1、考研数学一（多元函数积分学）-试卷 1 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列曲线积分中，在区域 D：x 2 +y 2 0 上与路径无关的有( ) （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f(x，y)dy 为( )（分数：2.00）A. 0 e dy 0 lnx )f(x，y)dxB.C. 0 lnx dy 1 e f(x，y)dxD. 0 1 dy 4.设 f(x，y)连续，且 f(x，
2、y)=xy+ （分数：2.00）A.xyB.2xyC.xy+D.xy+15.f(rcos，rsin)rdr(a0)，则积分域为( ) （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2 B.x 2 +y 2 a 2 (x0)C.x 2 +y 2 axD.x 2 +y 2 ax(y0)6.设 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 a 2 上连续，则 （分数：2.00）A.不一定存在B.存在且等于 f(0，0)C.存在且等于 f(0，0)D.存在且等于7.设 I= （分数：2.00）A.I 1 I 3 I 1 B.I 1 I 2 I 3 C.I 3 I 1 I 2 D.I 3 I 2 I 1 8.设平
3、面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 3 I 1 I 2 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 2 I 1 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 z1，则 的形心的竖坐标 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设无穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线为 a 的单位质点 A 的引力为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.将 0 1 dy 0 y f(x 2 +y 2 )dx 化为极坐标下的二
4、次积分为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.积分 （分数：2.00）填空项 1:_15.交换二次积分的积分次序 1 0 dy 2 1y f(x，y)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.积分 （分数：2.00）填空项 1:_17.D 是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_19.设是锥面 z= （分数：2.00）填空项 1:_20.设 D 为不等式 0x3，0y1
5、 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设有一高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 z=h(t)一 （分数：2.00）_23.计算二重积分 （分数：2.00）_24.设函数 f(x)在 R 上具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，起点为(a，b)，终点为(c，d)记 （分数：2.00）_25.已知平面区域 D=(x，y)0x，0y，L 为 D 的正向边界试证： (1) L xe siny dyye sinx d
6、x= L xe siny dtye sinx dx (2) L xe siny dyye sinx dx2 2（分数：2.00）_26.设函数 f(x)连续且恒大于零， 其中 (t)=x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，D(t)=(x，y)x 2 +y 2 t 2 (1)讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性 (2)证明当 t0 时，F(t) （分数：2.00）_27.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_28.设 D：(x，y)x 2 +y ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数计算二重积分 （分数：2.00）_29.设函数 (y)
7、具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数(1)证明对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：2.00）_30.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 I= （分数：2.00）_31.设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t 2 一 f(x，y) 证明对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 L yf(x，y)dx 一 xf(x，y)dy=0（分数：2.00）_32.计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydx
8、cdy， 其中为曲面 z=1 一 x 2 一 （分数：2.00）_33.计算曲线积分 L sin2xdx+2(x 2 一 1)ydy，其中 L 是曲线 y=sinx 上从点(0，0)到点(，0)的一段（分数：2.00）_34.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_35.设 P 为椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 一 yz=1 上的动点，若 S 在点 P 的切平面与 xOy 面垂直，求 P 点的轨迹 C，并计算曲面积分 （分数：2.00）_36.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， (x，y)dxdy=a，其中D=(x，y)0x1，0y1，计
9、算二重积分 I= （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学）-试卷 1 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列曲线积分中，在区域 D：x 2 +y 2 0 上与路径无关的有( ) （分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：对于 成立，但不能断定该曲线积分在。内与路径无关，因为 D 不是单连通域，而3.交换积分次序 1 e dx 0 lnx f(x，y)dy 为( )（分数：2.00）A. 0 e dy 0 ln
10、x )f(x，y)dxB.C. 0 lnx dy 1 e f(x，y)dxD. 0 1 dy 解析：解析：交换积分次序得 1 e dx 0 lnx f(x，y)dy= 4.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：2.00）A.xyB.2xyC.xy+ D.xy+1解析：解析：5.f(rcos，rsin)rdr(a0)，则积分域为( ) （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2 B.x 2 +y 2 a 2 (x0)C.x 2 +y 2 ax D.x 2 +y 2 ax(y0)解析：解析：由 r=acos 知 r 2 =arcos，即 x 2 +y 2 =ax(a0)，而且
11、 6.设 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 a 2 上连续，则 （分数：2.00）A.不一定存在B.存在且等于 f(0，0)C.存在且等于 f(0，0) D.存在且等于解析：解析：由积分中值定理知7.设 I= （分数：2.00）A.I 1 I 3 I 1 B.I 1 I 2 I 3 C.I 3 I 1 I 2 D.I 3 I 2 I 1 解析：解析：同一积分域上二重积分大小的比较，只要比较被积函数的大小，而被积函数为同一函数 是大于 1 还是小于 1 由于直线 =1 与圆(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 =2 在点(2，2)处相切，则在区域 D：(x 一 1) 2 +(y 一 1)
12、 2 2 上， 8.设平面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 3 I 1 I 2 C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 2 I 1 解析：解析：显然在 D 上 0x+y1，则 ln(x+y) 3 0，0sin(x+y) 3 (x+y) 3 ，从而有 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 z1，则 的形心的竖坐标 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解
13、析：11.设无穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线为 a 的单位质点 A 的引力为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 63 所示取 L 为 x 轴，y 轴过点 A，在 L 上任意取小线段x，x+dx，它对点 A 的引力沿 y 轴方向分量为 dF y = 12.将 0 1 dy 0 y f(x 2 +y 2 )dx 化为极坐标下的二次积分为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 64 所示，则有13.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项
