1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则（A）f 2+xf“11+(x+z)f“12+xzf“22（B） xf“12+xzf“22（C） f2+xf“12+xzf“22（D）xzy“ 222 函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)连续的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件3 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x
2、0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在二、填空题4 设 f(x，y)满足 f(x，0)=1 ，f y(x，0)=x，则 f(x，y)=_5 设 u=f(x，y ，z)=e xyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则6 设 其中 f(u)可导，则7 设 y=y(x，z)是由方程 ex+y+z=x2+y2+z2 确定的隐函数，则8 设 z=f(x，y)是由 确定的函数，则9 设 y=y(x)由 确定，则10 设 z=z(x，y
3、)由 z+ez=xy2 确定，则 dz=_ 11 设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则12 设 其中 f 可导，则13 由方程 确定的隐函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的微分为 dz=_14 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fx(0，1，一 1)=_15 设 f(x，y)可微，且 f1(-1,3)=-2，f 2(-1，3)=1，令 则 dz|(1,3)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 有一阶连续的偏导数，求17 设函数 z=z(x，y)由方程 x2+y2
4、+z2=xyf(x2)所确定，其中 f 是可微函数，计算并化成最简形式18 设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 z=f(2xy)+g(x，3y)，求19 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求20 设 z=f(x2+y2，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求21 设 z=z(x，y)由 xyz+yez-x-y=0 确定，求 及 dz22 设 z=fxy+g(xyz)，其中 f，g 可微，求23 设 u=f(x)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：24 设 xy=
5、xf(z)+yg(z)，且 xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： 25 设 z=f(x，y)由方程 zyx+xez-y-x=0 确定，求 dz26 设 u=f(x y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 exyy=0 与 ez 一xz=0 确定，求27 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求28 (1)设 y=f(x，t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y ，t
6、) 一阶连续可偏导，求 (2)设 z=z(x，y)由方程确定，求29 设 且 F 可微，证明：30 设变换 可把方程 化简为 求常数a31 设 z=fx+(xy)，y ，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求32 设 z=f(x，y)由 f(x+y， xy)=x2 一 y2 一 xy 确定，求 dz33 (1)求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值 (2)求函数 f(x，y)=(x 2+2x+y)ey 的极值-34 试求 z=f(x，y)=x 3+y3 一 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，一 1y2上的最大值与最小值35 平面曲线 L： 绕 x 轴旋转所得
7、曲面为 S，求曲面 S 的内接长方体的最大体积36 设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6xx2+16y 一 4y2 一 2(万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2 000kg，现有该原料 12 000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 选(C)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 如 在点(0，0)处可偏导，但不连续； 又如 在(0，0)处连
8、续，但对 x 不可偏导选(D)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0， f0(x0，y 0)=0，于是 f(x0，y) 在 y=y0 处导数为零，选(A) 【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 由 得 因为 fy(x，0)=x，所以 1(x)=x，即 再由 得 f(x，y)=y 1+xy+1(x)， 因为 f(x，0)=1，所以2(x)=1，故 f(x，y)=y 2+xy+1【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得
9、将 x=0，y=1 ，z= 一 1 代入得【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 e x+y+z=x2+y2+z2 两边对 z 求偏导得 从而 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 将 代入 e2yz+x+y2+z= 中得 z=0， 两边求微分得 2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将z=0 代入得【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 当 x=0 时，y=1 ， 两边对 x 求导，得 将 x=0，y=1 代入得【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 方法一 z+e z=xy2 两边对 x 求偏导得
10、解得z+ez=xy2 两边对 y 求偏导得 解得 则方法二 z+e z=xy2 两边求微分得 d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy， 解得【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 z=f(x+y，y+z，z+x)两边求 x 求偏导得解得 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 则【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 两边求微分得 把(1，0，一 1)代入上式得【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导得 将 x=0，y=1 ，z= 一 1 代入得解得 fx(0，1，一 1)=1【知识模块】
11、多元函数微分学15 【正确答案】 则则 dz|(1,3)=一 7dx+3dy【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 x 2+y2+z2=xyf(z2)两边对 x 求偏导得解得 x2+y2+z2=xyf(z2)两边对 y 求偏导得 解得故【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 方程 xyz+yez-y-x=0 两边对 x 求偏导得 解得 方程
12、 xyz+yez-x-y=0 两边对 y 求偏导得 解得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 等式 z=f(xy+g(xyz)两边对 x 求偏导得 解得 等式 z=f(xy+g(xyz)两边对 y 求偏导得 解得【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 两边对 x 求偏导得解得 则两边对 y 求偏导得 解得 则 所以【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得 解得 于是 【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 对 zyx+xz-y=x=0 两边求微分，得 dz dydx+ez-y-xdx+x ez-y-x(
13、dzdydx)=0， 解得【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 方程 exy 一 y=0 两边对 x 求导得 解得 方程 ez 一 xz=0 两边对 x 求导得解得 则【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 z=xf(x+y)及 F(x，y，z)=0 两边对 x 求导数，得 解得【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 (1)将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x 求导得解得 (2)当 x=0，y=0 时，z=1 两边分别对 x 和 y 求偏导得 两边对 y 求偏导得 故【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 两边对 x 求偏导得 解得 两边对
14、 y 求偏导得 解得于是【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 z=f(u，v)，则有 将上述式子代入方程根据题意得解得 a=3【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 z=fx+(xy)，y两边对 y 求偏导得 【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 令 则 代入得 【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 (1)二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)|y 0， 因为ACB20 且 A0，所以 为 f(x，y)的极小值点，极小值为(2)由 得 由 ACB2=20 及 A=20 得 (x，y)=( 一 1，0) 为
15、f(x，y)的极小值点，极小值为 f(-1，0)=一 1【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 当(x，y)在区域 D 内时， 在 L1：y=一 1(0x2)上，z=x 3+3x一 1， 因为 z=3x2+30，所以最小值为 z(0)=一 l，最大值为 z(2)=13； 在L2：y=2(0x2)上，z=x 3 一 6x+8， 由 z=3x2 一 6=0 得z(2)=4； 在 L3： x=0(-1y2)上，z=y 3， 由z=3y2=0 得 y=0，z( 一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8； 在 L4：x=2(-1y2)上，z=y 3 一6y+8， 由 z=3y2 一 6=0
16、得 z(2)=4. 故 z=x3+y3一 3xy 在 D 上的最小值为一 1，最大值为 13【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】 曲线 L： 绕 x 轴旋转一周所得的曲面为 S：根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(x，y，z)，则体积为 V=8xyz 令 由 由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为【知识模块】 多元函数微分学36 【正确答案】 根据题意，即求函数 L(x，y)=6xx 2+16y 一 4y22 在 0x+y6下的最大值 L(x ，y)的唯一驻点为 (3，2)， 令 F(x，y，)=6xx 2+16y 一 4y2 一2+(x+y 一 6)， 由 根据题意，x，y 只能取正整数，故(x，y) 的可能取值为 L(4，2)=22，L(3， 3)=19，L(3，2)=23，故当x=3，y=2 时利润最大，最大利润为 23 万元【知识模块】 多元函数微分学
