1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设平面区域 D 由曲线( )（A）2（B） -2（C） （D）-2 已知 ，则 I= ( )3 由 x=0， y=0，z=0 ，x+2y+z=1 所围成，则三重积分 等于 ( )4 是由 x2+y2=z2 与 z=a(a0)所围成的区域，则三重积分 在柱面坐标系下累次积分的形式为 ( )5 设平面区域 D 由 x=0， y=0，x+y=，则 I1，I 2， I2 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1
2、I26 球面 x2+y2+z2=4a2 与柱面 x2+y2=2ax 所围成立体体积等于 ( )二、填空题7 若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有 =_8 设 f(x，y)为连续函数，则 =_，其中 D：x 2+y2t29 由曲线 y=x2，y=x+2 所围成的平面薄片，其上各点处的面密度 =1+x2，则此薄片的质量 M=_10 设 为曲线 z=1-x2-y2，z=0 所围的立体，如果将三重积分 f(x，y，z)dv化为先对 z 再对 y 最后对 x 积分，则 I=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10
3、 记平面区域 D=(x，y)x+y1)，计算如下二重积分：11 ，其中 f(t)为定义在(-， +)上的连续正值函数，常数a0，b0；12 I2=D(ex-e-y)d，常数 013 设 p(x)在a，b 上非负连续，f(x)与 g(x)在a，6上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y) axb，ayb)，比较 I1=Dp(x)f(x)p(y)g(y)dxdy 与 I2=Dp(x)f(y)p(y)g(y)dxdy 的大小，并说明理由14 设函数 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x+ Dyf(u，v)dudv，其中 D 由 ，x=1，y=2 围成，求 f(x，y)15 计算16 当 x1 -1
4、 时，求与 等价的无穷大量17 证明18 设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 I=DF(x，y)dxdy 并证明：I2(M-m)，其中 M 和 m 分别是 f(x，y) 在 D 上的最大值和最小值19 设 D=(x， y)axb，cyd)，若 fxy 与 fyx 在 D 上连续， 证明： Dfxy(z，y)dxdy=Dfyx(z，y)dxdy；20 设 D 为 xOy 平面上的区域，若 fxy 与 fyx 都在 D 上连续，证明：f xy 与 fyx 在 D上相等21 一个半径为 1，高为 3 的开口圆柱形水桶，在距底为 1 处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶
5、轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?21 求下列曲面所围成的立体的体积：22 z=1-x2-y2，z=0；23 z= (x2+y2)，x 2+y2=8x，z=024 求柱体 x2+y22x 被 x2+y2+z2=4 所截得部分的体积25 设平面薄片所占的区域 D 由抛物线 y=x2 及直线 y=x 所围成，它在(x，y)处的面密度 p(x，y)=x 2y，求此薄片的重心25 设平面区域 由 1 与 2 组成，其中， 1=(x，y)0ya-x ，0xa)，2=(x，y)ax+yb，x0，y0)，如图 16-1 所示，它的面密度试求26 该薄片 的质量 m；27 薄片 1 关于 y 轴的转动惯量
6、J1 与 2 关于原点的转动惯量 J0考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 如图 16-1 所示，用曲线 y=-sinx 将区域 D 划分为D1 和 D2 两部分，则 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，于是有由于区域 D 的面积与直线 y=0，y=1， 所围成矩形的面积相等，故 SD=，故应选(D)【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域由两部分组成(如图 16-2)设将 D=D1D2 视为 Y 型区域，则故应选(A)【知识模块】 多元函
7、数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由被积函数与积分区域的特点，选择在直角坐标下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分 在 xOy 面上的投影域Dxy： ，0x1 的上下边界曲面方程分别为 z=1-x-2y，z=0故【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 被积函数中出现 x2+y2积分区域的边界曲面方程中含有 x2+y2一般说来利用柱面坐标系计算三重积分较为简便，这是因为 x2+y2=r2 在 xOy 面上的投影域 Dxy：x 2+y2a2 用极坐标可表示为 Dr0：0ra，02 的上、下边界曲面方程为：z=a，z=r，故【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】
8、 C【试题解析】 在 D 内， 所以 ln(x+y)0【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 因为立体关于 zOy 面以及 zOx 面对称，故 V=4V1，其中 V1 为立体在第一卦限部分的体积V 1 在 xOy 面上的投影域为 Dxy：x 2+y22ax 且 y0此刻V1 可看作以 Dxy 为底，以球面 x2+y2+z2=4a2 为曲顶的曲顶柱体体积，由二重积分的几何背景可知【知识模块】 多元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 设连续函数 z=f(x，y) 关于 x 为奇函数 (f(x，y)-=f(x，y)或关于 x 为偶函数(f(-x，y)=f(x，
