1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 极限 ( )（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在，但不等于 也不等于 02 设 u=arcsin ( )3 极限 ( )（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在且不等于 0 及4 设 u=f(r)，而 r= ，f(r)具有二阶连续导数，则 =( )5 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x0，
2、y 0)处的两个偏导数存在若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 ( )6 设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x ，u 1(x，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则 u11(x，2x)= ( )7 利用变量代换 u=x，v= ，可将方程 化成新方程 ( )8 若函数 u= ，其中 f 是可微函数，且 =G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( )（A）x+y（B） xy（C） x2y 2（D）(x+y) 29 已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy，则 ( )（A）a=2 ，b=2（B） a=3，b=2（C
3、） a=2，b=2（D）a= 2， b=210 设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且则 u(x，y)的 ( )（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上11 设函数 z=(1+ey)cosxye y，则函数 z=f(x，y) ( )（A）无极值点（B）有有限个极值点（C）有无穷多个极大值点（D）有无穷多个极小值点二、填空题12 设 f 可微，则由方程 f(cxaz，cybz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足a
4、zx+bzx=_13 设函数 z=z(x，y)由方程 sinx+2yz=e z 所确定，则 =_14 函数 f(x， y，z)=2x 2 在条件 x2y 22z 2=2 下的极大值是_15 函数 的定义域为_16 设 z=esinxy，则 dz=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求 f(x，y)=z+xyx 2y 2 在闭区域 D=(x，y)0x1，0y2)上的最大值和最小值18 设 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围19 设 f(x，y)具有二阶连续偏导数证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数y=(x)在 x
5、=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是 f(a，b)=0，f x(a，b)=0，f y(a，b)0且当 r(a，b)0 时，b=(a) 是极大值；当 r(a， b)0 时，b=(a)是极小值，其中20 求函数 z=x2+y2+2x+y 在区域 D：x 2+y21 上的最大值与最小值21 求内接于椭球面 的长方体的最大体积22 在第一象限的椭圆 +y2=1 上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大23 厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2，销售量分别为q1 和 q2，需求函数分别为 q1=2402p 1 和 q2=10005p 2，总成本函数为C=35+40(q1+
6、q2) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?24 在球面 x2+y2+z2=5R2(x0,y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz 的最大值，并利用所得结果证明不等式 (a0，b0,c 0)25 设 讨论它们在点(0，0)处的 偏导数的存在性： 函数的连续性；方向导数的存在性；函数的可微性26 设 A，B，C 为常数， B2AC 0，A0u(x ，y)具有二阶连续偏导数试证明：必存在非奇异线性变换 =1x+y，= 2x+y(1， 2 为常数)，将方程27 设 f(x，y)在点 0(0，0)的某邻域 U 内连续，且试讨论 f(0，
7、0)是否为 f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?28 求函数 f(x，y)=x 2+2y2x 2y2 在区域 D=(x，y) x2+y24，y0)上的最大值与最小值29 设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f xy(0，0)，h(1)=f yx(0，0)，且满足求 u 的表达式，其中30 证明：f(x，y)=Ax 2+2Bxy+Cy2 在约束条件 g(x，y)=1 =0 下有最大值和最小值，且它们是方程 k2(Aa 2+Cb2)k+(ACB 2)a2b2=0 的根31 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 P1 和 P2，销售量分别为 q1 和 q2需求函
8、数分别为：q 1=2ap 1+bp2，q 2=1cp 2+dp1总成本函数C=3+k(q1+q2)其中 a，b，c，d，k 都为大于 0 的常数，且 4ac(b+d)2试问厂家如何确定两个市场的售价，能够使获得的总利润最大32 设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量如果生产函数为 Q=2x1x2，其中 ， 为正常数，且 +=1假设两种要素价格分别为 p1，p 2试问产出量为 12 时，两要素各投入多少，可以使得投入总费用最小?33 设生产函数和成本函数分别为 当成本预算为 S 时，两种要素投入量 x 和 y 为多少时，产量 Q 最大，并求最大产量考
9、研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当取 y=kx 时， 与 k 有关，故极限不存在【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 将 x 视为常数，属基本计算【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 取 y=x，则 =0；取 y=x2，则 ，故原极限不存在【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 属基本计算，考研计算中常考这个表达式【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查图 14-1 中因果关系的认知
