1、考研数学二（多元函数微分学）-试卷 6 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.等于 0B.不存在C.等于D.存在但不等于3. （分数：2.00）A.B.C.D.4. （分数：2.00）A.等于 0B.不存在C.等于D.存在且不等于 0 及5.设 u=f(r)，而 f(r)具有二阶连续导数，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连
2、续 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“P （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 u=u(x，y)满足 及(x，2x)=x，u 1 “(x，2x)=x 2 ，u 有二阶连续偏导数，则 u 11 “(x，2x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.利用变量替换 u=x，y= ，可将方程 化成新方程 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.若函数 u= 其中 f 是可微函数，且 （分数：2.00）A.x+yB.xyC.x 2 一 y 2D.(x
3、+y) 210.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=一 2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=一 2，b=211.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上12.设函数 z=(1+e y )cos xye y ，则函数 z=f(x，y) ( )（分
4、数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点D.有无穷多个极小值点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设 f 可微，则由方程 f(cx 一 az，cybz)=0 确定的函数 z=z(z，y)满足 az x “+bz y “= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 z=z(x，y)由方程 sin x+2y-z=e z 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.函数 f(x，y，z)=一 2x 2 在 x 2 一 y 2 一 2z 2 =2 条件下的极大值是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.函数 u=arcsin （分数：2.00）填空项
5、 1:_17.设 z=e sinxy ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：2.00）_20.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4 一 xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭合区域 D 上的极值、最大值与最小值（分数：2.00）_21.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 x 1 (万元)及报纸广告费用 x 2 (万元)之间的关系有如下
6、经验公式： R=15+14x 1 +32x 2 8x 1 x 2 2x 1 2 一 10x 2 2 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为15 万元，求相应的最优广告策略（分数：2.00）_22.求 f(x，y)=x+xy 一 x 2 一 y 2 在闭区域 D=(x，y)| 0x1，0y2)上的最大值和最小值（分数：2.00）_23.设 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围（分数：2.00）_24.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数，证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取
7、得极值b=(a)的必要条件是 f(a，b)=0，f x “(a，b)=0，f y “(a，b)0 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：2.00）_25.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值（分数：2.00）_26.求内接于椭球面 （分数：2.00）_27.在第一象限的椭圆 （分数：2.00）_28.在球面 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z 的最大值，并利用所得结果证明不等式 （分数：
8、2.00）_29.设 （分数：2.00）_30.设 A，B，C 为常数，B 2 一 AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数，试证明：必存在非奇异线性变换 = 1 x+y，= 2 x+y( 1 ， 2 为常数)， （分数：2.00）_31.设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且 （分数：2.00）_32.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 一 x 2 y 2 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，y0)上的最大值与最小值（分数：2.00）_33.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f xy “(0，0)，h(1)=f yx “(0，0)，
9、且满足 =x 2 y 2 z 2 h“(xyz)，求 u 的表达式，其中 （分数：2.00）_34.求证：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 g(x,y)= （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）-试卷 6 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.等于 0B.不存在 C.等于D.存在但不等于解析：解析：当取 y=kx 时，3. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将 x 视为常数，属
10、基本计算4. （分数：2.00）A.等于 0B.不存在 C.等于D.存在且不等于 0 及解析：解析：取 y=x,5.设 u=f(r)，而 f(r)具有二阶连续导数，则 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式6.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“P （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查图 141
11、中因果关系的认知：7.设函数 u=u(x，y)满足 及(x，2x)=x，u 1 “(x，2x)=x 2 ，u 有二阶连续偏导数，则 u 11 “(x，2x)=( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u 1 “+2u 2 “=1，两边再对 x 求导得 u 11 “+2u 12 “+2u 21 “+4u 22 “=0， 等式 u 1 “(x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u 11 “+2u 12 “=2x， 将式及 u 12 “=u 21 “，u 11 “=u 21 “代入式中得 u 11 “(x，2x)= 8.利用变量替换 u=
