1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)=fx-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)=0，则f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，但偏导数不存在（B）不连续，但偏导数存在（C）可微（D）不可微2 在下列二元函数中，f xy(0，0)f yx(0，0)的二元函数是（A）f(x，y)=x 2+2x2y2+y10（B） f(x，y)=ln(1+x 2+y2)+cosxy（C）（D）3 设 u(x，y) 在 M0 取极大值，并 ，则二、填空题4 设 z=0x2yf(t，e t
2、)dt，其中 f 是二元连续函数，则 dz=_5 设 z=z(x，y)满足方程 2z-ez+2xy=3 且 z(1，2)=0，则 dz (1,2)=_6 设 x=yf(x2-y2)，其中 f(u)可微，则 =_.7 设 f(x，y)有连续偏导数，满足 f(1，2)=1 ，f x(1，2)=2 ，f y(1，2)=3 ，(x)=f(x， 2f(x，2f(x，2x)，则 (1)=_8 设 z=x(y，z) ，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是方程 F(x，y，z)=0 所确定的隐函数，并且 F(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9
3、设 z=f(x，y)满足 =2x，f(x ，1)=0 ， =sinx，求 f(x，y)10 设11 设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+yxp(t)dt 确定，求 ，其中 (u)112 设函数 u(x，y) 有连续二阶偏导数，满足 ，又满足下列条件：u(x，2x)=x ， ux(x，2x)=x(即 ux(x，y) y=2x=x2)，求 uxx(x，2x)，u xy(x，2x)，uyy(x，2x)13 设14 已知函数 f(x，y，z)=x 3y2z 及方程 x+y+z-3+e -3=e-(x+y+z) (*)()如果 x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=1 ，又
4、a=f(x(y， z)，y，z)，求 ()如果 z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又 w=f(x，y，z(x ，y)，求15 设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u5-5xy+5u=1 确定求16 设 y=f(x， t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求17 若可微函数 z=f(x，y)在极坐标系下只是 0 的函数，证明：18 作自变量与因变量变换：u=x+y，v=x-y ，w=xy-z，变换方程为 w 关于 u，v 的偏微分方程，其中 z 对 x，y 有连续的二阶偏导数19 设 u=u(x，
5、y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件： F(u，v)=0，其中 F有连续的偏导数且20 设 z=f(x，y)满足 ，由z=f(x，y)可解出 y=y(z，x)求：() ；()y=y(z，x)21 设 f(x，y)=2(y-x 2)2- x2-y2，()求 f(x，y)的驻点；()求 f(x，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点22 求 z=2x+y 在区域 D： x2+ 1 上的最大值与最小值23 设函数 z=(1+ey)cosx-yey，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点24 设函数 f(y，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在
6、 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y) 的二阶混合偏导数 在点(1，1)处的值25 设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 fy(a，b)0，证明由方程f(x，y)=0 在 x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f x(a，b)=0 ，且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值其中26 建一容积为 V0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积27 已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求
7、使立体体积最大的那个三角形28 设 f(x，y)，(x，y) 在点 P0(x0，y 0)的某邻域有连续的一阶偏导数且 y(x0，y 0)0若 P0(x0，y 0)是二元函数 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点，则证明条件极值点的必要条件，并说明几何意义考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 直接按可微性定义f(x，y)在(x 0，y 0)可微，即 f(x，y)在(x 0，y 0)满足 f(x0+x，y 0+y)-f(x0， y0)=Ax+By+o(p) ，其中A，B 是
8、与x， y 无关的常数易知 A= 特别是，若有 f(x0+x，y 0+y)-f(x0， y0)=o(p)，则 f(x，y)在(x 0，y 0)可微这里，由于(x，y)=(0，0)=0，即 f(x，y)=o()(0) ，故 f(x，y)在点(0，0)处可微，选(C)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 对于(A) ，(B) ：f(x ，y)均是二元初等函数， 均连续，所以因而(C) ，(D)中必有一个是 fxy(0，0)=f yx(0，0)，而另一个是fxy(0，0)f yz(0，0) 现考察 (C)当(x，y)(0，0)时，当(x，y)=(0，0)时， f(x，0) x