10、：【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u1+2u2=1，两边再对 x 求导得u11+2u12+2u21+4u22=0， 等式 u1(x，2x)=x 2 两边对 x 求导得u11+2u12=2x， 将式及 u12=u21，u 11=u22 代入式中得 u11(x，2x)=x【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 由复合函数微分法 ，于是【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 设 t= ，则 u=xyf(t)，【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 由 du(x
11、，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy 可知，=axy3+cos(x+2y)， =3x2y2+bcos(x+2y)， 以上两式分别对 y，x 求偏导得=3axy22sin(x+2y)， =6xy2bsin(x+2y)，由于 连续，所以，即 3axy22sin(x+2y)=6xy 2bsin(x+2y) ，故得 a=2，b=2【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 令 ，由于 B2AC0，函数 u(x，y)不存在无条件极值，所以，D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在 D 的内部出现但是 u(x，y)连续，所以，在平面有界闭
12、区域 D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 C【试题解析】 本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆由得驻点为(k，cosk1)，k=0，1，2，又 zxx(1+e y)cosx，z xy=e ysinx，z yy=ey(cosx2y)当 k=0，2，4，时，驻点为(k，0) ，从而 A=zxx(k，0)=2，B=z xy(k，0)=0，C=z yy(k，0)=1，于是 B
13、2AC=20，而 A=20，即驻点(k ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值；当 k=1，3，时，驻点为 (k，2)，此时A=zxx(k，2)=1+e 2 ，B=z xy(k，2)=0，C=z yy(k，2)= e 2 ，于是B2AC=(1+e 2 )e2 0，即驻点(k ，2)为非极值点；综上所述，选(C)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题12 【正确答案】 c【试题解析】 本题考查多元微分法，是一道基础计算题方程两边求全微分，得f1(cdxadz)+f 2(cdybdz)=0，即 dz= ，故 azx+bzy=c【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 方程
14、两端对 x 求偏导数 cosx+0 移项并解出 即得【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 4【试题解析】 由拉格朗日乘数法即得【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 z，且 z0【试题解析】 由1 1即得【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 e sinxycosxy(ydx+xdy)【试题解析】 z x=esinxycosxy.y，z y=esinxycosxy.x，则 dz=e sinxycosxy(ydx+xdy)【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+
15、xyx 2y 2 在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最小值首先求 f(x，y)=x+xyx 2y 2 在闭区域 D 内部的极值：解方程组 得区域 D 内部唯一的驻点为 由 g(x，y)=(f xy)2f xxfyy=3 得 f(x，y)=x+xy x 2y 2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件在 x 轴上约束条件为y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xyx 2y 2+y，解方程组得可能的极值点 ，其函数值为 在下面边界的端点(0 ，0) ，(1，0)处 f(0，0)=0
16、，f(1 ，0)=0，所以，下面边界的最大值为 ，最小值为 0同理可求出：在上面边界上的最大值为2，最小值为4；在左面边界上的最大值为 0，最小值为4；在右面边界上的最大值为 ，最小值为2比较以上各值，可知函数 f(x，y)=x+xy x 2y 2 在闭区域 D 上的最大值为 ，最小值为4【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 由 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2，可得 f x(x，y)=2kx+2ky，f xx(x，y)=2k， fy(x，y)=2kx+2y ，f yy(x，y)=2， f xy(x，y)=2k， 于是， 若=B2AC=4k 24k0 且 A=2k0，故 0k1
17、； 若=B 2AC=4k 24k=0，则k=0 或 k=1， 当 k=0 时，f(x，y)=y 2，由于 f(x，0)0，于是点(0，0)非极小值点 当 k=1 时，f(x，y)=(x+y) 2，由于 f(x，x)0，于是点(0，0)也非极小值点 综上所述，k 的取值范围为(0，1)【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 本题是一道新颖的计算性证明题，考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算，计算量大，难度不小y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是(a)=0而 (x)= (fy(x，y)0)设 b=(a)，则 f(a，b)=0， =0于是 fx(a，b)=0 ，f y(a，b)0又
18、当 0 时，(a)0，故 b=(a)是极大值；当 0 时，(a) 0，故 b=(a)是极小值【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 由于 x2+y21 是有界闭区域，z=x 2+y2+2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值解方程组 由于(1) 2+ 1，即( 1， )不在区域 D 内，舍去函数在区域内部无偏导数不存在的点再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y 满足约束条件 x2+y2=1 的条件极值点此时， z=1+2x+y用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2+y21)，解方程组所有三类最值怀疑点仅有两个，
19、由于 ，所以最小值 m=1 ，最大值 M=1+【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 设该内接长方体体积为 v，p(x，y，z)(x0，y0，z 0) 是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x0，y0，z0 且满足条件 =1因此，需要求出 v=8xyz在约束条件 =1 下的极值设 L(x，y，z ，)=8xyz+( 1)，求出 L 的所有偏导数，并令它们都等于 0，有， ，分别乘以 x，y，z，有 得 ，于是 或 =0(=0 时，8xyz=0，不合题意，舍去)把 代入，有 1=0，解得 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存
