1、考研数学二（多元函数微分学）-试卷 4 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可微D.可微3.二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.m2，n2B.m2，n2C.m2，n2D.m2，n24.函数 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.偏导数存在，但不可微C.可微D.偏导数存在且连续5.函数 z=x 3 +y 3 一 3x 2 一
2、3y 2 的极小值点是 ( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(2，2)C.(0，2)D.(2，0)6.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.等于 1B.等=F 2C.等于 0D.不存在7.设函数 z=1 一 （分数：2.00）A.极小值点且是最小值点B.极大值点且是最大值点C.极小值点但非最小值点D.极大值点但非最大值点8.设 f(x，y)=arcsin ，则 f“ x (2，1)： ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.z“ x (x 0 ，y 0 )=0 和 z“ y (x 0 ，y 0 )=0 是函数 z=z(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极值的( )（分数
3、：2.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充要条件D.既非必要也非充分条件10.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.y 轴上的所有点B.x=0，y0 的点集C.空集D.x=0，y0 的点集11.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.函数 f(x，y)=ln(x 2 +y 2 一 1)的连续区域是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 u= （分数：2.00）填空项 1:_14.若函数 z=2x 2 +2y 2 +3xy+a
4、x+by+c 在点(一 2，3)处取得极小值一 3，则常数 a、b、c 之积 abc= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 u=x 4 +y 4 4x 2 y 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 u= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 f 在点(a，b)处的偏导数存在，求 （分数：2.00）_20.设 f(x)可导，F(x，y)= ，一x+，y0， (1)求 （分数：2.00）_21.试分析
5、下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微的充分条件还是必要条件 (1)二元函数的极限 f(x，y)存在； (2)二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某个邻域内有界； (3) f(x 0 ，y)=f(x 0 ，y 0 )； (4)F(x)=f(x，y 0 )在点 x 0 处可微，G(y)=f(x 0 ，y)在点 y 0 处可微； (5) f“ y (x 0 ，y)一 f“ y (x 0 ，y 0 )=0； (6) （分数：2.00）_22.设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：2.00）_23.设函数 f(x，y)可微，又 f(
6、0，0)=0，f“ x (0，0)=a，f“ y (0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，t 2 )，求 “(0)（分数：2.00）_24.设 z= （分数：2.00）_25.已知 z= （分数：2.00）_26.求 u=xyze x+y+z 的全微分（分数：2.00）_27.设 z= （分数：2.00）_28.设 u= （分数：2.00）_29.设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_30.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微
7、，P(t)，“(u)连续，且 “(u)1求 （分数：2.00）_31.设 f(x，y)= （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）-试卷 4 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可微 D.可微解析：解析：3.二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.m2，n2B.m2，n2 C.m2，n2D.m2，n2解析：解析：当(x，y)沿 y=kx(k0)
8、趋向点(0，0)时， k 取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续 又因为 同理可得 f“ y (0，0)=0，故偏导数存在 当n2 时，有 n=1， 4.函数 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.偏导数存在，但不可微 C.可微D.偏导数存在且连续解析：解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手5.函数 z=x 3 +y 3 一 3x 2 一 3y 2 的极小值点是 ( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(2，2) C.(0，2)D.(2，0)解析：解析： 6.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.等于 1B.等=F 2C
9、.等于 0 D.不存在解析：解析：当 xy0 时，0xsin7.设函数 z=1 一 （分数：2.00）A.极小值点且是最小值点B.极大值点且是最大值点 C.极小值点但非最小值点D.极大值点但非最大值点解析：解析：由极值点的判别条件可知8.设 f(x，y)=arcsin ，则 f“ x (2，1)： ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：f“ x (2，1)= 9.z“ x (x 0 ，y 0 )=0 和 z“ y (x 0 ，y 0 )=0 是函数 z=z(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极值的( )（分数：2.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C
10、.充要条件D.既非必要也非充分条件 解析：解析：若 z=z(x，y)= 10.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.y 轴上的所有点B.x=0，y0 的点集C.空集 D.x=0，y0 的点集解析：解析：当 x0 时，f(x，y)为二元连续函数，而当 x0，yy 0 时， 11.函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在解析：解析：取 y=kx，可得 f(x，y)在(0，0)处不连续由偏导数定义，可得 f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.函数 f(x，y