12、x，y= ，可将方程 化成新方程 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由复合函数微分法 于是9.若函数 u= 其中 f 是可微函数，且 （分数：2.00）A.x+yB.xy C.x 2 一 y 2D.(x+y) 2解析：解析： 则 u=xyf(t)， 于是10.已知 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)dx+3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=一 2B.a=3，b=2C.a=2，b=2 D.a=一 2，b=2解析：解析：由 du(x，y)=axy 3 +cos(x+2y)-dx+3x 2 y 2 +bcos(
13、x+2y)dy 可知， 以上两式分别对 y，x 求偏导得 11.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上 C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上解析：解析：令 12.设函数 z=(1+e y )cos xye y ，则函数 z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点 D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周
14、期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设 f 可微，则由方程 f(cx 一 az，cybz)=0 确定的函数 z=z(z，y)满足 az x “+bz y “= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：c）解析：解析：方程两边求全微分，得 f 1 “.(cdxadx)+f 2 “.(fdybdz)=0，即 14.设函数 z=z(x，y)由方程 sin x+2y-z=e z 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
15、答案：*）解析：解析：方程两端对 x 求偏导数15.函数 f(x，y，z)=一 2x 2 在 x 2 一 y 2 一 2z 2 =2 条件下的极大值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：由拉格朗日乘数法可得16.函数 u=arcsin （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 z=e sinxy ，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e sinxy cos xy(ydx+xdy)）解析：解析：z x “=e sinxy cos xy.y，z y “=e sinxy cos xy
16、.x，则 dz=e sinxy cos xy(ydx+xdy)三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 u(x，y)=v(x，y)e ax+by 两边同时求偏导数， 由题意可知，应令2a+k=0，-2b+k=0，解得 原方程变为 )解析：20.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4 一 xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭合区域 D 上的极值、最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方
17、程组 得 x=0(0y6)及点(4，0)，(2，1)而点(4，0)及线段x=0(0y6)在 D 的边界上，只有点(2，1)在 D 内部，可能是极值点 f xx “=8y 一 6xy 一 2y 2 ，f xy “=8x 一 3x 2 一 4xy，f yy “=一 2x 2 在点(2，1)处， )解析：21.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 x 1 (万元)及报纸广告费用 x 2 (万元)之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 1 +32x 2 8x 1 x 2 2x 1 2 一 10x 2 2 (1)在广告费用不限的情况下，
18、求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为15 万元，求相应的最优广告策略（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)利润函数为 z=f(x 1 ，x 2 )=15+14x 1 +32x 2 8x 1 x 2 -2x 1 2 10x 2 2 一(x 1 +x 2 ) =15+13x 1 +31x 2 8x 1 x 2 2x 1 2 一 10x 2 2 函数 z=f(x 1 ，x 2 )在(075，125)的二阶导数为 =一 20由于 B 2 一 AC=64-80=一 160，A=一 40，所以函数z=f(x 1 ，x 2 )在(075，125)处达到极大值，也即最大值所以投入电台广告费 0
19、75 万元，报纸广告费 125 万元时，利润最大 (2)若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z=f(x 1 ，x 2 )在 x 1 +x 2 =15 时的条件极值 构造拉格朗日函数 F(x 1 ，x 2 ，)=15+13x 1 +31x 2 8x 1 x 2 2x 1 2 一 10x 2 2 +(x 1 +x 2 15)， 由方程组 )解析：22.求 f(x，y)=x+xy 一 x 2 一 y 2 在闭区域 D=(x，y)| 0x1，0y2)上的最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xy 一 x 2 一 y 2 在闭区
20、域 D上连续，所以一定存在最大值和最小值 首先求 f(x，y)=x+xyx 2 一 y 2 在闭区域 D 内部的极值： g(x，y)=(f xy “)一 f xx “f yy “=一 3 得 f(x，y)=x+xyx 2 一 y 2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件 在 aT 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xyx 2 一 y 2 +y， 在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处 f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面边界的最大值为 ，最小值为 0
21、同理可求出： 在上面边界上的最大值为一 2，最小值为一 4; 在左面边界上的最大值为 0，最小值为一 4； 在右面边界上的最大值为 ，最小值为一 2 比较以上各值，可知函数 fx,y)=x+xy一 x 2 一 y 2 在闭区域 D 上的最大值为 )解析：23.设 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)=kx 2 +2kxy+y 2 ，可得 f x “(x，y)=2kx+2ky，f xx “(x，y)=2k， f y “(x，y)=2kx+2y，f yy “(x，y)=2， f xy “
