1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 21 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在3.下列函数在(0，0)处不连续的是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.可微B.偏导数存在，但不可微C.连续，但偏导数不存在D.偏导数存在，但不连续5.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.偏
2、导数存在且连续B.偏导数不存在，但连续C.偏导数存在，可微D.偏导数存在，但不可微二、解答题(总题数：26，分数：52.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_7.求下列极限： （分数：2.00）_8.证明极限 （分数：2.00）_9.()设 f(x，y)=x 2 +(y-1)arcsin ()设 （分数：2.00）_10.求下列函数在指定点处的二阶偏导数： （分数：2.00）_11.设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：2.00）_12.设 z=f(u，v)，u=(x，
3、y)，v=(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数 z=f(x，y)，(x，y)的一阶与二阶偏导数（分数：2.00）_13.设 u=f(x，y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组 确定 z，t 为 y 的函数，求（分数：2.00）_14.设 u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换 x=rcos，y=rsin 下有 （分数：2.00）_15.设 z=f(x，y)在区域 D 有连续偏导数，D 内任意两点的连线均属于 D求证：对 A(x 0 ，y 0 )，B(x 0 +x，y 0 +y)D， (0，1)，使得 f(x 0 +x，y 0 +y)-f(x 0 ，y 0 ) （
4、分数：2.00）_16.设 z(x，y)=x 3 +y 3 -3xy ()-x+，-y+，求 z(x，y)的驻点与极值点 ()D=(x，y)0x2，-2y2，求证：D 内的唯一极值点不是 z(x，y)在 D 上的最值点（分数：2.00）_17.求函数 z=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值（分数：2.00）_18.已知平面曲线 Ax 2 +2Bxy+Cy 2 =1(C0，AC-B 2 0)为中心在原点的椭圆，求它的面积（分数：2.00）_19.设 z(x，y)满足 （分数：2.00）_20.设 f(x，y)= （分数：2.00）_
5、21.设 z=(x 2 +y 2 ) （分数：2.00）_22.设 z= f(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设 z=z(x，y)是由方程 xy+x+y-z=e z 所确定的二元函数，求 （分数：2.00）_25.设由方程 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 (*) 确定隐函数 z=z(z，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a，b，c 为非零常数，且 b-a 2 0，求 （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设 z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足 （分数：2.00）_28.在半径为
6、 R 的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者（分数：2.00）_29.在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆 z=x 2 +y 2 ，x+y+z=1 上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?（分数：2.00）_30.设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 z=f(e x2-y2 )满足方程 （分数：2.00）_31.若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)=t n f(x，y)， (712) 称 f(x，y)为 n 次齐次函数设 f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为 n 次齐次函数 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷
7、 21 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在解析：解析：这是讨论 f(x，y)在点(0，0)处是否连续，是否可偏导先讨论 f(x，y)在点(0，0)处是否可偏导由于 f(x，0)=0( (-，+)，则 =0因此(B)，(D)被排除 再考察 f(x，y)在点(0，0)处的连续性令 y=x 3 ，则 3.下列函数在(0，0)处