14、1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域可用极坐标表示为 14.积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：15.交换二次积分的积分次序 1 0 dy 2 1y f(x，y)dx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 2 dx 0 1x f(x，y)dy）解析：解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D：一 1y0，1 一 yx2(如图 65 所示)则有16.积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一 sin1）解析：解析： 17.D 是顶点分别为
15、(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*+sin1+cos12sin2 一 cos2）解析：解析：积分区域可以表示为 D=(x，y)0y1+x，0x1，则 (1+x)sinyd= 0 1 dx 0 1+x (1+x)sinydy= 0 1 (1+x)一(1+x)cos(1+x)dx 利用换元法，令 1+x=t，x0，1时，t1，2，则 18.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，积分区域如图 66 所示，则有19.设是锥面 z= （分数：2.00）填空项
16、 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：设 1 ：x=1，x 2 +y 2 1，取法向量方向朝上，则与 1 ，围成的区域为 V，那么 20.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，三、解答题(总题数：16，分数：32.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设有一高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 z=h(t)一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻雪堆的体积为 V(t)，侧面积为 S(t)先求
17、 S(t)与 V(t)的表达式)解析：23.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是正方形区域如图 69 所示因在 D 上被积函数分块表示 )解析：24.设函数 f(x)在 R 上具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，起点为(a，b)，终点为(c，d)记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)易知 Pdx+Qdy 存在原函数， )解析：25.已知平面区域 D=(x，y)0x，0y，L 为 D 的正向边界试证： (1) L xe siny dyye sinx dx= L xe siny dtye sinx dx (2) L xe siny
18、dyye sinx dx2 2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)左边= 0 e siny dy 0 e sinx dx= 0 (e sinx +e sinx )dx， 右边= 0 e siny dy 0 e sinx dx= 0 (e sinx +e sinx )dx， 所以 )解析：26.设函数 f(x)连续且恒大于零， 其中 (t)=x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，D(t)=(x，y)x 2 +y 2 t 2 (1)讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性 (2)证明当 t0 时，F(t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 0 t f(r
19、 2 )r 2 dr 0 t drf(r 2 )dr 一 0 t f(r 2 )rdr 2 0 令 g(t)= 0 t f(r 2 )r 2 dr 0 t f(r 2 )dr 一f(r 2 )rdr 2 ， 则 g“(t)=f(t 2 ) 0 t f(r 2 )(t 一 r) 2 dr0， 故 g(t)在(0，+)内单调增加 因为 g(t)在 t=0 处连续，所以当 t0 时，有 g(t)g(0)又 g(0)=0，故当 t0 时，g(t)0 因此，当 t0 时，F(t) )解析：27.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取为 xOy 平面上被圆 x 2 +y 2 =1
20、 所围部分的下侧，记 为由与 1 围成的空间闭区域则 )解析：28.设 D：(x，y)x 2 +y ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)0x 2 +y 2 1，x0，y0， )解析：29.设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数(1)证明对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)如图 610 所示，将 C 分解为：C=l 1 +l 2 ，另作一条曲线 l
21、3 围绕原点且与 C 相接，根据题设条件则有 )解析：30.设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 611 所示因为区域 D 关于 x 轴对称， )解析：31.设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t 2 一 f(x，y) 证明对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 L yf(x，y)dx 一 xf(x，y)dy=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在等式 f(tx，ty)=t 2 f(x，y)两边对 t 求导
22、得 xf“ 1 (tx，ty)+yf“ 2 (tx，ty)=一 2t 3 f(x，y) 令 t=1，则 xf“ 1 (x，y)+yf“ 2 (x，y)=一 2f(x，y)， (*) 设 P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=一 xf(x，y)，则 )解析：32.计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxcdy， 其中为曲面 z=1 一 x 2 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.计算曲线积分 L sin2xdx+2(x 2 一 1)ydy，其中 L 是曲线 y=sinx 上从点(0，0)到点(，0)的一段（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
23、：按曲线积分的计算公式直接计算 )解析：34.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.设 P 为椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 一 yz=1 上的动点，若 S 在点 P 的切平面与 xOy 面垂直，求 P 点的轨迹 C，并计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)切平面法向量 F x =2x，F y =2y 一 z，F z =2zy，因与 xOy 面垂直，所以 )解析：36.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， (x，y)dxdy=a，其中D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分
24、I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 首先考虑 0 1 xff“ xy (x，y)dx，注意这里是把变量 y 看做常数的，故有 0 1 xyf“ xy (x，y)dx=y 0 1 xdf“ y (x，y) =xyf“ y (x,y) 0 1 一 0 1 yf“ y (x,y)dx =yf“ y (1，y)一 0 1 yf“ y (x，y)dx 由 f(1，y)=f(x，1)=0 易知 f“(1，y)=f“(x，1)=0故 xyf“ xy (x,y)dx=一 yf“ y (x，y)dx 所以 xyf“ xy (x，y)dxdy=dyxyf“ xy (x，y)dx=一 dyyf“ y (x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得 一 0 1 dy 0 1 yf“ y (x,y)dx=一 0 1 dx 0 1 yf“ y (x，y)dy 再考虑积分 0 1 yf“ y (x，y)dy，注意这里是把变量戈看做常数的，故有 0 1 yf“ y (x，y)dy= 0 1 ydf(x,y) =yf(x,y) 0 1 一 0 1 f(x，y)dy =一 0 1 f(x，y)dy， 因此 xyf“ xy (x,y)dxdy= 0 1 dx 0 1 yf“ y (x,y)dy = 0 1 dx 0 1 f(x,y)dy = )解析：