9、=0=0 fxy(0，0)= fx(0，y) y=0= (=y) y=0=-1当(x，y)(0 ，0)时，当(x，y)=(0，0)时， 因此，fxy(0，0)f yz(0，0) 选(C) 【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论令 f(x)=u(x，y 0) x=x0是 f(x)的极大值点 (若0，则x=x0 是 f(x)的极小值点，于是得矛盾) 同理，令 g(y)=u(x0，y) y=y0 是 g(y)的极大值点 g(y0)= u(x0，y) y=y0= 0因此，选(
10、C)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 f(x 2y，e x2y)(2xydx+x2dy)【试题解析】 dz=f(x 2y，e x2yy)d(x2y)=f(x2y，e x2y)(2xydx+x2dy)【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 -4dx-2dy【试题解析】 方程两边求全微分得 2dz-ezdz+2ydx+2xdy=0 令 x=1，y=2，z=0得 dz (1,2)=-4dx-2dy【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 =yf(x2-y2).2x=2xyf(x2-y2)， =xf(x2-y2)(-2y)+f(x2-y2)=-2y2f(x
11、2-y2)+f(x2-y2)，【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 302【试题解析】 (x)=f(x ，u(x)，u(x)=2f(x ，v(x)，v(x)=2f(x，2x)，v(1)=2 (1，2)=2， u(1)=2f(1，v(1)=2f(1 ，2)=2，(1)=f 1(1，2)+f 2(1，2)u(1)=2+3u(1)，u(1)=2f1(1，2)+f 2(1，2)v(1)=22+3v(1) ，v(1)=2f 1(1，2)+2f 2(1，2)=2(2+2.3)=16往回代 u(1)=2(2+3.16)=100，(1)=2+3100=302【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】
12、 -1【试题解析】 由隐函数求导法知(如，由 F(x，y，z)=0 确定 x=x(y，z)，将方程对 y 求偏导数得 其余类似)将这三式相乘得【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 =2xy+(x)，(x)为 x 的任意函数 f(x，y)=xy2+(x)y+(x)，(x)也是 x 的任意函数由 =sinx，得2xy+(x) y=0=sinx，则 (x)=sinx由 f(x，1)=0，得xy 2+(x)y+(x) y=1=x+sinx+(x)=0，则 (x)=-x-sinx因此，f(x，y)=xy 2+ysinx-x-sinx【知识模块】
13、多元函数微分学10 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 将方程对 x 求导 对 y 求导得分别乘 P(y)，P(x)后相加得由于【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 将 u(x，2x)=x 两边对 x 求导，由复合函数求导法及 ux(x，2x)=x 2得 ux(x，2x)+2u y(x，2x)=1，u y(x，2x)= (1-x2)现将 ux(x，2x)=x 2，u y(x，2x)=(1-x2)分别对 x 求导得 ux(x，2x)+2u xy(x，2x)=2x， u yx(x，2x)+2u yy(x，2x)=-x 式2-式，利用条件 uxx(x，2x)-u
14、yy(x，2x)=0 及 uxy(x，2x)=uyx(x，2x)得 3uxy(x，2x)=5x，u xy(x，2x)= 代入式得 uxx(x，2x)=uyy(x，2x)=【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 u 是 u=f(s，t)与 复合而成的 x，y，z 的三元函数先求 du由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得进一步由f2，得【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 () 依题意， 为 fx(y，z)，y，z对 y 的偏导数，故有=3x2y2z +2x3yz 因为题设方程(*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 x 看成常量，从而
15、有由此可得 =-1代入式，得 =-3x2y2z+2x3yz， =-3+2=-1()同()一样，求得在题设方程(*)中将 x 看成常量，对 y 求导，可得 =-1，故有 =2x3yz-x3y2， =2-1=1【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 x 是 x，y，u 的函数，而 u 是由方程 u5-5xy+5u=1 所确定的 x，y的隐函数，所以本题是隐函数的复合函数求偏导数的问题将方程 u5-5xy+5M=1两端对 x 求导数，得 5u4ux-5y+5ux=0，解得 ux= ，故zx=f1+f3ux=f1+ f3在上式对 x 求导数时，应注意其中的 f1，f 3 仍是x，y，u 的函数
16、，而 u 又是 x，y 的函数，于是【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 由 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得而 t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则 将 的表达式代入式即得【试题解析】 由本题要求的 知，y 应该是 x 的一元函数，分析清楚这一点是解答本题的关键由题设知 F(x，y，t)=0 确定了 t=t(x，y)，将 t=t(x，y)代入y=f(x，t) 得 y=f(x，t(x，y)，这是关于 x 和 y 的方程，它可确定 y 是 x 的一元函数另一种方法是利用一阶全微分形式不变性求解上面两种解法都是由方程式确定的隐函数的求导问题另一种思路是，看作由方
17、程组 确定的隐函数问题，其中 x 为自变量，y 与 t 为因变量(两个方程确定两个因变量)，然后求出 .【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 由 z=f(rcos，rsin)与 r 无关 =0【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 由于 z=xy-w，则【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 将方程 F(u，v)=0 分别对 x，y 求偏导数，由复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解 ，其系数行列式必为零，即【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 () 以 z，x 为自变量，y 为因变量 y=y(z，x)，它满足z=f(x，y(z ， x)将 z=f(x