8、不连续的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：直接证(C)中 f(x，y)在(0，0)不连续当(x，y)沿直线 y=x 趋于(0，0)时4.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.可微B.偏导数存在，但不可微 C.连续，但偏导数不存在D.偏导数存在，但不连续解析：解析：设z=f(x，y)-f(0，0)，则可知 这表明 f(x，y)= 在点(0，0)处连续 因f(x，0)=0( )，所以 f x (0，0)= f(x，0) x=0 =0，同理 f y (0，0)=0 令 =z-f x (0，0)x-f y (0，0)y= ，当(x，y)沿 y=x 趋于点(0，0)时 5.设
9、z=f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在，但连续C.偏导数存在，可微 D.偏导数存在，但不可微解析：解析：由偏导数定义可知 这说明 f x (0，0)存在且为 0，同理 f y (0，0)存在且为 0 又 二、解答题(总题数：26，分数：52.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 因此 ()由 x 4 +y 2 2x 2 y 而 )解析：8.证明极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x，y)沿不同的直线 y=kx 趋于(0，0)，有 再令(
10、x，y)沿抛物线 y 2 =x 趋于(0，0)，有 由二者不相等可知极限 )解析：9.()设 f(x，y)=x 2 +(y-1)arcsin ()设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因 f(x，1)= 2 ，故 =2x x=2 =4 又因 f(2，y)=4+(y-1)arcsin ，故 ()按定义 类似可求 )解析：10.求下列函数在指定点处的二阶偏导数： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()按定义 故 () )解析：11.设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：2.00）_正确答案：
11、(正确答案：由复合函数求导法可得 =f 1 +f 2 +f 3 =f 1 +f 3 ， =f 1 )解析：12.设 z=f(u，v)，u=(x，y)，v=(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数 z=f(x，y)，(x，y)的一阶与二阶偏导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已求得 ，下面进一步求 第一步，先对 的表达式用求导的四则运算法则得 第二步，再求 (f 2 )这里 f(u，v)对中间变量 u，v 的导数 f 1 = 仍然是 u，v 的函数，而 u，v 还是 x，y 的函数，它们的复合仍是 x，y 的函数，因而还要用复合函数求导法求 (f 1 )， (f 2 )即 第三步，将它
12、们代入(木)式得 用类似方法可求得 )解析：13.设 u=f(x，y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组 确定 z，t 为 y 的函数，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意 z=z(y)，t=t(y)，于是 因此，我们还要求 ，将方程组两边对y 求导得 记系数行列式为 W=(y-t 2 )(e z +zcost)+2zt(te z +sint)，则 代入得 )解析：14.设 u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换 x=rcos，y=rsin 下有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用复合函数求导公式，有 再对 用复合函数求导法及(*)式可得于是
13、 即 )解析：15.设 z=f(x，y)在区域 D 有连续偏导数，D 内任意两点的连线均属于 D求证：对 A(x 0 ，y 0 )，B(x 0 +x，y 0 +y)D， (0，1)，使得 f(x 0 +x，y 0 +y)-f(x 0 ，y 0 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连接 A，B 两点的线段属于 D： t0，1，在 上 f(x，y)变成 t 的一元函数 (t)=f(x 0 +tx，y 0 +ty)， (t)在0，1可导，由复合函数求导法 现在二元函数的增量看成一元函数 (t)的增量，由一元函数微分中值定理 f(x 0 +x，y 0 +y)-f(x 0 ，y 0 )=(1)
14、-(0)=() )解析：16.设 z(x，y)=x 3 +y 3 -3xy ()-x+，-y+，求 z(x，y)的驻点与极值点 ()D=(x，y)0x2，-2y2，求证：D 内的唯一极值点不是 z(x，y)在 D 上的最值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()解方程组 得全部驻点(0，0)与(1，1)再求 考察 (0，0)处 ，AC-B 2 0 (0，0)不是极值点 (1，1)处 ，AC-B 2 0，A0 (1，1)是极小值点 因此 z(x，y)的驻点是(0，0)，(1，1)，极值点是(1，1)且是极小值点 ()D 内唯一极值点(1，1)是极小值点，z(1，1)=-1 D 的边界点(