22、(x，y)=2k， 于是， 若=B 2 一 AC=4k 2 一 4k0 且A=2k0，故 0k1； 若=B 2 一 AC=4k 2 一 4k=0，则 k=0 或 k=1， 当 k=0 时，f(x，y)=y 2 ，由于 f(x，0)0，于是点(0，0)非极小值点 当 k=1 时，f(x，y)=(x+y) 2 ，由于 f(x，一 x)0，于是点(0，0)也非极小值点 综上所述，k 的取值范围为(0，1)解析：24.设 f(x，y)具有二阶连续偏导数，证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值b=(a)的必要条件是 f(a，b)=0，f x “(a，b)=0，f
23、 y “(a，b)0 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0而 设 b=(a)，则 于是 f x “(a，b)=0，f y “(a，b)0又 )解析：25.求函数 z=x 2 +y 2 +2x+y 在区域 D：x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x 2 +y 2 1 是有界闭区域，z=x 2 +y 2 +2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值 (2)函数在区域内部无偏导数不
24、存在的点 (3)再求函数在边界上的最大值与最小值点，即求 z=x 2 +y 2 +2x+y 满足约束条件 x 2 +y 2 =1 的条件极值点此时，z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2 +y 2 1)， )解析：26.求内接于椭球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该内接长方体体积为 v，p(x，y，z)(x0，y0，z0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以 v=8xyz，x0，y0,z0 且满足条件 因此，需要求出 v=8xyz 在约束条件 下的极值 设 L(x，y，z，)=8xyz+ ，
25、求出 L 的所有偏导数，并令它们都等于 0，有 ，分别乘以 x，y，z，有 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点 为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为 )解析：27.在第一象限的椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为 即 记 f(x，y)= ，x0，y0，约束条件为 g(x，y)= ，构造拉格朗日函数 h(x，y，)=f(x，y)+g(x，y) 根据条件极值的求解方法，先求 根据实际问颢，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为 )解析：28.在球面 x 2
26、+y 2 +z 2 =5R 2 (x0，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z 的最大值，并利用所得结果证明不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L(x，y，z，)=ln x+In y+3ln z+(x 2 +y 2 +z 2 一 5R 2 )，并令 由前 3 式得 x 2 =y 2 = 代入第 4 式得可疑点 ，因 xyz 3 在有界闭集 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (x0，y0，z0)上必有最大值，且最大值必在 x0，y0，z0 取得，故 f=ln xyz 3 在 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 也有最大值，而 唯一，故最大
27、值为 ，又 ln x+ln y+3 ln z ,故 x 2 y 2 z 6 27R 10 令 x 2 =a，y 2 =b，z 2 =c，又知 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 ，则 )解析：29.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)按定义易知 f x “(0，0)=0，f y “(0，0)=0 |f(x，y)一 0|= 0(当(x，y)(0，0)，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续 l 0 =cos ，sin， f=f(0+x，0+y)一 f(0，0)= 按可微定义，若可微，则 (2)以下直接证明成立，由此可推知，均成立事实上， )解析：30.设 A，B，C 为常数，
28、B 2 一 AC0，A0u(x，y)具有二阶连续偏导数，试证明：必存在非奇异线性变换 = 1 x+y，= 2 x+y( 1 ， 2 为常数)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入所给方程，将该方程化为 由于 B 2 一 AC0，A0，所以代数方程 A 2 +2B+C=0 有两个不相等的实根 1 与 2 取此 1 与 2 ，此时 1 2 A+( 1 + 2 )B+C= 代入变换后的方程，成为 )解析：31.设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 一 x 2 y 2
29、 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，y0)上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 f(x，y)在 D 的内部的驻点由 f x “(x，y)=2x-2xy 2 =0，f y “(x，y)=4y一 2x 2 y=0，解得 x=0 或 y=1；x= 或 y=0经配对之后，位于区域 D 内部的点为 经计算，再考虑 D 的边界上的 f(x，y)在 y=0 上，f(x，0)=x 2 ，最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0又在 x 2 +y 2 =4 上， 令 g(x)=4x 3 一 10x=0， )解析：33.设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)
30、，h(1)=f xy “(0，0)，h(1)=f yx “(0，0)，且满足 =x 2 y 2 z 2 h“(xyz)，求 u 的表达式，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u x “=yzh(xyz)，u xy “=zh(xyz)+xyz 2 h“(xyz)， u xyz “=h(xyz)+xyzh“(xyz)+2xyzh“(xyz)+x 2 y 2 z 2 h“(xyz) 故 3xyzh“(xyz)+h(xyz)=0，令 xyz=t，得 3th“(t)+h(t)=0 设 v=h(t)，得 3tv+v=0，分离变量，得 又 f(x，0)=0，则易知 f x “(0，0)=0，当(
31、x，y)(0，0)时， 于是 f x “(0，y)=一 y，所以 f xy “(0，0)=一 1，由对称性知 f yx “(0，0)=1，所以 h(1)=一 1，h(1)=1， )解析：34.求证：f(x，y)=Ax 2 +2Bxy+Cy 2 在约束条件 g(x,y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在全平面连续， 为有界闭区域，故 f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )分别为最大值点和最小值点，令 则(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )应满足方程 记相应乘子为 1 ， 2 ，则(x 1 ，y 1 ， 1 )满足 解得 1 =Ax 1 2 +2Bx 1 y 1 +Cy 1 2 同理 2 =Ax 2 2 +2Bx 2 y 2 +Cy 2 2 即 1 ， 2 是 f(x，y)在椭圆 上的最大值和最小值 又方程组和有非零解，系数行列式为 0，即 )解析：
