1、考研数学一（多元函数微分学）-试卷 2 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)=0，则 f(，y)在点(0，0)处（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.不连续，但偏导数存在C.可微D.不可微3.在下列二元函数中， （分数：2.00）A.f(x，y) =x 4 +2x 2 y 2 +y 10 B.f(x，y)=ln(1+x 2 +y 2 )+cosxyC.D.4.设
2、 u(x，y)在 M 0 取极大值，且 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )邻域存在偏导数 （分数：2.00）A.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微且 B.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处不可微C.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )沿 方向 D.曲线 在点(x 0 ，y 0 ，f(x 0 ，y 0 )处的切线的方向向量是 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 z=z(x，y)满足方程 2ze z +2xy=3 且 z(1，2)=0，则 dz (1，2) = 1（分数：2.0
3、0）填空项 1:_8.设 z=yf(x 2 y 2 )，其中 f(u)可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x，y)有连续偏导数，满足 f(1，2)=1，f x (1，2)=2，f y (1，2)=3，(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是由方程 F(x，y，z)=0 所确定的隐函数，并且 F(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.函数 z=1(x 2 +2y 2 )在点 M 0 ( （分数：2.00）填空项 1:_1
4、2.过曲面 ze z +2xy=3 上点 M 0 (1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.过曲面 z=4x 2 y 2 上点尸处的切平面平行于 2x+2y+z 一 1=0，则 P 点的坐标为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）_17.设 u=yf （分数：2.00）_18.设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ P(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，
5、且 (u)1，求 P(y)+ （分数：2.00）_19.设函数 u(x，y)有连续二阶偏导数，满足 （分数：2.00）_20.设 u= （分数：2.00）_21.已知函数 f(x，y，z)=x 3 y 2 z 及方程 x+y+z3+e 3 =e (x+y+z) ， (*) ()如果 x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=1，又 u=f(x(y，z)，y，z)，求 ； ()如果 z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又 =f(x，y，z(x，y)，求 （分数：2.00）_22.设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)
6、由方程 u 3 5xy+5u=1 确定求 （分数：2.00）_23.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 （分数：2.00）_24.若可微函数 z=f(x，y)在极坐标系下只是 的函数，求证：x （分数：2.00）_25.作自变量与因变量变换：u=x+y，v=xy，w=xyz，变换方程 （分数：2.00）_26.设 u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)=0，其中 F 有连续的偏导数且（分数：2.00）_27.设 z=z(x，y)满足 0，由 z=z(x，y)可解出 y=y(z，x)求：() （分数：2.00
7、）_28.设 f(x，y)=2(yx 2 ) 2 （分数：2.00）_29.求 z=2x+y 在区域 D：x 2 + （分数：2.00）_30.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y)的二阶混合偏导数 （分数：2.00）_31.设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，f y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)=0 在x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f x (a，b)=0， 且当 r(a
8、，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值其中 （分数：2.00）_32.造一容积为 V 0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积（分数：2.00）_33.已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：2.00）_34.证明条件极值点的必要条件(89)式，并说明(89)式的几何意义（分数：2.00）_35.求函数 u=xy+yz+zx 在 M 0 (2，1，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数（分数：2.00）_36.求椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 yz1=0 上具有下列性质的点(x，
