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【考研类试卷】考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷21及答案解析.doc

1、考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷 21 及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x,y)= (分数:2.00)A.连续,偏导数存在B.连续,偏导数不存在C.不连续,偏导数存在D.不连续,偏导数不存在3.下列函数在(0,0)处不连续的是 (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 z=f(x,y)= (分数:2.00)A.可微B.偏导数存在,但不可微C.连续,但偏导数不存在D.偏导数存在,但不连续5.设 z=f(x,y)= (分数:2.00)A.偏

2、导数存在且连续B.偏导数不存在,但连续C.偏导数存在,可微D.偏导数存在,但不可微二、解答题(总题数:26,分数:52.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_7.求下列极限: (分数:2.00)_8.证明极限 (分数:2.00)_9.()设 f(x,y)=x 2 +(y-1)arcsin ()设 (分数:2.00)_10.求下列函数在指定点处的二阶偏导数: (分数:2.00)_11.设 z=f(u,v,x),u=(x,y),v=(y)都是可微函数,求复合函数 z=f(x,y),(y),x)的偏导数 (分数:2.00)_12.设 z=f(u,v),u=(x,

3、y),v=(x,y)具有二阶连续偏导数,求复合函数 z=f(x,y),(x,y)的一阶与二阶偏导数(分数:2.00)_13.设 u=f(x,y,z,t)关于各变量均有连续偏导数,而其中由方程组 确定 z,t 为 y 的函数,求(分数:2.00)_14.设 u=u(x,y)有二阶连续偏导数,证明:在极坐标变换 x=rcos,y=rsin 下有 (分数:2.00)_15.设 z=f(x,y)在区域 D 有连续偏导数,D 内任意两点的连线均属于 D求证:对 A(x 0 ,y 0 ),B(x 0 +x,y 0 +y)D, (0,1),使得 f(x 0 +x,y 0 +y)-f(x 0 ,y 0 ) (

4、分数:2.00)_16.设 z(x,y)=x 3 +y 3 -3xy ()-x+,-y+,求 z(x,y)的驻点与极值点 ()D=(x,y)0x2,-2y2,求证:D 内的唯一极值点不是 z(x,y)在 D 上的最值点(分数:2.00)_17.求函数 z=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6,x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值(分数:2.00)_18.已知平面曲线 Ax 2 +2Bxy+Cy 2 =1(C0,AC-B 2 0)为中心在原点的椭圆,求它的面积(分数:2.00)_19.设 z(x,y)满足 (分数:2.00)_20.设 f(x,y)= (分数:2.00)_

5、21.设 z=(x 2 +y 2 ) (分数:2.00)_22.设 z= f(xy)+y(x+y),且 f, 具有二阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_23.设 (分数:2.00)_24.设 z=z(x,y)是由方程 xy+x+y-z=e z 所确定的二元函数,求 (分数:2.00)_25.设由方程 (bz-cy,cx-az,ay-bx)=0 (*) 确定隐函数 z=z(z,y),其中 对所有变量有连续偏导数,a,b,c 为非零常数,且 b-a 2 0,求 (分数:2.00)_26.设 (分数:2.00)_27.设 z=z(x,y)有连续的二阶偏导数并满足 (分数:2.00)_28.在半径为

6、 R 的圆的一切内接三角形中,求出其面积最大者(分数:2.00)_29.在空间坐标系的原点处,有一单位正电荷,设另一单位负电荷在椭圆 z=x 2 +y 2 ,x+y+z=1 上移动,问两电荷间的引力何时最大,何时最小?(分数:2.00)_30.设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 z=f(e x2-y2 )满足方程 (分数:2.00)_31.若函数 f(x,y)对任意正实数 t,满足 f(tx,ty)=t n f(x,y), (712) 称 f(x,y)为 n 次齐次函数设 f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为 n 次齐次函数 (分数:2.00)_考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷

7、 21 答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x,y)= (分数:2.00)A.连续,偏导数存在B.连续,偏导数不存在C.不连续,偏导数存在 D.不连续,偏导数不存在解析:解析:这是讨论 f(x,y)在点(0,0)处是否连续,是否可偏导先讨论 f(x,y)在点(0,0)处是否可偏导由于 f(x,0)=0( (-,+),则 =0因此(B),(D)被排除 再考察 f(x,y)在点(0,0)处的连续性令 y=x 3 ,则 3.下列函数在(0,0)处