15、0，-2)处 z(0，-2)=(-2) 3 =-8z(1，1) 因 z(x，y)在有界闭区域 D 上连续，必存在最小值， 又 z(0，-2)z(1，1)，(0，-2)D z(1，1)不是 z(x，y)在 D 的最小值 )解析：17.求函数 z=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 71 所示，它是有界闭区域z(x，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，它或在 D 内的驻点达到，或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点，先求 =2xy(4-x-y)-x 2 y=
16、xy(8-3x-2y)， =x 2 (4-x-y)-x 2 y=x 2 (4-x-2y) 再解方程组 得 z(x，y)在 D 内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且 z(2，1)=4 在 D 的边界 y=0，0x6 或x=0，0y6 上 z(x，y)=0； 在边界 x+y=6(0x6)上将 y=6-x 代入得 z(x，y)=x 2 (6-x)(-2)=2(x 3 -6x 2 )，0x6令 h(x)=2(x 3 -6x 2 )，则 h(x)=6(x 2 -4x)，h(4)=0，h(0)=0，h(4)=-64，h(6)=0，即 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为 0，最小值为-64
17、 因此， z(x，y)=4， =-64 )解析：18.已知平面曲线 Ax 2 +2Bxy+Cy 2 =1(C0，AC-B 2 0)为中心在原点的椭圆，求它的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为 d 2 =x 2 +y 2 ，条件为 Ax 2 +2Bxy+Cy 2 -1=0 令 F(x，y，)=x 2 +y 2 -(Ax 2 +2Bxy+Cy 2 -1)，解方程组 将式乘 x，式乘 y，然后两式相加得 (1-A)x 2 -Bxy+-Bxy+(1-C)y 2 =0， 即 x 2 +y 2 =(Ax 2 +2Bxy+Cy 2 )=， 于是可得 d= 从直
18、观知道，函数 d 2 的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组 F x =0，F y =0 有非零解，其系数行列式应为零，即 该方程一定有两个根 1 ， 0 ，它们分别对应 d 2 的最大值与最小值因此，椭圆的面积为 )解析：19.设 z(x，y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 y 看作任意给定的常数，将等式两边对 x 求积分得 z(x，y)=-xsiny-ln1-xy+(y)， 其中 (y)为待定函数由式得-siny- ln1-y+(y)=siny，故 (y)=2siny+ ln1-y 因此，z(x，y)=(2-x)siny+ )解析：20.设 f
19、(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当(x，y)(0，0)时， 当(x，y)=(0，0)时，因 f(x，0)=0 ，于是 由对称性得当(x，y)(0，0)时 ()因为 ，考察 f(x，y)在(0，0)是否可微，就是考察下式是否成立 即 =o(p) (p0)，亦即当 p0 时 是否是无穷小量 因为 所以当 p0 时 )解析：21.设 z=(x 2 +y 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得 由出的表达式得 对y 求导得 )解析：22.设 z= f(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.
20、00）_正确答案：(正确答案：先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量，(x+y)是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由题设知 方便，由复合函数求导法则得 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是 u=f(s，t)与 s= 复合而成的 x，y，z 的三元函数先求 du(从而也就求得 也就可求得 du，然后再由 由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则，得从而 因此 )解析：24.设 z=z(x，y)是由方程 xy+x+y-z=e z 所确定的二元函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确
21、答案：将方程两边求全微分后求出 dz，由 dz 可求得 分别对 x，y 求导求得 将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得 ydx+xdy+dx+dy+dz=e z dz 解出 dz= (y+1)dx+(x+1)dy 从而 再将 对 x 求导得 代入 的表达式得 最后求出 )解析：25.设由方程 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 (*) 确定隐函数 z=z(z，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a，b，c 为非零常数，且 b-a 2 0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由一阶全微分形式不变性，对方程(*)求全微分得 1 (bdz-cdy
