1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 5 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导3.设 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续B.C.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微D.4.
2、设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值5.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设 z=(x 2 +y 2 ) xy ，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f 二阶可导， （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f 二阶可偏导，z=f(xy，z+y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=3x+4y+6+()，其
3、中 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 z=f(x，y)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz| (c,0) = 1（分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 z=f(t 2 ，e 2t )二阶连续可偏导，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_18.设
4、z=f(e x siny，xy)，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_19.u=f(x 2 ，xy，xy 2 z)，其中 f 连续可偏导，求 （分数：2.00）_20.设 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，f(1，1)=1，f 1 (1，1)=a，f 2 (1，1)=b，又 u=fx，f(x，x)，求 （分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.设 y=y(x)，z=z(x)由 确定，求 （分数：2.00）_23.设 z=z(x，y)是由 所确定的二元函数，其中 F 连续可偏导，求 （分数：2.00）_24.求二元函数 f(x，Y)=x 3 一 3x 2 一 9x+
5、y 2 一 2y+2 的极值（分数：2.00）_已知 z=f(x，y)满足：dz=2xdx 一 4ydy 且 f(0，0)=5（分数：4.00）(1).求 f(x，y)（分数：2.00）_(2).求 f(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2 +4y 2 4上的最小值和最大值（分数：2.00）_25.设 u=x yz ，求 du（分数：2.00）_26.设 z=yf(x 2 一 y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：2.00）_27.设 u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_28.设 z=fxg(y)，xy，其中 f 二阶连续可偏导，g
6、二阶可导，求 （分数：2.00）_29.设 z=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求 （分数：2.00）_30.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）_31.设 （分数：2.00）_32.讨论 （分数：2.00）_33.设 （分数：2.00）_34.设 z=f(esint，tant)，求 （分数：2.00）_35.设 （分数：2.00）_考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 5 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：
7、2.设 （分数：2.00）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导 C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导解析：解析：因为 不存在，所以 f(x，y)在(0，0)处对 x 不可偏导； 因为 3.设 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续B.C.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微D. 解析：解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对； 函数 在(0，0)处可偏导，但 不存在，(B)不对；f(x，y)在(x
8、 0 ，y 0 )处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，选(D)，事实上 由 存在得 4.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值解析：解析：因为 根据极限保号性，存在 0，当 时，有 而 x 2 +1 一 xsiny0， 所以当 5.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值解析：解析：因为 所以由极限的保号性，存在 0，当 时， 因为当 时，|x|+y 2 0，所以当 二、填空题(总题数：10，分数：20
9、.00)6.设 z=(x 2 +y 2 ) xy ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z=e xyln(x2+y2) 则 ）解析：7.设 f 二阶可导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：8.设 f 二阶可偏导，z=f(xy，z+y 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：9.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=3x+4y+6+()，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 f(x，y)连续，所以 f(1，0)=9， 由 f(x，y)=3x+4y+6+()得 ）解析：1
10、0.设 z=f(x，y)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 由 f x (x，0)=2x 得 (x)=2x，即 再由 得 由 f(0，y)=sin2y 得 h(y)=sin2y，故 ）解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：13.由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz| (c,0) = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=e，y=0 时，z=1 x=ze y+z 两边关于 x 求偏导得 将 x=
11、e，y=0，z=1 代入得 x=ze y+z 两边关于 y 求偏导得 将 x=e，y=0，z=1 代入得 故 ）解析：14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 则 ）解析：15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 z=f(t 2 ，e 2t )二阶连续可偏导，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 z=f(e x siny，xy)，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.0
12、0）_正确答案：(正确答案： )解析：19.u=f(x 2 ，xy，xy 2 z)，其中 f 连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，f(1，1)=1，f 1 (1，1)=a，f 2 (1，1)=b，又 u=fx，f(x，x)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =f 1 x，f(x，x)+f 2 x，f(x，x)f 1 (x，x)+f 2 (x，x)得 )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 y=y(x)，z=z(x)由 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正
13、确答案： 两边对 x 求导得 解得 )解析：23.设 z=z(x，y)是由 所确定的二元函数，其中 F 连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边对 x 求偏导得 解得 两边对 y 求偏导得 )解析：24.求二元函数 f(x，Y)=x 3 一 3x 2 一 9x+y 2 一 2y+2 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 )解析：已知 z=f(x，y)满足：dz=2xdx 一 4ydy 且 f(0，0)=5（分数：4.00）(1).求 f(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 dz=2xdx 一 4ydy 得 dz=d(x 2 一 2y
14、2 )， 从而 f(x，y)=x 2 一 2y 2 +C，再由f(0，0)=5 得f(x，y)=x 2 一 2y 2 +5)解析：(2).求 f(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2 +4y 2 4上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x 2 +4y 2 得 当 x 2 +4y 2 =4 时，令 )解析：25.设 u=x yz ，求 du（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 u=e yzlnx 得 )解析：26.设 z=yf(x 2 一 y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 u=f(x+y，x 2
15、 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 z=fxg(y)，xy，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 z=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 令 F=xyzxy 一 z， 方法二 xyz=x+y+z 两边对 x 求偏导得解得 故 )解析：30.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但 不存在，所以 f(x
16、，y)在点(0，0)处对 x 不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导 设 因为 所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且 f x (0，0)=f y (0，0)=0 因为 所以 )解析：31.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 不存在，故函数 f(x，y)在点(0，0)处不连续 因为 )解析：32.讨论 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 即函数 f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 所以 f x (0，0)=0，根据对称性得 f y (0，0)=0，即函数 f(x，y)在(0，0)处可偏导 因为 )解析：33.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 所以 )解析：34.设 z=f(esint，tant)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