18、，y)对 x 求偏导数，得 再对 x 求偏导数，得 将 代入上式，得 利用条件得 ()因 y=y(z，x)，=x(z)+(z)【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 () 解即驻点为(0，0)与(-2，8)( )A= =-8y+24x2-6x5B= =2在(-2，8)处， ，AC-B 20，A0 (-2，8)为极小值点在(0，0)处， ，AC-B 2=0，该方法失效但令 x=0 f(0，y)=y 2，这说明原点邻域中 y 轴上的函数值比原点函数值大，又令 y=x2，f(x，x 2)= x7-x4=-x4(1+ x3)，这说明原点邻域中抛物线 y=x2 上的函数值比原点函数值小，所以(0
19、，0)不是极值点【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 因 z=2x+y 在 D 内无驻点 z 在 D 的最值于 D 的边界上达到，故归结为求 z=2x+y 在条件 x2+ -1=0 下的最大值与最小值令 F(x，y，)=2x+y+(x2+ -1)，解方程组由，得 y=2x，代入得 相应地因为 z 在 D 存在最大、最小值 z在 D 的最大值为 ，最小值为【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 () 先计算()求出所有的驻点由 解得(x，y)=(2n，0) 或(x，y)=(2n+1)，-2) ， 其中 n=0，1，2，() 判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点在(2
20、n，0)处，由于 =(-2)(-1)-0=20 ， =-20则(2n，0) 是极大值点在(2n+1)，-2)处，由于=(1+e-2)(-e-2)= 0，则(2n+1)，-2)不是极值点因此函数 z 有无穷多极大值点(2n ，0)(n=0 ，1，2，)，而无极小值点【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 计算可得 =g(y)f1(xg(y)，x+y)+f 2(xg(y)，x+y) ， =g(y)f1(xg(y)，x+y)+g(y)f 11(xg(y)，x+y).xg(y)+f 12(xg(y)，x+y)+f 21(xg(y)，x+y).xg(y)+f22(xg(y)， x+y)将 x=1
21、 与 y=1 代入并利用 g(1)=2，g(1)=0 即得 =g(1)f1(2，2)+g(1)f 11(2，2)g(1)+f 12(2，2)+f 21(2，2)g(1)+f 22(2，2)=2f 12(2，2)+f22(2，2)【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 y=(x) 在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0按隐函数求导法，(x)满足 fx(x，(x)+f y(x，(x)(x)=0 (*)因 b=(a)，则有 f(a，b)=0，(a)=0，于是 fx(a，b)=0将(*)式两边对 x 求导得 fxx(x，(x)+f xy(x，(x)(x)+ fy(x，(x)(x)+f
22、y(x，(x)(x)=0，上式中令 x=a，(a)=b，(a)=0，得 (a)= 因此当 时，(a)0，故 b=(a)是极大值；当时，(a)0，故 b=(a)是极小值【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 设长、宽、高各为 x，y，z，则表面积为 S=xy+2(xz+yz)，容积V0=xyz问题是求三元函数 S 在条件 xyz-V0=0 下的最小值点化为无条件最值问题由条件解出 z= ，代入 S 表达式得因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高分别为 时无盖长方体水池的表面积最小【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 设三角形的三边长为 a，b，c ，并设以 AC 边为旋转轴(
23、见图 81)，AC 上的高为 h，则旋转所成立体的体积为 V= h2b又设三角形的面积为 S，于是有 所以 V= (p-a)(p-b)(p-c)问题化成求 V(a，b，c)在条件 a+b+c-2p=0 下的最大值点，等价于求 V0(a，b，c)=ln (p-z)(p-b)(p-c)=ln(p-a)+ln(p-b)+ln(p-c)-lnb 在条件 a+b+c-2p=0 下的最大值点用拉格朗日乘子法令 F(a，b，c ， )=V0(a，b，c)+(a+b+c-2p)，求解方程组比较，得 a=c，再由得 b=2(p-a) 比较， 得 b(p-b)=(p-a)p 由，解出 由实际问题知，最大体积一定存
24、在，而以上解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分别为 时，绕边长为 的边旋转时，所得立体体积最大【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 由所设条件，(x，y)=0 在 x=x0 的某邻域确定隐函数 y=y(x)满足y0=y(x0)，于是 P0(x0，y 0)是 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点 z=f(x，y(x)在 x=x0 取极值 fx(x0，y 0)+fy(x0，y 0)y(x0)=0 又由(x，y(x)=0，两边求导得 x(x0，y 0)+y(x0，y 0)y(x0)=0，解得 y(x0)=-x(x0，y 0) y(x0，y 0) 将 式代入式得 fx(x0，y 0)-fy(x0，y 0)x(x0，y 0) y(x0，y 0)=0因此在 Oxy 平面上看，(x，y)=0 是一条曲线，它在 P0(x0，y 0)的法向量是( x(P0)，y(P0)，而 f(x，y)=f(x 0，y 0)是一条等高线，它在 P0 的法向量是(f x(P0)，f y(P0)，(79)式表示这两个法向量平行，于是曲线 (x，y)=0 与等高线 f(x，y)=f(P 0)在点P0 处相切【知识模块】 多元函数微分学