9、y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与 Oxy 平面垂直（分数：2.00）_37.过球面 x 2 +y 2 +z 2 =169 上点 M(3，4，12)分别作垂直于 x 轴与 y 轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程（分数：2.00）_38.设 a，b，c0，在椭球面 （分数：2.00）_39.若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)=t n (x，y)， (*) 称 f(x，y)为 n 次齐次函数设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为 n 次齐次函数 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数微分学）-试卷
10、2 答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)=0，则 f(，y)在点(0，0)处（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.不连续，但偏导数存在C.可微 D.不可微解析：解析：逐项分析： ()xy在(0，0)连续，(x，y)在点(0，0)处连续 f(x，y)在点(0，0)处连续 f(x，y)在点(0，0)处可微选(C)3.在下列二元函数中， （分数：2.00）A.f(
11、x，y) =x 4 +2x 2 y 2 +y 10 B.f(x，y)=ln(1+x 2 +y 2 )+cosxyC. D.解析：解析：对于(A)，(B)：f(x，y)均是二元初等函数， 因而(C)，(D)中必有一个是 f xy (0，0)=f yx (0，0)，而另一个是 f xy (0，0)f yx (0，0)现考察(C) (x，y)(0，0)时， 4.设 u(x，y)在 M 0 取极大值，且 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论令 f(x)=u(x，y 0 ) x=x 0 是
12、 f(x)的极大值点 (若0，则 x=x 0 是 f(x)的极小值点，于是得矛盾) 同理，令 g(y)=u(x 0 ，y) y=y 0 是 g(y)的极大值点 5.设 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )邻域存在偏导数 （分数：2.00）A.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微且 B.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处不可微C.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )沿 方向 D.曲线 在点(x 0 ，y 0 ，f(x 0 ，y 0 )处的切线的方向向量是 解析：解析：当 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )邻域 偏导数，而 在(x 0 ，y 0 )不连续时，不能确定 f(x，y)
13、在(x 0 ，y 0 )是否可微，也不能确定它在(x 0 ，y 0 )是否存在方向导数故(A)，(B)，(C)不正确，只有(D)正确或直接考察曲线 它在点(x 0 ，y 0 ，f(x 0 ，y 0 )处的切向量是 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x 2 y，e x2y )(2xydx+x 2 dy)）解析：解析：dz=f(x 2 y，e x2y )d(x 2 y)=f(x 2 y，e x2y )(2xydx+x 2 dy)7.设 z=z(x，y)满足方程 2ze z +2xy=3 且 z(1，2)=0，则 dz
14、 (1，2) = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4dx 一 2dy）解析：解析：将方程分别对 x，y 求偏导数，得“ 令 x=1，y=2，z=0 得 8.设 z=yf(x 2 y 2 )，其中 f(u)可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： =yf(x 2 一 y 2 ).2x=2xyf(x 2 一 y 2 )， =yf(x 2 一 y 2 )(一 2y)+f(x 2 一 y 2 )=2y 2 f(x 2 一 y 2 )+f(x 2 一 y 2 )， 9.设 f(x，y)有连续偏导数，满足 f(1，2)=1，f x (
15、1，2)=2，f y (1，2)=3，(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：302）解析：解析：(x)=f(x，u(x)，u(x)=2f(x，v(x)，v(x)=2f(x，2x)， v(1)=2f(1，2)=2，u(1)=2f(1，v(1)=2f(1，2)=2， (1)= (1，2)u(1)=2+3u(1)， u(1)=2 (1，2)v(1)=22+3v(1)， v(1)=2 (1，2)=2(2+2.3)=16 往回代10.设 x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是由方程 F(x，y，z)=0 所确
16、定的隐函数，并且 F(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由隐函数求导法知 (如，由 F(x，y，z)=0 确定 x=x(y，z)，将方程对 y 求偏导数得其余类似)将这三式相乘得11.函数 z=1(x 2 +2y 2 )在点 M 0 ( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：M 0 在曲线 C 上，C 在 M 0 点的内法线方向 n=grad(x 2 +2y 2 1)=(2x，4y) M0 ， 单位内法向 n 0 = gradz M0 =grad(x 2 +2y 2 ) M0
17、=( ，2) 按方向导数计算公式，12.过曲面 ze z +2xy=3 上点 M 0 (1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+y 一 4=0）解析：解析：曲面方程 F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=ze z +2xy 一 3， 13.过曲面 z=4x 2 y 2 上点尸处的切平面平行于 2x+2y+z 一 1=0，则 P 点的坐标为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，2)）解析：解析：P(x，y，z)处一个法向量 n=2x，2y，1，平面 2x+2y+z 一 1=0 的法向量 n 0 =2，2，1，
