1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x，y)在点 O(0，0)处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可微（D）可微2 二元函数 ，其中 m，n 为正整数，函数在(0，0)处不连续，但偏导数存在，则 m，n 需满足 ( )（A）m2，n2（B） m2， n2（C） m2，n2（D）m2，n23 函数 z=f(x，y)= 在(0 ，0)点 ( )（A）连续，但偏导数不存在（B）偏导数存在，但不可微（C）可微（D）偏导数存在且连续4 函数 x3+y3 3x23y 2 的极小值点
2、是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)5 函数 ，则极限 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在6 设函数 z=1 ，则点(0，0)是函数 z 的 ( )（A）极小值点且是最小值点（B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点（D）极大值点但非最大值点7 设 f(x，y)=arcsin ，则 fx(2，1)= ( )8 zx(x0，y 0)=0 和 zy(x0，y 0)=0 是函数 z=z(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极值的( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充
3、分条件9 函数 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集10 函数 在点(0，0)处 ( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在二、填空题11 函数 f(x， y)=ln(x2+y21)的连续区域是_12 设 =_13 若函数 2=2x2+2y2+3xy+ax+by+C 在点(2，3) 处取得极小值 3，则常数a、b、c 之积 abc=_14 设 u=x4+y4-4x2y2，则 =_15 设 =_16 设 则 fx(0，1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤。17 设 f(x)可导，F(x，y)= ， x+ ，y018 试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的充分条件还是必要条件(1)二元函数的极限 存在；(2)二元函数 z=f(x，y)在点(x0，y 0)的某个邻域内有界；(3)(4)F(x)=f(x0，y 0)在点 x0 处可微，G(y)=f(x0，y)在点 y0 处可微；(5)(6)19 设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 其中a，b，c 为常数(1)讨论 f(x，y)在点(0，0) 处是否可微，若可微则求出df(x，y) (0,0)；(2)讨论 f(x，y)在点(0，0) 处是否取极值，说
5、明理由20 设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0 ，f x(0，0)=a，f y(0，0)=b，且 (t)=f(t，t 2)，求 (0)21 设 z= f(xy)+y(x+y)，其中 f 及 二阶可导，求 22 已知 z= ，其中 a0，a1，求 dz23 设 z= ，其中 f，g 均可微，计算 24 设 u= ，其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求25 设 z=f(2xy)+g(x ，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求26 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+xyP(t)dt 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(
6、t)，(u)连续，且 (u)1求 27 设28 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exyy=0 和 ezxz=0所确定，求29 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z= 满足等式(1)验证 f(u)+ =0；(2)若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式30 设 ，求常数 a，使31 已知函数 u=u(x，y)满足方程 试选择参数 a，b，利用变换 u(x，y)=v(x，y)e ax+by 均将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项32 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y
7、 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值33 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R 万元与电台广告费 x1 万元及报纸广告费用 x2 万元之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 1+32x28x 1x22x 1210x 22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 f(x，y)0= 所以 f(x，y)=0， f(x，y) 在点
8、O 处连续，排除(A) ，(B)下面考查(C)所以 fx(0，0)=0 ，f y(0，0)=0若在点 O(0，0)处可微，则应有f=f(0+ x， 0+y)f(0，0)= =fx(0，0) x+fy(0，0)y+o()( 其中 = ) =o()但是上式并不成立，事实上， 所以 f(x，y)在点 O(0，0)处不可微，故应选(C) 【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 当(x，y) 沿 y=kx(k0)趋向点(0，0)时，当 m2，n2 时，k 取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续又因为 fx(0，0)=0，同理可得 fy(0，0)=0
