1、1第 6讲 排列、组合、二项式定理一、选择题1设 i为虚数单位，则( xi) 6的展开式中含 x4的项为( )A15 x4 B15 x4C20i x4 D20i x4解析：( xi) 6的展开式的通项为 Tr1 C x6 rir(r0,1,2，6)，令 r2，得含 x4的r6项为 C x4i215 x4，故选 A.26答案：A2用 0,1，9 这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252C261 D279解析：0,1,2，9 共能组成 91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)，所以有重复数字的三位数有 900648252(个)答案：B3甲
2、、乙两人要在一排 8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( )A10 B16C20 D24解析：一排共有 8个座位，现有两人就坐，故有 6个空座因为要求每人左右均有空座，所以在 6个空座的中间 5个空中插入 2个座位让两人就坐，即有 A 20 种坐法25答案：C4二项式 9的展开式中 x的系数等于( )(9x 133x)A84 B24C6 D24解析：根据二项式定理可知， Tr1 C r99 令r9(13)9 r1，得 r6，所以 x的系数为 C 69384，故选 A.43 69( 13)答案：A5小明试图将一箱中的 24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出
3、 3瓶或 4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有( )A18 种 B27 种2C37 种 D212 种解析：由题可知，取出酒瓶的方式有 3类，第一类：取 6次，每次取出 4瓶，只有 1种方式；第二类：取 8次，每次取出 3瓶，只有 1种方式；第三类：取 7次，3 次 4瓶和 4次3瓶，取法为 C ，为 35种共计 37种取法故选 C.37答案：C6已知(1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a( )A4 B3C2 D1解析：(1 x)5中含有 x与 x2的项为 T2C x5 x， T3C x210 x2，所以 x2的系数为15 25105 a5，所以 a1，故选 D.答案：D7
4、在二项式(12 x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 128，则展开式的中间项的系数为( )A960 B960C1 120 D1 680解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为 128，所以在(12 x)n的展开式中，二项式系数之和为 256，即 2n256， n8，则(12 x)8的展开式的中间项为第 5项，且T5C (2) 4x41 120 x4，即展开式的中间项的系数为 1 120，故选 C.48答案：C8若 x4(x3) 8 a0 a1(x2) a2(x2) 2 a12(x2) 12，则log2(a1 a3 a5 a11)等于( )A2 7 B2 8C7 D8解析：取 x1
5、得(1) 4(13) 8 a0 a1 a2 a11 a12， 取 x3 得(3) 4(33) 8 a0 a1 a2 a11 a12， 与两式左、右两边分别相减得 282( a1 a3 a5 a11)，所以a1 a3 a5 a112 7，所以 log2(a1 a3 a5 a11)7.答案：C9从 8名网络歌手中选派 4名同时去 4个地区演出(每地 1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有( )A240 种 B360 种C480 种 D600 种解析：分两步，第一步，先选 4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有 C 10 种不同选法，第二类，
6、甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，253有 C 15 种不同选法，所以不同的选法有 101525(种)第二步，4 名网络歌手同时去464个地区演出，有 A 24 种方案由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有42524600(种)答案：D10若( x2 m)9 a0 a1(x1) a2(x1) 2 a9(x1) 9，且( a0 a2 a8)2( a1 a3 a9)23 9，则实数 m的值为( )A1 或3 B1 或 3C1 D3解析：令 x0，得 a0 a1 a2 a9(2 m)9，令 x2，得a0 a1 a2 a3 a9 m9，所以(2 m)9m93 9，即 m22 m3，解得 m1
7、或3.答案：A11某学校派出 5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A80 种 B90 种C120 种 D150 种解析：有两类情况：其中一所学校 3名教师，另两所学校各一名教师的分法有 C A 60353种；其中一所学校 1名教师，另两所学校各两名教师的分法有 C A 90 种所以15C242 3共有 6090150 种故选 D.答案：D12两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6人的入园顺序排法种数为( )A48 B36C24 D12解析：分三步
8、：先分派两位爸爸，必须一首一尾，有 A 2 种排法；两个小孩一定要2排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有 A 2 种排法；将两个小孩与两位妈妈进2行全排列，有 A 6 种排法则共有 22624 种排法故选 C.3答案：C二、填空题13若 4展开式的常数项为 54，且 a0，则 a_.(x ax)解析：依题意，二项式 4的展开式的通项 Tr1 C ( )4 r rC arx2 r.令(x ax) r4 x (ax) r42 r0 得 r2.因此，二项式 4的展开式中的常数项是(x ax)4T3C a26 a254， a29.又 a0，因此 a3.24答案：314若直线 x ay10 与 2x
9、 y50 垂直，则二项式 5的展开式中 x4的系数(ax21x)为_解析：由两条直线垂直，得 12 a(1)0，得 a2，所以二项式为 5，其通(2x21x)项 Tr1 C (2x2)5 r r(1) r25 rC x103 r，令 103 r4，解得 r2，所以二项式r5 (1x) r5的展开式中 x4的系数为 23C 80.25答案：8015现有 5名教师要带 3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多 2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_种(用数字作答)解析：第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外 3人分成两组，再分配到 3个小组中，有 C A 1
10、8 种；第二类，先把另外的 3人分配到 3个小组，再把甲、乙分配到其中 2个小233组，有 A A 36 种，根据分类加法计数原理可得，共有 361854 种323答案：5416从 1,3,5,7,9中任取 2个数，从 0,2,4,6中任取 2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是 5的四位数从小到大排成一列，则第 100个数是_解析：形如“15” ，中间所缺的两数只能从 0,2,4,6中选取，有 A 12 个24形如“25” ，中间所缺的两数是奇偶各一个，有 C C A 24 个14132形如“35” ，同有 A 12 个24形如“45” ，同，也有 C C A 24 个，14132形如“65” ，也有 C C A 24 个，14132以上 5类小于 7 000的数共有 96个故第 97个数是 7 025，第 98个数是 7 045，第 99个数是 7 065，第 100个数是 7 205.答案：7 2055