8、不连续的是 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:直接证(C)中 f(x,y)在(0,0)不连续当(x,y)沿直线 y=x 趋于(0,0)时4.设 z=f(x,y)= (分数:2.00)A.可微B.偏导数存在,但不可微 C.连续,但偏导数不存在D.偏导数存在,但不连续解析:解析:设z=f(x,y)-f(0,0),则可知 这表明 f(x,y)= 在点(0,0)处连续 因f(x,0)=0( ),所以 f x (0,0)= f(x,0) x=0 =0,同理 f y (0,0)=0 令 =z-f x (0,0)x-f y (0,0)y= ,当(x,y)沿 y=x 趋于点(0,0)时 5.设

9、z=f(x,y)= (分数:2.00)A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在,但连续C.偏导数存在,可微 D.偏导数存在,但不可微解析:解析:由偏导数定义可知 这说明 f x (0,0)存在且为 0,同理 f y (0,0)存在且为 0 又 二、解答题(总题数:26,分数:52.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:7.求下列极限: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:() 因此 ()由 x 4 +y 2 2x 2 y 而 )解析:8.证明极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(x,y)沿不同的直线 y=kx 趋于(0,0),有 再令(

10、x,y)沿抛物线 y 2 =x 趋于(0,0),有 由二者不相等可知极限 )解析:9.()设 f(x,y)=x 2 +(y-1)arcsin ()设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()因 f(x,1)= 2 ,故 =2x x=2 =4 又因 f(2,y)=4+(y-1)arcsin ,故 ()按定义 类似可求 )解析:10.求下列函数在指定点处的二阶偏导数: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()按定义 故 () )解析:11.设 z=f(u,v,x),u=(x,y),v=(y)都是可微函数,求复合函数 z=f(x,y),(y),x)的偏导数 (分数:2.00)_正确答案:

11、(正确答案:由复合函数求导法可得 =f 1 +f 2 +f 3 =f 1 +f 3 , =f 1 )解析:12.设 z=f(u,v),u=(x,y),v=(x,y)具有二阶连续偏导数,求复合函数 z=f(x,y),(x,y)的一阶与二阶偏导数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:已求得 ,下面进一步求 第一步,先对 的表达式用求导的四则运算法则得 第二步,再求 (f 2 )这里 f(u,v)对中间变量 u,v 的导数 f 1 = 仍然是 u,v 的函数,而 u,v 还是 x,y 的函数,它们的复合仍是 x,y 的函数,因而还要用复合函数求导法求 (f 1 ), (f 2 )即 第三步,将它

12、们代入(木)式得 用类似方法可求得 )解析:13.设 u=f(x,y,z,t)关于各变量均有连续偏导数,而其中由方程组 确定 z,t 为 y 的函数,求(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:注意 z=z(y),t=t(y),于是 因此,我们还要求 ,将方程组两边对y 求导得 记系数行列式为 W=(y-t 2 )(e z +zcost)+2zt(te z +sint),则 代入得 )解析:14.设 u=u(x,y)有二阶连续偏导数,证明:在极坐标变换 x=rcos,y=rsin 下有 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用复合函数求导公式,有 再对 用复合函数求导法及(*)式可得于是

13、 即 )解析:15.设 z=f(x,y)在区域 D 有连续偏导数,D 内任意两点的连线均属于 D求证:对 A(x 0 ,y 0 ),B(x 0 +x,y 0 +y)D, (0,1),使得 f(x 0 +x,y 0 +y)-f(x 0 ,y 0 ) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:连接 A,B 两点的线段属于 D: t0,1,在 上 f(x,y)变成 t 的一元函数 (t)=f(x 0 +tx,y 0 +ty), (t)在0,1可导,由复合函数求导法 现在二元函数的增量看成一元函数 (t)的增量,由一元函数微分中值定理 f(x 0 +x,y 0 +y)-f(x 0 ,y 0 )=(1)

14、-(0)=() )解析:16.设 z(x,y)=x 3 +y 3 -3xy ()-x+,-y+,求 z(x,y)的驻点与极值点 ()D=(x,y)0x2,-2y2,求证:D 内的唯一极值点不是 z(x,y)在 D 上的最值点(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()解方程组 得全部驻点(0,0)与(1,1)再求 考察 (0,0)处 ,AC-B 2 0 (0,0)不是极值点 (1,1)处 ,AC-B 2 0,A0 (1,1)是极小值点 因此 z(x,y)的驻点是(0,0),(1,1),极值点是(1,1)且是极小值点 ()D 内唯一极值点(1,1)是极小值点,z(1,1)=-1 D 的边界点(

