1、1第 5 讲 推理、证明与复数一、选择题1(2018石家庄质检)在复平面内，复数 i 4对应的点在( )1 1 i 2 1A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为 i 4 1 1 i，所以其在复1 1 i 2 1 11 2i 1 2i 1 2i 1 2i 65 25平面内对应的点为 ，位于第四象限(65， 25)答案：D2(1)已知 a 是三角形一边的长， h 是该边上的高，则三角形的面积是 ah，如果把扇形的12弧长 l，半径 r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为 lr；12(2)由 11 2,132 2,1353 2，可得到 1352 n1 n2，则(1)(2)
2、两个推理过程分别属于( )A类比推理、归纳推理B类比推理、演绎推理C归纳推理、类比推理D归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理答案：A3(2018石家庄模拟)若 z 是复数， z ，则 z ( )1 2i1 i zA. B.102 52C1 D.52解析：因为 z 1 2i1 i 1 2i 1 i 1 i 1 i i，所以 i，12 32 z 12 32所以 z .z (12 32i)( 12 32i) 522答案：D4给出下面四个类比结论：实数 a， b，若 ab0，则 a0 或 b0；类比复数 z1，
3、 z2，若 z1z20，则 z10 或 z20.实数 a， b，若 ab0，则 a0 或 b0；类比向量 a， b，若 ab0，则 a0 或 b0.实数 a， b，有 a2 b20，则 a b0；类比复数 z1， z2，有 z z 0，则 z1 z20.21 2实数 a， b，有 a2 b20，则 a b0；类比向量 a， b，若 a2 b20，则 a b0.其中类比结论正确的个数是( )A0 B1C2 D3解析：对于，显然是正确的；对于，若向量 a， b 互相垂直，则 ab0，所以错误；对于，取 z11， z2i，则 z z 0，所以错误；对于，若 a2 b20，则21 2|a| b|0，所
4、以 a b0，故是正确的综上，类比结论正确的个数是 2.答案：C5设 i 是虚数单位，若复数 a (aR)是纯虚数，则 a 的值为( )103 iA3 B1C1 D3解析：由题知， a a ( a3)i，若其为纯虚数，则103 i 10 3 i10a30， a3.答案：D6i 为虚数单位， 2( )(1 i1 i)A1 B1Ci Di解析： 2 1.(1 i1 i) 1 i 2 1 i 2 2i2i答案：B7设复数 z i，则 ( )12 32 zzA z B.zC z D z解析：由题意得， i，z12 323 zz12 32i12 32i 1 3i1 3i 1 3i 2 1 3i 1 3i
5、 1 3 3 3 i4 i .选 D.12 32 z答案：D8如图所示的数阵中，用 A(m， n)表示第 m 行的第 n 个数，则依此规律 A(8,2)为( )1316 16110 112 110115 122 122 115121 137 144 137 121A. B.145 186C. D.1122 1167解析：由数阵知 A(3,2) ， A(4,2) ， A(5,2) ，则16 6 16 6 10 16 6 10 15A(8,2) .16 6 10 15 21 28 36 1122答案：C9(2018江淮十校联考)我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以
6、至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值2 2 2 x，这可以通过方程 x 确定 x2，则 1 ( )2 x11 11 A. B. 5 12 5 124C. D.1 52 1 52解析：1 x，即 1 x，11 11 1x即 x2 x10，解得 x (x 舍)，1 52 1 52故 1 ，故选 C.11 11 1 52答案：C10(2018武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中 ”乙说：“我没有作案，是丙偷的 ”丙说：“甲、乙两人中有一人是小
7、偷 ”丁说：“乙说的是事实 ”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A甲 B乙C丙 D丁解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯答案：B11凸 n 多边形有 f(n)条对角线，则凸( n1)边形的对角线的条数 f(n1)为( )A f(n) n1 B f(n) nC f(n) n1 D f(n) n2解析
8、：边数增加 1，顶点也相应增加 1 个，它与它不相邻的 n2 个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加 n1 条故选 C.答案：C12设复数 z1和 z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且 z132i，则 z1z2( )A512i B512iC1312i D1312i解析： z132i，由题意知 z232i， z1z2(32i)(32i)512i，故选 A.答案：A二、填空题513已知 x， yR，i 为虚数单位，且( x2)i y1i，则(1i) x y_.解析：由复数相等的条件知 x21， y1，解得 x3， y1，所以(1i)x y(1i) 22i.答案：2i1
9、4已知复数 z ，则| z|_.1 3i2 i解析：法一：因为 z1 3i2 i 1i， 1 3i 2 i 2 i 2 i 5 5i5所以| z|1i| .2法二：| z| |1 3i2 i| |1 3i|2 i| .105 2答案： 215(2018长春质检)将 1,2,3,4，这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第 10 行自左向右第 10 个数为_解析：由三角形数组可推断出，第 n 行共有 2n1 个数，且最后一个数为 n2，所以第 10行共 19 个数，最后一个数为 100，自左向右第 10 个数是 91.答案：9116在平面几何中：在 ABC 中， C 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 .把这ACBC AEBE个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中(如图)，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E，则得到类比的结论是_解析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得： .AEEB S ACDS BCD6答案： AEEB S ACDS BCD