11、)=ln(x 2 +y 2 一 1)的连续区域是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 +y 2 1）解析：解析：一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的13.设 u= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：14.若函数 z=2x 2 +2y 2 +3xy+ax+by+c 在点(一 2，3)处取得极小值一 3，则常数 a、b、c 之积 abc= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：30）解析：解析：由极值的必要条件知在点(一 2，3)处，z“ x =0，z“ y =0，从而可分别求出 a、b、c 之值15.设 u=
12、x 4 +y 4 4x 2 y 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12x 2 8y 2）解析：解析：因 16.设 u= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 sin）解析：解析：由 x=rcos，y=rsin，得 u=cos，17.设 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：三、解答题(总题数：14，分数：28.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 f 在点(a，b)处的偏导数存在，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )
13、解析：20.设 f(x)可导，F(x，y)= ，一x+，y0， (1)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微的充分条件还是必要条件 (1)二元函数的极限 f(x，y)存在； (2)二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某个邻域内有界； (3) f(x 0 ，y)=f(x 0 ，y 0 )； (4)F(x)=f(x，y 0 )在点 x 0 处可微，G(y)=f(x 0 ，y)在点 y 0 处可微； (5) f“ y (x 0 ，y)一 f“ y (x 0 ，y 0 )=0；
14、 (6) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：结论(1)(4)中每一个分别都是 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微的必要条件，而非充分条件而结论(6)是其充分非必要条件 因 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微，故z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续，即 f(x，y)必存在，于是 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )某邻域有界 结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x，y 0 )在 x 0 处连续，G(y)=f(x 0 ，y)在 y 0 处连续，它是二元函数 z=f(x，y)在点 P 0 (x，y 0 )
15、处连续的必要条件，而非充分条件而 z=f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件 只要在 z=f(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )的全微分定义 z=Ax+By+o()，= 中取特殊情况，分别令y=0 与x=0，即证得结论(4) 结论(5)的f“ x (x，y 0 )一 f“ x (x 0 ，y 0 )=0 表示偏导函数 f“ x (x，y)在 y=y 0 时的一元函数 f“ x (x，y 0 )在 x 0 处连续，它仅是二元偏导函数 f“ x (x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的一个必要条件，对 f“ y (x 0 ，y)
16、一 f“ y (x 0 ，y 0 )=0 有类似的结果而 z=f(x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处可微又是 f“ x (x，y)，f“ y (x，y)在 P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件又是非必要条件 结论(6)的等价形式是 z=f(x，y)一 f(x 0 ，y 0 )=o()， = )解析：22.设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当(x，y)(0，0)时 ln(1+x 2 +y 2 )x 2 +y 2 ，由 ， 于是 f(x，y)一 f(0，0)一 bx 一 cy=x 2 +
17、y 2 +(x 2 +y 2 )o(1)=0() (= 0)，即 f(x，y)一 f(0，0)=bx+cy+0()(0) 由可微性概念可知，f(x，y)在点(0，0)处可微且 df(x，y) (0,0) =bdx+cdy (2)由 df(x，y) (0,0) =bdx+cdy 得 =c于是当 b，c 不同时为零时 f(x，y)在点(0，0)处不取极值 当 b=c=0 时，由于 )解析：23.设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0，f“ x (0，0)=a，f“ y (0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，t 2 )，求 “(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 (t)=f
18、t，f(t，t 2 )中令 u=t，u=f(t，t 2 )，得 (t)=f(u，u)， “(t)=f“ 1 (u，v) )解析：24.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.已知 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求 u=xyze x+y+z 的全微分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u“ x =(1+x)yze x+y+z ，u“ y =(1+y)xze x+y+z ，u“ z =(1+z)xye x+y+z ， du=e x+y+z (1+x)yzdx+(1+y)xzdy+(1+z)xydz)解析：27.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 u= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且 “(u)1求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