15、0,-2)处 z(0,-2)=(-2) 3 =-8z(1,1) 因 z(x,y)在有界闭区域 D 上连续,必存在最小值, 又 z(0,-2)z(1,1),(0,-2)D z(1,1)不是 z(x,y)在 D 的最小值 )解析:17.求函数 z=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6,x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:区域 D 如图 71 所示,它是有界闭区域z(x,y)在 D 上连续,所以在 D 上一定有最大值与最小值,它或在 D 内的驻点达到,或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点,先求 =2xy(4-x-y)-x 2 y=

16、xy(8-3x-2y), =x 2 (4-x-y)-x 2 y=x 2 (4-x-2y) 再解方程组 得 z(x,y)在 D 内的唯一驻点(x,y)=(2,1)且 z(2,1)=4 在 D 的边界 y=0,0x6 或x=0,0y6 上 z(x,y)=0; 在边界 x+y=6(0x6)上将 y=6-x 代入得 z(x,y)=x 2 (6-x)(-2)=2(x 3 -6x 2 ),0x6令 h(x)=2(x 3 -6x 2 ),则 h(x)=6(x 2 -4x),h(4)=0,h(0)=0,h(4)=-64,h(6)=0,即 z(x,y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为 0,最小值为-64

17、 因此, z(x,y)=4, =-64 )解析:18.已知平面曲线 Ax 2 +2Bxy+Cy 2 =1(C0,AC-B 2 0)为中心在原点的椭圆,求它的面积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:椭圆上点(x,y)到原点的距离平方为 d 2 =x 2 +y 2 ,条件为 Ax 2 +2Bxy+Cy 2 -1=0 令 F(x,y,)=x 2 +y 2 -(Ax 2 +2Bxy+Cy 2 -1),解方程组 将式乘 x,式乘 y,然后两式相加得 (1-A)x 2 -Bxy+-Bxy+(1-C)y 2 =0, 即 x 2 +y 2 =(Ax 2 +2Bxy+Cy 2 )=, 于是可得 d= 从直

18、观知道,函数 d 2 的条件最大值点与最小值点是存在的,其坐标不同时为零,即联立方程组 F x =0,F y =0 有非零解,其系数行列式应为零,即 该方程一定有两个根 1 , 0 ,它们分别对应 d 2 的最大值与最小值因此,椭圆的面积为 )解析:19.设 z(x,y)满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:把 y 看作任意给定的常数,将等式两边对 x 求积分得 z(x,y)=-xsiny-ln1-xy+(y), 其中 (y)为待定函数由式得-siny- ln1-y+(y)=siny,故 (y)=2siny+ ln1-y 因此,z(x,y)=(2-x)siny+ )解析:20.设 f

19、(x,y)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()当(x,y)(0,0)时, 当(x,y)=(0,0)时,因 f(x,0)=0 ,于是 由对称性得当(x,y)(0,0)时 ()因为 ,考察 f(x,y)在(0,0)是否可微,就是考察下式是否成立 即 =o(p) (p0),亦即当 p0 时 是否是无穷小量 因为 所以当 p0 时 )解析:21.设 z=(x 2 +y 2 ) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得 由出的表达式得 对y 求导得 )解析:22.设 z= f(xy)+y(x+y),且 f, 具有二阶连续偏导数,求 (分数:2.

20、00)_正确答案:(正确答案:先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合,u 是中间变量,(x+y)是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合,v 是中间变量由题设知 方便,由复合函数求导法则得 )解析:23.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 是 u=f(s,t)与 s= 复合而成的 x,y,z 的三元函数先求 du(从而也就求得 也就可求得 du,然后再由 由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则,得从而 因此 )解析:24.设 z=z(x,y)是由方程 xy+x+y-z=e z 所确定的二元函数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确

21、答案:将方程两边求全微分后求出 dz,由 dz 可求得 分别对 x,y 求导求得 将方程两边同时求全微分,由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则,得 ydx+xdy+dx+dy+dz=e z dz 解出 dz= (y+1)dx+(x+1)dy 从而 再将 对 x 求导得 代入 的表达式得 最后求出 )解析:25.设由方程 (bz-cy,cx-az,ay-bx)=0 (*) 确定隐函数 z=z(z,y),其中 对所有变量有连续偏导数,a,b,c 为非零常数,且 b-a 2 0,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由一阶全微分形式不变性,对方程(*)求全微分得 1 (bdz-cdy

22、)+ 2 (cdx-adz)+ 3 (ady-bdx)=0, 即 (b 1 -a 2 )dz=(b 3 -c 2 )dx+(c 1 -a 3 )dy 于是 )解析:26.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用一阶全微分形式不变性分别对两个方程求全微分得 du=f 1 d(x-ut)+f 2 d(y-ut)+f 3 d(z-ut) =f 1 (dx-udt-tdu)+f 2 (dy-udt-tdu)+f 3 (dz-udt-tdu), 整理得1+t(f 1 +f 2 +f 3 )du=f 1 dx+f 2 dy+f 3 dz-u(f 1 +f 2 +f 2 )dt (*) 对题设中第