9、，故偏导数存在当 n2 时，有 n=1， 因而，函数 f(x，y)在(0，0)处连续同理，当 m2 时，函数 f(x，y)在(0，0)处连续综上，应选(B) 【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手由于=0，所以 fx (0，0)=0 ，同理fy(0，0)=0令 =zf x(0，0)xf y(0，0)y=当( x，y)沿 y=x 趋于(0，0)点时0，即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在(0，0)点不可微，故选(B)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 =3x26x=0 和 =3y26y=0，可得到
10、4 个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0) 在(0，2)点和(2，0)点，均有 ACB 20，因而这两个点不是极值点在(0，0)点，ACB 2=36 0，且 A= 60，所以(0，0)点是极大值点在 (2，2)点，ACB 2=36 0，且 A=120，所以(2，2)点是极小值点，故选 (B)【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时，0 x+y，当(x，y)(0，0) 时，由夹逼准则，可得极限值为 0【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由极值点的判别条件可知【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 f
11、 x(2，1)=【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 若 z=z(x，y)= ，则(0 ，0)为其极小值点，但 zx(0，0)，zy(0，0) 均不存在【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，f(x，y)为二元连续函数，而当所以，(0，y 0)为 f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点的集合为 【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 取 y=kx，可得 f(x，y)在(0，0)处不连续由偏导数定义，可得f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在【知识模块】 多元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 x 2+y2
12、1【试题解析】 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 0【试题解析】 本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(2，3)处，z x=0，z y=0，从而可分别求出 a、b、c 之值【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 12x 28y 2【试题解析】 因 =4x38xy 2，故 =12x28y 2【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 sin【试题解析】 由 x=rcos，y=rsin ，得 u=cos， =sin【知识模块】 多元函数微
13、分学16 【正确答案】 1【试题解析】 f x(0，1)= =1【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 本题形式上的研究对象是多元函数，事实上，问题的主体知识是一元函数的极限、导数问题，需要考生在计算的全过程中把握住“谁是变量” 【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 结论(1)(4) 中每一个分别都是 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的必要条件，而非充分条件而结论(5)是其既非充分也非必要条件，结论(6)是其充分非必要条件因 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微，故 z=f(x，y) 在点 P0(x
14、0，y 0)处连续，即 f(x，y)=f(x 0，y 0)，则极限 f(x，y)必存在，于是 z=(x，y)在点 P0(x0，y 0)某邻域内有界结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x，x 0)在 x0 处连续，G(y)=f(x0，y)在 y0 处连续，它是二元函数 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续的必要条件，而非充分条件而 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件只要在 z=f(x，y)在 P0(x0，y 0)的全微分定义 z=Ax+By+o()，=中取特殊情况，分别令y=0 与x=0 即证得结论(4)结论(5)的fx(x，y 0)
15、f x(x0，y 0)=0 表示偏导函数 fx(x，y)在 y=y0 时的一元函数fx(x，y 0)在 x0 处连续，它仅是二元偏导函数 fx(x，y)在 P0(x0，y 0)处连续的一个必要条件，对 fy(x0，y)f y(x0，y 0)=0 有类似的结果而 z=f(x，y)在 P0(x0，y 0)处可微又是 fx(x，y)，f y(x，y)在 P0(x0，y 0)处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件也不是必要条件结论(6) 的等价形式是z=f(x，y)f(x 0，y 0)=o()，= ，它是相应全微分定义中 A=0，B=0 的情形，则结论(6)是其可微的充分非必要条件【知识
