1、1第 5讲 推理、证明与复数一、选择题1在复平面内,复数 i 4对应的点在( )1 1 i 2 1A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析:因为 i 4 1 1 i,所以其在复1 1 i 2 1 11 2i 1 2i 1 2i 1 2i 65 25平面内对应的点为 ,位于第四象限(65, 25)答案:D2(1)已知 a是三角形一边的长, h是该边上的高,则三角形的面积是 ah,如果把扇形的12弧长 l,半径 r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为 lr;12(2)由 11 2,132 2,1353 2,可得到 1352 n1 n2,则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A类
2、比推理、归纳推理 B类比推理、演绎推理C归纳推理、类比推理 D归纳推理、演绎推理解析:(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;(2)由特殊到一般,此种推理为归纳推理答案:A3若 z是复数, z ,则 z ( )1 2i1 i zA. B.102 52C1 D.52解析:因为 z 1 2i1 i 1 2i 1 i 1 i 1 i i,所以 i,12 32 z 12 32所以 z .z (12 32i)( 12 32i) 52答案:D4给出下面四个类比结论:实数 a, b,若 ab0,则 a0 或 b0;类比复数 z1, z2,若 z1z20,则 z10 或 z20.2实
3、数 a, b,若 ab0,则 a0 或 b0;类比向量 a, b,若 ab0,则 a0 或 b0.实数 a, b,有 a2 b20,则 a b0;类比复数 z1, z2,有 z z 0,则 z1 z20.21 2实数 a, b,有 a2 b20,则 a b0;类比向量 a, b,若 a2 b20,则 a b0.其中类比结论正确的个数是( )A0 B1C2 D3解析:对于,显然是正确的;对于,若向量 a, b互相垂直,则 ab0,所以错误;对于,取 z11, z2i,则 z z 0,所以错误;对于,若 a2 b20,则21 2|a| b|0,所以 a b0,故是正确的综上,类比结论正确的个数是
4、2.答案:C5设 i是虚数单位,若复数 a (aR)是纯虚数,则 a的值为( )103 iA3 B1C1 D3解析:由题知, a a ( a3)i,若其为纯虚数,则103 i 10 3 i10a30, a3.答案:D6i 为虚数单位, 2( )(1 i1 i)A1 B1Ci Di解析: 2 1.(1 i1 i) 1 i 2 1 i 2 2i2i答案:B7设复数 z i,则 ( )12 32 zzA z B.zC z D z解析:由题意得, i,z12 32 i .选zz12 32i12 32i 1 3i1 3i 1 3i 2 1 3i 1 3i 1 3 3 3 i4 12 32 zD.答案:D
5、38如图所示的数阵中,用 A(m, n)表示第 m行的第 n个数,则依此规律 A(8,2)为( )1316 16110 112 110115 122 122 115121 137 144 137 121A. B.145 186C. D.1122 1167解析:由数阵知 A(3,2) , A(4,2) , A(5,2) ,则16 6 16 6 10 16 6 10 15A(8,2) .16 6 10 15 21 28 36 1122答案:C9(2018江淮十校联考)我国古代数学名著九章算术中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣 ”其体现的是一种无限与有限
6、的转化过程,比如在 中“”即代表无限次重复,但原式却是个定值2 2 2 x,这可以通过方程 x确定 x2,则 1 ( )2 x11 11 A. B. 5 12 5 12C. D.1 52 1 52解析:1 x,即 1 x,即 x2 x10,解得 x (x 舍),故11 11 1x 1 52 1 521 ,故选 C.11 11 1 52答案:C10(2018武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的4供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中 ”乙说:“我没有作案,是丙偷的 ”丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷 ”丁说:“乙说的是事实 ”经过调查核实,四人中有两人说的是真
7、话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( )A甲 B乙C丙 D丁解析:由题可知,乙、丁两人的观点一致,即同真同假,假设乙、丁说的是真话,那么甲、丙两人说的是假话,由乙说的是真话,推出丙是罪犯,由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,显然两个结论相互矛盾,所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙供述可得,乙是罪犯答案:B11凸 n多边形有 f(n)条对角线,则凸( n1)边形的对角线的条数 f(n1)为( )A f(n) n1 B f(n) nC f(n) n1 D f(n) n2解析:边数增加 1,顶点也相应增加 1个,它与它不相邻的 n2 个顶点
8、连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加 n1 条故选 C.答案:C12设复数 z1和 z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称,且 z132i,则 z1z2( )A512i B512iC1312i D1312i解析: z132i,由题意知 z232i, z1z2(32i)(32i)512i,故选 A.答案:A二、填空题13已知 x, yR,i 为虚数单位,且( x2)i y1i,则(1i) x y_.解析:由复数相等的条件知 x21, y1,解得 x3, y1,所以(1i)x y(1i) 22i.答案:2i14已知复数 z ,则| z|_.1 3i2 i解析:法一:因为 z1
9、3i2 i 1i, 1 3i 2 i 2 i 2 i 5 5i5所以| z|1i| .25法二:| z| |1 3i2 i| |1 3i|2 i| .105 2答案: 215(2018长春质检)将 1,2,3,4,这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组,则第 10行自左向右第 10个数为_解析:由三角形数组可推断出,第 n行共有 2n1 个数,且最后一个数为 n2,所以第 10行共 19个数,最后一个数为 100,自左向右第 10个数是 91.答案:9116在平面几何中:在 ABC中, C的内角平分线 CE分 AB所成线段的比为 .把这ACBC AEBE个结论类比到空间:在三棱锥 ABCD中(如图),平面 DEC平分二面角 ACDB且与 AB相交于 E,则得到类比的结论是_解析:由类比推理的概念可知,平面中线段的比可转化为空间中面积的比,由此可得: .AEEB S ACDS BCD答案: AEEB S ACDS BCD6