1、考研数学一（多元函数积分学）-试卷 8 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )（分数：2.00）A.当 m 为偶数，n 为奇数时，B.当 m 为奇数，n 为偶数时，C.当 m 为奇数，n 为奇数时，D.当 m 为偶数，n 为偶数时，3. （分数：2.00）A.cbaB.abcC.bacD.cab4.化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设三阶矩阵
2、A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 2 ，一 3 ，2 1 )，则 P 1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对7.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(EA)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是
3、矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值8.与矩阵 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等10.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 APBB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T
4、AQBC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB11.设为 x+y+z=1 在第一卦限部分的下侧，则 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.空间曲线 x=3t，y=3t 2 ，z=2t 3 从 O(0，0，0)到 A(3，3，2)的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 F=x 3 i+y 3 j+z 2 k，则在点(1，0，一 1)处的 divF 为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设是平面 在第一卦限部分的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设光滑曲面所围闭域 上，P(x，y，z)、
5、Q(x，y，z)、R(x，y，z)有二阶连续偏导数，且为 的外侧边界曲面，由高斯公式可知 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 u=x 2 +3y+yz，则 div(graau)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.求柱体 x 2 +y 2 2x 被 x 2 +y 2 +z 2 =4 所截得部分的体积（分数：2.00）_19.设平面薄片所占的区域 D 由抛物线 y=x 2 及直线 y=x 所围成，它在(x，y)处的面密度 (x，y)=x 2 y，求此薄片的重心（分数：2.00）_20.设
6、平面区域 由 1 与 2 组成，其中， 1 =(x，y)0yax，0xa， 2 =(x，y)ax+yb，x0，y0)，如图 161 所示，它的面密度 试求(1)该薄片 的质量m；(2)薄片 1 关于 y 轴的转动惯量 I 1 与 2 关于原点的转动惯量 J 0 （分数：2.00）_设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：10.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_(5). （分数：2.00）_21.设二次型 f2x 1 2 2x 2 2 ax 3 2 2x 1 x 2 2bx 1 x 3 2
7、x 2 x 3 经过正交变换 XQY 化为标准形 fy 1 2 y 2 2 4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_24.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)n（分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设函数 f(x)，g(x)在a,b上连续且单调增，证明： （分数：2.00）_28.设 f(x，y)是(x，y)x 2 +y 2 1)上的二阶
8、连续可微函数，满足 ，计算积分 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学）-试卷 8 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )（分数：2.00）A.当 m 为偶数，n 为奇数时，B.当 m 为奇数，n 为偶数时，C.当 m 为奇数，n 为奇数时，D.当 m 为偶数，n 为偶数时， 解析：解析：令 则 (1)当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(-1) m (一 1) n
9、=一 1，从而积分为零； (2)当 m 和 n 均为奇数时，(-1) m (一 1) n =1，从而 由于 上的奇函数，故积分为零总之，当 m 和 n 中至少一个为奇数时， 3. （分数：2.00）A.cba B.abcC.bacD.cab解析：解析：由于 D=(x，y)x 2 +y 2 1)，所以 由 cosx 在 上单调减少可得 4.化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 所以积分区域 D 是圆 x 2 +(y 一 1) 2 1 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为 5.设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特
10、征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 2 ，一 3 ，2 1 )，则 P 1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 ，一 3 ，2 1 也是特征值 1，2，一 1 的特征向量，所以 6.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对 解析：解析：令7.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(EA)n，则一 1 一定是矩
11、阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值解析：解析：若 r(EA)n，则EA0，于是一 1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为一 1，则 8.与矩阵 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)9.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的
12、秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等 解析：解析：(A)不对，如 ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)1；(B)不对，因为 AB 不一定保证A，B 可以对角化；(C)不对，如 ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 ；因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 ，于是10.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 APBB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T
13、 AQBC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB，选(D)11.设为 x+y+z=1 在第一卦限部分的下侧，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.空间曲线 x=3t，y=3t 2 ，z=2t 3 从 O(0，0，0)到 A(3，3，2)的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：13.已知 F=x 3 i+y 3 j+z 2 k，则在点(1，0，一 1)处的 di
14、vF 为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：设向量场 F=Pi+Qj+Rk，则在点 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )处 14.设是平面 在第一卦限部分的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：指定侧法向量 ，n 的方向余弦 由两类曲面积分的联系，15.设光滑曲面所围闭域 上，P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)有二阶连续偏导数，且为 的外侧边界曲面，由高斯公式可知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 因 P，Q，R 在 上有二阶连续偏导数，故 R yx “=
15、R xy “，Q zx “=Q xz “，P zy “=P yz “，从而 用高斯公式 16.设 u=x 2 +3y+yz，则 div(graau)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：三、解答题(总题数：13，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.求柱体 x 2 +y 2 2x 被 x 2 +y 2 +z 2 =4 所截得部分的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，其中 D=(x，y)x 2 +y 2 2x 且 y0，用极坐标计算，在极坐标下 于是 )解析：19.设平面薄片所占的区域 D 由抛物
16、线 y=x 2 及直线 y=x 所围成，它在(x，y)处的面密度 (x，y)=x 2 y，求此薄片的重心（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设此薄片的重心为 ，则 )解析：20.设平面区域 由 1 与 2 组成，其中， 1 =(x，y)0yax，0xa， 2 =(x，y)ax+yb，x0，y0)，如图 161 所示，它的面密度 试求(1)该薄片 的质量m；(2)薄片 1 关于 y 轴的转动惯量 I 1 与 2 关于原点的转动惯量 J 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)根据重积分的分块可加性，得薄片 的质量 注意到直线 y=a 一 x 与y=b 一 x 在极坐标系中的方程
17、为 因此，薄片 的质量为 (2)薄片 1 关于 y 轴的转动惯量 )解析：设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：10.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)n，对任意的 X0， X T (A T A)X(AX) T (AX)，令 AX，因为 r(A)n，所以 0，所以 (AX) T (AX) T 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定矩阵，所以 A T A 的特征值全大于零)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 165， 则 )解析：(3). （
18、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 16-6， 则 )解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 167，D=D 1 +D 2 ，其中 )解析：(5). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 168， )解析：21.设二次型 f2x 1 2 2x 2 2 ax 3 2 2x 1 x 2 2bx 1 x 3 2x 2 x 3 经过正交变换 XQY 化为标准形 fy 1 2 y 2 2 4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f2x 1 2 2x 2 2 ax 3 2 2x 1 x 2 2bx 1 x
19、3 2x 2 x 3 的矩阵形式为 fX T AX )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 所对应的二次型为 fX T AX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换XQY，使得 )解析：24.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(B T AB) T B T A T (B T )TB T AB，所以 B T AB 为对称矩阵， 设 B T
20、AB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X T B T ABX(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有BX0，或方程组 BX0 只有零解，所以 r(B)n 反之，设 r(B)n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X(BX) T A(BX)0， 所以 B T AB 为正定矩阵)解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设函数 f(x)，g(x)在a,b上连续且单调增，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f(x，y)是(x，y)x 2 +y 2 1)上的二阶连续可微函数，满足 ，计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