20、在最大值，因而以点 为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为 v=【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 设 g(x，y)= +y21，则有 椭圆上任意一点(x ，y) 处的法线方程为 原点到该法线的距离为 d= 记 f(x，y)= ，x0，y0，约束条件为 g(x，y)= +y21，构造拉格朗日函数 h(x，y，)=f(x，y)+g(x，y)根据条件极值的求解方法，先求令=0，得联立方程组：代入式得到： 根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 总收入函数为 R=p1q1+p2
21、q2=24p102p 12+10p2005p 22总利润函数为 L=RC=32p 102p 12005p 221395+12p 2由极值的必要条件，得方程组 解此方程组得 p1=80，p 2=120由问题的实际含义可知，当 p1=80，p 2=120 时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为=605【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 作拉格朗日函数 L(x，y，z ，)=lnx+lny+31nz+(x 2+y2+z25R 2)，并令 由前 3 式得 x2=y2= ，代入第 4 式得可疑点(R，R ， R)，因 xyz3 在有界闭集 x2+y2+z2=5R2(x0，y0，x0)上必
22、有最大值，且最大值必在 x0，y0，z0 取得，故 f=lnxyz3 在 x2+y2+z2=5R2 也有最大值，而(R，R ， R)唯一，故最大值为 f(R，R， R)=ln(3 R5)，又 lnx+1ny+31nxln(3R5)，xyz 33 R5，故 x2y2z627R10令 x2=a，y 2=b，z 2=c，又知 x2+y2+z2=5R2，则 abc327( )5(a0，b0，c0) 【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 (1) 按定义易知 fx(0，0)=0 ，f y(0，0)=0 f(x,y) 0=0(当 x，y)(0，0) ，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续l 0=
23、(cos，sin)，cos2sin2=cos2sin2(存在)f=f(0+x，0+y)f(0，0)= ，按可微定义，若可微，则即应有 但上式并不成立(例如取y=kx，上式左边为)，故不可微(2)以下直接证明 成立，由此可推知， ，均成立事实上，按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0) 处可微【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 代入所给方程，将该方程化为(A 12+2B1+C) +212)A+(1+2)B+C+(A22+2B2+C) =0由于 B2AC0，A0 ，所以代数方程 A2+2B+C=0有两个不相等的实根 1 与 2取此 1 与 2，此时 12A+(1+2)B+C=(ACB
24、 2)0，代入变换后的方程，成为 =0变换的系数行列式 1 20【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 由再令a= +b，b0，于是上式可改写为 f(x，y)=xy+( +b+)(x2+y2)= (x+y)2+(b+)(x2+y2)由 f(x，y)的连续性，有 f(0，0)= f(x，y)=0另一方面，由=0 知，存在点 (0，0) 的去心邻域 U(0)，当 (x，y) U(0)时，有 ，故在 U(0)内，f(x，y)0所以 f(0，0)是 f(x，y) 的极小值【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 先求 f(x，y)在 D 的内部的驻点由 fx(x，y)=2x2xy 2=0
25、，f y(x，y)=4y2x 2y=0，解得 x=0 或 y=1；x= 或 y=0经配对之后，位于区域 D 内部的点为 M1( ，1)，M 2( ，1)经计算，f( ，1)=2，f(，1)=2再考虑 D 的边界上的 f(x，y)在 y=0 上，f(x，0)=x 2，最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0又在 x2+y2=4 上， =x2+2(4x 2)x 2(4x 2)=x45x 2+8 g(x)(2x2)令 g(x)=4x 310x=0，得 x=0 或 x= 有 g(0)=8， ，比较以上所获得的那些函数值的大小，有 f(x，y)=f(0， 2)=8， f(x， y)=f(0 ，
26、0)=0 【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 u x=yzh(xyz)，u xy=zh(xyz)+xyz2h(xyz)，u xyz=h(xyz)+xyzh(xyz)+2xyzh(xyz)+x2y2z2h(xyz)，故 3xyzh(xyz)+h(xyz)=0，令 xyz=t，得 3th(t)+h(t)=0设 v=h(t)，得 3tv+v=0，分离变量，得 v= ，从而 h(t)=C1 +C2又 f(x，0)=0，则易知 fx(00)=0 ，当(x，y)(0，0)时，于是 fx(0，y)=y，所以 fxy(0，0)=1，由对称性知 fyx(0，0)=1，所以 h(1)=1,h(1)=1
27、 ，从而 C1= ，C 2= 这样 h(t)=，从而 u=【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 因为 f(x，y)在全平面连续，1 =0 为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)分别为最大值点和最小值点，令 L(x，y， )=Ax2+2Bxy+Cy2+(1 )，则(x 1，y 1)，(x 2，y 2)应满足方程 记相应乘子为 1， 2，则(x 1，y 1， 1)满足(A )x1+By1=0，Bx 1+(c )y1=0，解得1=Ax12+2Bx1y1+Cy12同理 2=Ax22+2Bx2y2+Cy22即 1， 2 是 f(x，
28、y)在椭圆=1 上的最大值和最小值又方程组 和 有非零解，系数行列式为 0，即B 2=0化简得 2(Aa 2+Cb2)+(ACB 2)a2b2=0，所以 1， 2 是上述方程(即题目所给方程)的根【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 收益函数 R=p1q1+p2q2=2p1ap 12+P2cp 22+(b+d)p1p2利润函数L=R C=R3+k(q 1+q2)=2p1ap 12+p2cp 22+(b+d)p1p23k(3ap 1+bp2cp 2+dp1)此时(由实际情况)获得的利润最大【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 费用 c=p1x1+p2x2，条件：12=2x 1x2构造拉格朗日函数：F(x1，x 2，)=(p 1x1+p2x2)+(122x 1x2)于是，有【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 令 F(x，y，)=ln(lx y)+(Saxby)=lnl+alnx+lny+(Sax by)，则 此时产量Q 最大【知识模块】 多元函数微分学
