zf(，y) 2 arctan y 2 arctan ，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_11.z f(y)yg( 2 y 2 )，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：2.00）
3、填空项 1:_12.设 zf( 2 y 2 ， )，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 zyf( )，其中 f(u)可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 u （分数：2.00）_16.设 zyf( 2 y 2 )，其中 f可导，证明： （分数：2.00）_17.设 z ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：2.00）_18.设 uf(y， 2 y 2 )，其中 f二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_19.设 z
4、fg(y)，zy，其中 f二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：2.00）_20.设 zz(z，y)由 yzyz 确定，求 （分数：2.00）_21.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）_22.设 f(，y) （分数：2.00）_23.讨论 f(，y) （分数：2.00）_24.讨论 f(，y) （分数：2.00）_25.设 zf(e t sint，tant)，求 （分数：2.00）_26.设 z siny，求 （分数：2.00）_27.设 z f(t，e t )dt，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：2.00）_28.设 u （分数：2.00）_29.设
5、函数 zz(，y)由方程 2 y 2 z 2 yf(z 2 )所确定，其中厂是可微函数，计算 （分数：2.00）_30.设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 zf(2y)g(，y)，求 （分数：2.00）_31.设 zf(e siny， 2 y 2 )，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_32.设 zf( 2 y 2 ，y，z)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_33.设 zz(，y)由 zyzye zy 0 确定，求 （分数：2.00）_34.设 zf(yg(yz)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）_35.设 uf(z
6、)，其中 z是由 zy()确定的 ，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_36.设 yf()yg(z)，且 f(z)yg(z)0，其中 zz(，y)是 z，y 的函数证明：zg(z) yf(z) （分数：2.00）_37.设 zf(，y)由方程 zy zy 0 确定，求 dz（分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 15答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(，y)sin （分数：2.00）A.对
7、 可偏导，对 y不可偏导B.对 不可偏导，对 y可偏导 C.对 可偏导，对 y也可偏导D.对 不可偏导，对 y也不可偏导解析：解析：因为 不存在，所以 f(，y)在(0，0)处对 不可偏导； 因为 3.设 f ( 0 ，y 0 )，f y ( 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(，y)在( 0 ，y 0 )处连续B.f(，y)存在C.f(，y)在( 0 ，y 0 )处可微D. 解析：解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，A 不对； 函数 f(，y) 在(0，0)处可偏导，但 f(，y)不存在，B 不对； f(，y)在( 0 ，y 0 )处可偏导是可微的必要而非充分条
8、件，C 不对， 应选 D，事实上由 f ( 0 ，y 0 ) 存在得 4.设 f(，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值解析：解析：因为 3，根据极限保号性，存在 0，当 0 时，有 0，而 2 1siny0， 所以当 0 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：7.设 z （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*sin2y(ydd
9、y)）解析：解析：8.设 zln( )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 zf(，y) 2 arctan y 2 arctan ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 y1）解析：解析：由 2 得 2y 1 () 因为 f y (，0)，所以 1 ()，即 2y， 再由 11.z f(y)yg( 2 y 2 )，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 2
10、yg( 2 y 2 )， 12.设 zf( 2 y 2 ， )，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 zyf( )，其中 f(u)可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2z）解析：解析：三、解答题(总题数：24，分数：48.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 u （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 u 得 )解析：16.设 zyf( 2 y 2 )，其中 f可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
11、 2yf( 2 y 2 )， f( 2 y 2 )2y 2 f( 2 y 2 )，则 )解析：17.设 z ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 uf(y， 2 y 2 )，其中 f二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f 1 2f 2 ， f 1 2yf 2 f 11 2f 12 2f 2 2(f 21 2f 22 )f 11 4f 12 4 2 f 22 2f 2 f 11 2yf 12 2f 2 2y(f 21 2yf 22 )f 11 4yf 12 4y 2 f 22 2f 2 )解析：19.设 zfg
12、(y)，zy，其中 f二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： g(y)f 1 f 2 )解析：20.设 zz(z，y)由 yzyz 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 Fyyz， )解析：21.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(，y) ，显然 f(，y)在点(0，0)处连续， 但 不存在，所以 f(，y)在点(0，0)处对 不可偏导，由对称性，f(，y)在点(0，0)处对 y也不可偏导 设f(，y) 因为 所以 f(，y)在点(0，0)处可偏导，且 f (0，0)f y
13、(0，0)0 因为 所以 )解析：22.设 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ， 所以 (，y)不存在，故函数 f(，y)在点(0，0)处不连续 因为 )解析：23.讨论 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 ， 且 0， 所以 (，y)0f(0，0)， 即函数f(，y)在点(0，0)处连续 因为 0，所以 f (0，0)0，根据对称性得 y y (0，0)0，即函数 f(，y)在(0，0)处可偏导 zf (0，0)f y (0，0)yf(，y)f (0，0)f y (0，0)y ， 因为 )解析：24.讨论 f(，y) （分数：2.00）_
14、正确答案：(正确答案：因为 f(，y)0f(0，0)，所以 f(，y)在点(0，0)处连续 因为 0，所以 f (0，0)0，由对称性得 f y (0，0)0，即函数 f(，y)在点(0，0)处可偏导 zf (0，0)f y (0，0)yf(，y)f (0，0)f y (0，0)yysin ， 因为 0 ， 且 )解析：25.设 zf(e t sint，tant)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 z siny，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 z f(t，e t )dt，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：
15、(正确答案： )解析：28.设 u （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设函数 zz(，y)由方程 2 y 2 z 2 yf(z 2 )所确定，其中厂是可微函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 y 2 z 2 yf(z 2 )两边对 求偏导得 22z yf(z 2 )2yzf(z 2 ) ， 解得 2 y 2 z 2 yf(z 2 )两边对 y求偏导得 2y2z f(z 2 )2yzf(z 2 ) ， )解析：30.设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 zf(2y)g(，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2f(2y
16、)g 1 (，y)yg 2 (，y)， )解析：31.设 zf(e siny， 2 y 2 )，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f 1 e siny2f 2 ， fe cosye siny(f 11 e cosy2yf 12 )2(f 21 e cosy2yf 22 ) f 1 e cosy )解析：32.设 zf( 2 y 2 ，y，z)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2f 1 yf 2 f 3 ， )解析：33.设 zz(，y)由 zyzye zy 0 确定，求 （分数：2.00）_正确
17、答案：(正确答案：方程 yzye z 0 两边对 求偏导得 方程 yzye zy 0 两边对 y求偏导得 )解析：34.设 zf(yg(yz)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 zf(yg(yz)两边对 求偏导得 等式zf(yg(yz)两边对 y求偏导得 )解析：35.设 uf(z)，其中 z是由 zy()确定的 ，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，zy(z)两边对 求偏导得 zy(z)两边对 y求偏导得)解析：36.设 yf()yg(z)，且 f(z)yg(z)0，其中 zz(，y)是 z，y 的函数证明：zg(z) yf(z) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：yf(z)yg(z)两边分别对 ，y 求偏导，得 )解析：37.设 zf(，y)由方程 zy zy 0 确定，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 zy zy 0 两边求微分，得 dzdyde zy de zy (dzdyd)0 解得 dz )解析：