22、)+ 2 (cdx-adz)+ 3 (ady-bdx)=0， 即 (b 1 -a 2 )dz=(b 3 -c 2 )dx+(c 1 -a 3 )dy 于是 )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用一阶全微分形式不变性分别对两个方程求全微分得 du=f 1 d(x-ut)+f 2 d(y-ut)+f 3 d(z-ut) =f 1 (dx-udt-tdu)+f 2 (dy-udt-tdu)+f 3 (dz-udt-tdu)， 整理得1+t(f 1 +f 2 +f 3 )du=f 1 dx+f 2 dy+f 3 dz-u(f 1 +f 2 +f 2 )dt (*) 对题设中第
23、二个方程求全微分得 g 1 dx+g 2 dy+g 3 dz=0，解得 dz= (g 1 dx+g 2 dy) 将上式代入(*)，得 1+t(f 1 +f 2 +f 3 )du= (f 1 g 3 -f 3 g 1 )dx+(f 2 g 3 -f 3 g 2 )dy-u(f 1 +f 2 +f 3 )dt， 因此 )解析：27.设 z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()将 z 对 x，y 的偏导数转换为 z 对 u，v 的偏导数由复合函数求导法得这里 仍是 u，v 的函数，而 u，v 又是 x，y 的函数，因而 又 将，代入原方程得 即原方程变
24、成 ()由题()，在变量替换 u=3x+y，v=x+y 下，求解满足的z=z(x，y)转化为求解满足的 z=z(u，v) 由式 =0，对 v 积分得 )解析：28.在半径为 R 的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 x，y，z 表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积 S 可用 x，y，z，R 表示为 S= R 2 sinx+ R 2 siny+ R 2 sinz， 其中 z=2-x-y，将其代入得 S= R 2 sinx+siny-sin(x+y)，定义域是 D=(x，y)x0，y0，x+y2 现求 S(x，y)的驻点： R 2 cosx-c
25、os(x+y)， R 2 cosy-cos(x+y) 解 ，得唯一驻点：(x，y)= 在D 内部，又在 D 的边界上即 x=0 或 y=0 或 x+y=2 时 S(x，y)=0因此，S 在 取最大值 因 x=y= )解析：29.在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆 z=x 2 +y 2 ，x+y+z=1 上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当负电荷在点(x，y，z)处时，两电荷间的引力大小为 f(x，y，z)= 负电荷又在椭圆上，于是问题化为求函数 f(x，y，z)在条件 x 2 +y 2 -z=0，x+y+z-1=0
26、下的最大值和最小值：为简单起见，考虑函数 g(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 ，f 的最大值(或最小值)就是 g 的最小值(或最大值)(差一倍数)于是问题又化为求函数 g(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在条件 x 2 +y 2 -z=0，x+y+z-1=0 条件下的最大值和最小值 用拉格朗日乘子法令 F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2 +(x 2 +y 2 -z)+(x+y+z-1)， 解方程组 由前三个方程得 x=y，代入后两个方程得 可算得 g(M 1 )= ，g(M 2 )= )解析：30.设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 z=f(e x2-y2
27、)满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=f(e x2-y2 )是 z=f(u)与 u=e x2-y2 的复合函数，由复合函数求导法可导出 与 f(u)，f(u)的关系式，从而由 =4(x 2 +y 2 )导出 f(u)的微分方程式，然后解出f(u) 令 u=e x2-y2 ，则有 其中 =2x x2-y2 =2xu， =-2ye x2-y2 =-2yu 进而可得 =4x 2 u 2 f(u)+(2u+4x 2 u)f(u)， =4y 2 u 2 f(u)-(2u-4y 2 u)f(u) 所以 =4(x 2 +y 2 )u 2 f(u)+4(x 2 +y 2 )uf(u) 由题
28、设条件，得 u 2 f(u)+uf(u)-1=0 这是可降阶的二阶方程，令 P=f(u)，则方程化为 u 2 +uP=1 解此一阶线性方程将上述方程改写成 uP=lnu+C 1 ，即 P= 记 y=f(u)，于是 )解析：31.若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)=t n f(x，y)， (712) 称 f(x，y)为 n 次齐次函数设 f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为 n 次齐次函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x，y)是 n 次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=t n f(x，y) 为恒等式将该式两端对 t 求导，得 xf 1 (tx，ty)+yf 2 (tx，ty)=nt n-1 f(x，y) ， 令 t=1，则 xf x (x，y)+yf y (x，y)=nf(x，y) 现设上式成立考察 (t)= ，由复合函数求导法则，可得 (t)= xf 1 (tx，ty)+yf 2 (tx，ty)- f(tx，ty) = )解析：