9、y) ，积分区域 D 关于 y 轴对称， D1 表示 D 的位于 y 轴右方的部分则有 同理当 z=f(x，y)关于 y 为奇函数或偶函数，积分区域 D 关于 x 轴对称也有类似的结论【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 f(0，0)【试题解析】 因被积函数 f(x，y)在闭区域 D：x 2+y2t2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：(1)用中值定理先去掉积分号再求极限；(2)用二次积分化分子为积分上限的函数 方法一 因 f(x，y)在 D：x 2+y2t2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 =f(，)=t2f(，)因(，) 在 D
10、：x 2+y2t2 上，所以当 t0 +时，(，)(0，0)，于是方法二 因【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 如图 16-3 所示，【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 在直角坐标系下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分 在xOy 面上的投影域 Dxy：x 2+y21， 的上、下边界曲面方程为 z=1-x2-y2，z=0于是【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积 SD=2，因为积分区域 D 关于直线 y=x
11、对称，则由二重积分的性质便有【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又分别关于 Oy 轴，Ox 轴对称；函数 ex-e-x，e y-e-y分别关于 x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 I 1-I2= p(x)p(y)g(y)f(x)-f(y)dxdy，由于 D 关于 x 与 y 对称，所以I1-I2 又可以写成因g(x)与 f(x)的单调性相同，所以f(x)-f(y)g(x)-g(y)0，从而知 I1-I20，有 I1I2【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 设 A= 两边求二重积分，
12、则 A=【试题解析】 这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难首先可以知道积分 f(u，v)dudv 是一个常数，因此 f(x，y)=，两边再求二重积分就可能解决了【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 记 ，则【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 要解决第二个问题，首先需要弄清楚以下几个要点：xx 0 时，f(x)与 g(x)为等价无穷大 无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式： ，此题 x1 -，故考虑用 于是，【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 (xy)xydy 中，
13、视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy ，当 y 从 0 变到 1 时，t从 0 变到 x，则于是也就是要证明 移项后就是要证明事实上，t t(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlnt(tlnt)=d(etlnt)，故【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 显见，I2(M-m) 【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 同理结论成立【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 用反证法设 P0(x0，y 0)D，有 fxy(x0，y 0)fyx(x0，y 0)，不妨设 fxy(x0，y 0)-fyx(x0，y 0)0由于 fxy(x，y)-f yx(x，y
14、)=f cy(x0，y 0)-fyx(x0，y 0)0，由极限的保号性， ，0，当 P(x，y) U(P0，)时有fxy(x，y)-f yx(x，y) 0【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 本题是典型的应用型计算题，也就是首先要考生根据题目的文字表达，翻译出数学表达式，然后进行计算需要指出的是，这种“动区域(也就是区域是随着某个参数变化而变化”的二重积分并不容易计算，而且本题还要求最值，需要用到导数工具总之，本题是一道综合性较强的题目，这类问题的区分度在考研中一直很高 首先，考生需要画出示意图显然，水桶竖直放立时，装水至水面高度为 1 时，水将从两小孔流出，此时装水量为 121=所
15、以要使水桶多盛水，通过水桶倾斜来增加盛水量用数学语言来描述，即过两孔连线做一张动平面，问题就是求出动平面与桶底、桶壁围成的部分有最大的体积如图 16-4 所示将两孔 A，B 连线，过此连线的平面方程为 z=ky+1，其中 k为参数设动平面与桶口唯一交点 M 的坐标为(0， 1，t) ，代入平面方程，得 k=t-1，则以 t 为参数的动平面的方程为 S：z=(t-1)y+1于是平面 S 与面 xOy 的交线为在倾斜水桶以改变盛水量时，要求此交线要始终在水桶底面上，故，于是可得参数 t 的取值范围是： 2t3，盛水量为其中Dt= ，且要求 2t3于是问题就翻译如下：V(t)单调增加，故【知识模块】
16、 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 投影区域 D 是(x-4) 2+y242，【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 V= ，其中 D=(x，y)x 2+y22x 且 y0)，用极坐标计算，在极坐标下 于是【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 设此薄片的重心为 ，则【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 根据重积分的分块可加性，得薄片 的质量注意到直线 y=a-x 与 y=b-x 在极坐标系中的方程为【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 薄片 1 关于 y 轴的转动惯量其中x 2e-xdx=-x2e-x+2xe-xdx=-x2e-x-2(x+1)e-x+C，C 为任意常数薄片 2 关于原点的转动惯量在极坐标系中计算得其中，由分部积分法得【知识模块】 多元函数积分学