18、由 n=n 0 x=，y=，=1 14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：M 0 在曲线上，M 0 处的切向量 =(一 4yz+4y)i+(一 4x+4xz)j+(8xy 一 8xy)k M0 =一 4i+4j=4一 1，1，0 M 0 处切线方程 三、解答题(总题数：25，分数：50.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 z=f(x，y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2xy+(x)，(x)为 x 的任意函数 f(x，y)=xy 2 +(x)y+(x)，(x)也是 x 的任
19、意函数 由 )解析：17.设 u=yf （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ P(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求 P(y)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程对 x 求导 +P(x) 将原方程对 y 求导 P(y) 由P(y)+P(x)得 由于 (u)1 )解析：19.设函数 u(x，y)有连续二阶偏导数，满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 u(x，2x)=x 两边对 x 求导，由复合函数求导法及 (x，2x)=x 2 得 (1x 2 ) 现将 (1 一 x 2 )分别对 x
20、求导得 式2 一式，利用条件 (x，2x)得 代入式得 )解析：20.设 u= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u 是 u=f(s，t)与 s= 复合而成的 x，y，z 的三元函数 先求 du由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得 )解析：21.已知函数 f(x，y，z)=x 3 y 2 z 及方程 x+y+z3+e 3 =e (x+y+z) ， (*) ()如果 x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=1，又 u=f(x(y，z)，y，z)，求 ； ()如果 z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又 =f(x，y，z(x，y
21、)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()依题意， 为 fx(y，z)，y，z对 y 的偏导数，故有 因为题设方程(*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 x 看成常量，从而有 由此可得=1代入式，得 ()同()一样，求得 在题设方程(*)中将 x 看成常量，对 y 求导，可得 =1，故有 )解析：解析：f 是 x，y，z 的函数，而 x 和 z 又分别是 y，z 和 x，y 的函数，所以在()中把 x 看成中间变量，在()中把 z 看成中间变量22.设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u 3 5xy+5u=
22、1 确定求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 u 5 5xy+5u=1 两端对 x 求导数，得 5u 4 ，故 在上式对 x求导数时，应注意其中的 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，于是 )解析：解析：z 是 x，y，u 的函数，而 u 是由方程 u 5 5xy+5u=1 所确定的 x，y 的隐函数，所以本题是隐函数的复合函数求偏导数的问题23.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得 而 t=t(x，y)由 F(x，y，t
23、)=0 所确定，则 将 的表达式代入式即得 )解析：解析：由本题要求的 知，y 应该是 x 的一元函数，分析清楚这一点是解答本题的关键由题设知 F(x，y，t)=0 确定了 t=t(x，y)，将 t=t(x，y)代入 y=f(x，t)得 y=f(x，t(x，y)，这是关于 x 和y 的方程，它可确定 y 是 x 的一元函数另一种方法是利用一阶全微分形式不变性求解 上面两种解法都是由方程式确定的隐函数的求导问题另一种思路是，看作由方程组 确定的隐函数问题，其中 x为自变量，y 与 t 为因变量(两个方程确定两个因变量)，然后求出24.若可微函数 z=f(x，y)在极坐标系下只是 的函数，求证：x
24、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=f(rcos，rsin)与 r 无关 =0 )解析：25.作自变量与因变量变换：u=x+y，v=xy，w=xyz，变换方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 z=xy 一 w，则 )解析：26.设 u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)=0，其中 F 有连续的偏导数且（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 F(u，v)=0 分别对 x，y 求偏导数，由复合函数求导法得 按题设，这个齐次方程有非零解 ，其系数行列式必为零，即 )解析：27.设 z=z(x，y)满足 0，由 z=z(x
25、，y)可解出 y=y(z，x)求：() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()以 z，x 为自变量，y 为因变量 y=y(z，x)，它满足 z=z(x，y(z，x) 将z=z(x，y)对 x 求偏导数，得 0= 再对 x 求偏导数，得 将 代入上式，得 ()因y=y(z，x)， )解析：28.设 f(x，y)=2(yx 2 ) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()解 即驻点为(0，0)与(一 2，8) ()A= =2 在(一 2，8)处，ACB 2 0，A0 (一 2，8)为极小值点 在(0，0)处， ，ACB 2 =0，该方法失效但令 x=0 f(0，y)=y 2 ，这