23、二个方程求全微分得 g 1 dx+g 2 dy+g 3 dz=0,解得 dz= (g 1 dx+g 2 dy) 将上式代入(*),得 1+t(f 1 +f 2 +f 3 )du= (f 1 g 3 -f 3 g 1 )dx+(f 2 g 3 -f 3 g 2 )dy-u(f 1 +f 2 +f 3 )dt, 因此 )解析:27.设 z=z(x,y)有连续的二阶偏导数并满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()将 z 对 x,y 的偏导数转换为 z 对 u,v 的偏导数由复合函数求导法得这里 仍是 u,v 的函数,而 u,v 又是 x,y 的函数,因而 又 将,代入原方程得 即原方程变

24、成 ()由题(),在变量替换 u=3x+y,v=x+y 下,求解满足的z=z(x,y)转化为求解满足的 z=z(u,v) 由式 =0,对 v 积分得 )解析:28.在半径为 R 的圆的一切内接三角形中,求出其面积最大者(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:用 x,y,z 表示三角形各边所对的中心角,则三角形的面积 S 可用 x,y,z,R 表示为 S= R 2 sinx+ R 2 siny+ R 2 sinz, 其中 z=2-x-y,将其代入得 S= R 2 sinx+siny-sin(x+y),定义域是 D=(x,y)x0,y0,x+y2 现求 S(x,y)的驻点: R 2 cosx-c

25、os(x+y), R 2 cosy-cos(x+y) 解 ,得唯一驻点:(x,y)= 在D 内部,又在 D 的边界上即 x=0 或 y=0 或 x+y=2 时 S(x,y)=0因此,S 在 取最大值 因 x=y= )解析:29.在空间坐标系的原点处,有一单位正电荷,设另一单位负电荷在椭圆 z=x 2 +y 2 ,x+y+z=1 上移动,问两电荷间的引力何时最大,何时最小?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当负电荷在点(x,y,z)处时,两电荷间的引力大小为 f(x,y,z)= 负电荷又在椭圆上,于是问题化为求函数 f(x,y,z)在条件 x 2 +y 2 -z=0,x+y+z-1=0

26、下的最大值和最小值:为简单起见,考虑函数 g(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 ,f 的最大值(或最小值)就是 g 的最小值(或最大值)(差一倍数)于是问题又化为求函数 g(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 在条件 x 2 +y 2 -z=0,x+y+z-1=0 条件下的最大值和最小值 用拉格朗日乘子法令 F(x,y,z,)=x 2 +y 2 +z 2 +(x 2 +y 2 -z)+(x+y+z-1), 解方程组 由前三个方程得 x=y,代入后两个方程得 可算得 g(M 1 )= ,g(M 2 )= )解析:30.设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 z=f(e x2-y2

27、)满足方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:z=f(e x2-y2 )是 z=f(u)与 u=e x2-y2 的复合函数,由复合函数求导法可导出 与 f(u),f(u)的关系式,从而由 =4(x 2 +y 2 )导出 f(u)的微分方程式,然后解出f(u) 令 u=e x2-y2 ,则有 其中 =2x x2-y2 =2xu, =-2ye x2-y2 =-2yu 进而可得 =4x 2 u 2 f(u)+(2u+4x 2 u)f(u), =4y 2 u 2 f(u)-(2u-4y 2 u)f(u) 所以 =4(x 2 +y 2 )u 2 f(u)+4(x 2 +y 2 )uf(u) 由题

28、设条件,得 u 2 f(u)+uf(u)-1=0 这是可降阶的二阶方程,令 P=f(u),则方程化为 u 2 +uP=1 解此一阶线性方程将上述方程改写成 uP=lnu+C 1 ,即 P= 记 y=f(u),于是 )解析:31.若函数 f(x,y)对任意正实数 t,满足 f(tx,ty)=t n f(x,y), (712) 称 f(x,y)为 n 次齐次函数设 f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为 n 次齐次函数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f(x,y)是 n 次齐次函数,按定义,得 f(tx,ty)=t n f(x,y) 为恒等式将该式两端对 t 求导,得 xf 1 (tx,ty)+yf 2 (tx,ty)=nt n-1 f(x,y) , 令 t=1,则 xf x (x,y)+yf y (x,y)=nf(x,y) 现设上式成立考察 (t)= ,由复合函数求导法则,可得 (t)= xf 1 (tx,ty)+yf 2 (tx,ty)- f(tx,ty) = )解析:

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