16、模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 (1)当(x，y)(0 ，0)时，ln(1+x 2+y2)x 2+y2，f(x，y)abxcy=0= f(x，y)=a 由 f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得 f(0，0)= f(x， y)=a再由极限与无穷小的关系可知，=1+o(1)(其中 o(1)为当(x，y)(0，0)时的无穷小量)，则f(x，y)f(0， 0)bxcy=x 2+y2+(x2+y2)o(1)=o()(= 0)，即 f(x，y)f(0，0)=bx+cy+o()(0)由可微性概念=f(x ， y)在点(0 ，0)处可微且df(x，y) (0，0) =bdx+cdy(2)由 df
17、(x，y) (0，0) =bdx+cdy 可知，=c于是当 b，c 不同时为零时， f(x，y)在点(0，0)处不取极值当 b=c=0 时，由于 又由极限保号性可知，0，当 0x 2+y2 2 时， 0，即 f(x，y)f(0，0)，因此f(x，y)在点(0，0)处取极小值【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 在 (t)=ft，f(t，t 2)中令 u=t，v=f(t，t 2)，得 (t)=f(u，v)，(t)=f1(u，v) +f2(u，v) =f1(u，v).1+f 2(u，v).f 1(t，t 2).1+f2(t，t 2).2t=f1t，f(t，t 2)+f2t，f(t ， t
18、2).f1(t，t 2)+f2(t，t 2).2t，所以 (0)=f1(0，0)+f2(0，0).f 1(0，0)+f 2(0，0).2.0=a+b(a+0)=a(1+b)。【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 令 u=xy，v=x+y ，则 z= f(u)+y(v)由于 f 及 二阶可微，而u=xy， v=x+y 均为初等函数，故满足 这里先求 较为简便一些由复合函数的求导法则，得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 设 z=f(u，v)+g() ，u=xy ，v= ，= ，则【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】
19、【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 =2f+gu+ygv， =2f+xg uv+xygvu+gv【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 由 z=f(u)，可得 在方程 u=(u)+xyP(t)dt 两边分别对 x，y 求偏导数，得由此得于是【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 方程 exyy=0 两边关于 x 求导，有方程 ezxz=0 两边关于 x 求导，有于是【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 (1)求二元复合函数 z=f( )的二阶偏导数中必然包含 f(u)及 f(u)，将 的表达式代入等式=0 中
20、，就能找出 f(u)与 f(u)的关系式(2)解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解在方程 f(u)+ =0 中，令 f(u)=g(u)，则 f(u)=g(u)，方程变为 g(u)+ =0，这是可分离变量微分方程，解得g(u)= ，即 f(u)= ，由初值条件(1)=1 得 C1=1，所以， f1(u)= ，两边积分得f(u)=lnu+C2由初值条件 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(u)=lnu【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 所以a=1【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 等式 u(x，y)=v(x，y)e ax+by 两边同时求偏导数，由题意可知，应令 2a+
21、k=0，2b+k=0，解得 ，原方程变为【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 由方程组 得 x=0(0yb)及点(4，0)，(2，1)。而点(4， 0)及线段 x=0(0yb)在 D 的边界上，只有点(2，1)在 D内部，可能是极值点f xx=8y6xy2y 2，f xy=8x3x 24xy，f yy=2x 2在点(2，1)处，A= =6，B= =4，C= =8，B 2AC=320，且A0，因此点(2，1) 是 z=f(x，y)的极大值点，极大值 f(2，1)=4在 D 的边界x=0(0y6)及 y=0(0x6)上，f(x，y)=0在边界 x+y=6 上，y=6x 代入 f(x，y)
22、中得，z=2x 312x 2(0x6)由 z=6x224x=0 得 x=0，x=4在边界 x+y=6 上对应x=0，4 ，6 处 z 的值分别为：z x=0=2x312x 2 x=0=0，z x=4=2x312x 2 x=4=64，z x=6=2x312x 2 x=6=0 因此知 z=f(x，y)在边界上的最大值为 0，最小值为 f(4，2)=64将边界上最大值和最小值与驻点(2，1) 处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域 D 上的最大值为 f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=64【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 (1)利润函数为 z=f(x1，x 2)=15+14x1+
23、32x28x 1x22x 1210x 22(x 1+x2)=15+13x1+31x28x 1x22x 1210x 22由函数 z=f(x1，x 2)在(075 ，125)的二阶导数为 由于 B2 AC=6480=16 0，A= 40，所以函数 z=f(x1，x 2)在(0 75，125)处达到极大值，也即最大值所以投入电台广告费 075 万元，报纸广告费 125万元时，利润最大(2)若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z=f(x1，x 2)在x1+x2=15 时的条件极值构造拉格朗日函数 F(x1，x 2，)=15+13x1+31x28x 1x22x 1210x 22+(x1+x215) ，由方程组得 x1=0，x 2=15即将广告费 15 万元全部用于报纸广告，可使利润最大【知识模块】 多元函数微分学