26、说明原点邻域中 y 轴上的函数值比原点函数值大，又令 y=x 2 ，f(x，x 2 )= )解析：29.求 z=2x+y 在区域 D：x 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，)=2x+y+(x 2 + 一 1)，解方程组 由，得 y=2x，代入得 x= 相应地 因为 z 在 D 存在最大、最小值 z 在 D 的最大值为 ，最小值为 )解析：解析：因 z=2x+y 在 D 内无驻点 z 在 D 的最值于 D 的边界上达到，故归结为求 z=2x+y 在条件x 2 + 30.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极
27、值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y)的二阶混合偏导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：计算可得 将 x=1 与 y=1 代入并利用 g(1)=2，g(1)=0 即得 )解析：31.设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，f y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)=0 在x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f x (a，b)=0， 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=(
28、x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0按隐函数求导法，(x)满足 f x (x，(x)+f y (x，(x)(x)=0 (*) 因 b=(a)，则有 f(a，b)=0， (a)= =0， 于是 f x (a，b)=0 将(*)式两边对 x 求导得 f xx (x，(x)+f xy (x，(x)(x)+ f y (x，(x)(x)+f y (x，(x)(x)=0， 上式中令 x=a，(a)=b，(a)=0，得 因此当 0 时，(a)0，故 b=(a)是极大值； 当 )解析：32.造一容积为 V 0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积（分数：2.00）_正确答案：(
29、正确答案：设长、宽、高各为 x，y，z，则表面积为 S=xy+2(xz+yz)，容积 V 0 =xyz问题是求三元函数 S 在条件 xyzV 0 =0 下的最小值点 化为无条件最值问题由条件解出 z= =xy+2V 0 (x0，y0) 因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高分别为 )解析：33.已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设三角形的三边长为 a，b，c，并设以 AC 边为旋转轴(见图 81)，AC 上的高为h，则旋转所成立体的体积为 V= h 2 b 又设三角形的面积为 S，于是有 所以 V=
30、(Pa)(Pb)(Pc) 问题化成求 V(a，b，c)在条件 a+b+c 一 2p=0 下的最大值点，等价于求 V 0 (a，b，c)=ln (P 一 a)(p 一 b)(pc)=ln(p 一 a)+ln(p 一 b)+ln(pc)一 lnb 在条件 a+b+c 一 2p=0下的最大值点 用拉格朗日乘子法令 F(a，b，c，)=V 0 (a，b，c)+(a+b+c 一 2p)，求解方程组 比较，得 a=c，再由得 b=2(p 一 a) 比较，得 b(p 一 b)=(p 一 a)p 由，解出 b= 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分
31、别为 )解析：34.证明条件极值点的必要条件(89)式，并说明(89)式的几何意义（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所设条件，(x，y)=0 在 x=x 0 的某邻域确定隐函数 y=y(x)满足 y 0 =y(x 0 )，于是 P 0 (x 0 ，y 0 )是 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点 z=f(x，y(x)在 x=x 0 取极值 又由 (x，y(x)=0，两边求导得 x (x 0 ，y 0 )+ y (x 0 ，y 0 )，y(x 0 )=0，解得 y(x 0 )= x (x 0 ，y 0 ) y (x 0 ，y 0 ) 将式代入式得 f x (x 0 ，y
32、0 )一 f y (x 0 ，y 0 ) x (x 0 ，y 0 ) y (x 0 ，y 0 )=0 因此 )解析：35.求函数 u=xy+yz+zx 在 M 0 (2，1，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出所设方向的方向余弦设所求方向与各坐标轴的夹角为 ，由方向余弦的性质得 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1 均与各坐标轴成等角 )解析：36.求椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 yz1=0 上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与 Oxy 平面垂直（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：椭球面 S 上 点(x，y，z)处的法向量 n=2x，2y 一 z，2zy 点(x，y，z)处切平面Oxy 平面，则 n.k=0，即 2zy=0 又(x，y，z)在 S 上 x 2 +y 2 +z 2 一 yz一 1=0 因此所求点的轨迹： 它是圆柱面 x 2 + )解析：37.过球面 x 2 +y 2 +z 2 =169 上点 M(3，4，12)分别作垂直于 x 轴与 y 轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程（分数：2.00）_
