1、考研数学一-高等数学多元函数积分学(二)及答案解析(总分：102.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：24，分数：24.00)1.设区域 D 为中心在原点，半径为 r 的圆域，则(A) r 2 (B) 1 (C) （分数：1.00）A.B.C.D.2.下列结论不正确的是(A) 若函数 f(x，y)在有界闭区域 D 上可积，则至少存在一点(，)D，使得，其中 S 为 D 的面积(B) 若函数 f(x，y)在有界闭区域 D 上连续，且 f(x，y)在 D 上的平均值为零，则至少存在一点(，)D，使得 f(，)=0(C) 设函数 f(x，y)在区域 D：(x-x 0)2+(y-y0)2
2、2上连续，则(D) 若函数 f(x，y)在区域 D 上连续，且满足 f(-x，-y)=-f(x，y)，则 （分数：1.00）A.B.C.D.3.设 L 是圆周 x2+y2=a2，且顺时针方向为正向，则(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.4.下列命题不正确的是(A) 若 L 为分段光滑曲线段，f(x，y)为 L 上的连续函数，则曲线积分 必定为常数值(B) 若分段光滑曲线段 L 关于 y 轴对称，f(x，y)为 L 上的连续函数，L 1为 L 位于 y 轴右侧的弧段，则(C) 若分段光滑曲线段 L 的方程关于 x，y 地位对称，f(x，y)为 L 上的连续函数，则必
3、有(D) 平面曲线 L 上的两类曲线积分之间的关系为（分数：1.00）A.B.C.D.5.下列结论设是柱面 x2+y2=a2介于平面 z=0 和 z=h(h0)之间的部分，由于在 xOy 面上的投影是圆周，其面积是零，故设是柱面 x2+y2=a2介于平面 z=0 和 z=h(h0)之间的部分，取外侧，由于在 xOy 面上的投影是圆周，其面积是零，故设为球面 x2+y2+z2=a2，由于关于 xOy 面对称，而函数 f(c，y，z)=z 关于 z 是奇函数，故设为球面 x2+y2+z2=a2，取外侧，由于关于 xOy 面对称，而函数 f(x，y，z)=z 关于 z 是奇函数，故（分数：1.00）
4、A.B.C.D.6.设 D1=(x，y)|x 2+y21，D 2=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，则下列等式中不成立的是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.7.下列结论正确的是(A) 设 ，其中 L 为 x2+y2=4，取逆时针方向，在区域 D：1x 2+y29 内满足 ，且 L 为 D 内的封闭曲线，则必有 I=0(B) 设 ，其中 L 为抛物线 y=x2-1 沿点 A(-1，0)到 B(2，3)的弧段由于 ，所以积分与路径无关，从而(C) 设 ，其中 为区域 G：x 2+y21 内连接点 A、B 的光滑曲线，由于区域 G 不是单连通区域，从而积分 I
5、与路径有关(D) 设 f(u)是可微函数，L 为逐段光滑任意封闭曲线，则必有（分数：1.00）A.B.C.D.8.下列结论设 为分段光滑的空问有向闭曲线，是以 为边界的分片光滑的有向曲面，则其中 cos，cos，cos 为有向曲面的单位外法线向量若函数 u(x，y，z)在空间区域 内具有二阶连续偏导数，则在 内 rot(gradu)=0设向量场 A(x，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k，其中 P、Q、R 在空间二维单连通区域 内具有一阶连续偏导数，则在 内 A 通过一侧的通量与无关的充要条件是在力内恒成立设向量场 A(x，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x
6、，y，z)j+R(x，y，z)k，其中 P、Q、R 在空间一维单连通区域 内具有一阶连续偏导数， （分数：1.00）A.B.C.D.9.设 f(x，y)是连续函数，下列必能使 （分数：1.00）A.B.C.D.10.下列命题中不正确的是(A) 设 f(u)有连续导数，则 在全平面与路径无关(B) 设 f(u)连续，则 在全平面与路径无关(C) 设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续一阶偏导数，又 ，则 在区域 D 内与路径无关(D) （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 f(x，y)为连续函数，则 可以写成(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.12
7、.下列命题若函数 f(x，y)在区域 D：axb，cyd 上的两个累次积分都存在，则它们必相等若函数 f(x，y)在区域 D：axb，cyd 上的两个累次积分都存在、且相等，则二重积分 ，y)dxdy 必存在若函数 f(x，y)在区域 D：axb，cyd 上二重积分存在，则它的两个累次积分必存在，且相等若函数 f(x，y)在区域 D 上的两个累次积分都不能用初等函数求出积分值，则二重积分 （分数：1.00）A.B.C.D.13.下列命题若 f(x，y)为有界闭区域 D 上的连续函数则二重积分 必定为常数值若函数 f(x，y)在有界闭区域 D 上除一点(，)外连续，则函数 f(x，y)在 D 上
8、可积若函数 f(x，y)在有界闭区域 D1上可积，且 D1 D2，则若函数 f(x，y)在区域 D 上连续，且对于任意的区域 D，都有 （分数：1.00）A.B.C.D.14.由球面 与锥面 所围立体的体积等于(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.15.下列计算结果设 L 为分段光滑的平面闭曲线，则设 ，其中 L 为 x2+y2=1 上自点 A(-1，0)到 B(1，0)的上半圆周，则设 ，其中 L 为 y2+y2=1，取逆时针方向，由于 ，所以运用格林公式得 I=0设 L 为任意一条包围原点的分段光滑曲线，L 的方向取逆时针方向，则（分数：1.00）A.B.C.D
9、.16.设 是由 x2+y2=z2及 z=1 围成的区域，则(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.17.下列命题不正确的是(A) 若曲面为分片光滑的，f(x，y，z)为上的连续函数，则曲面积分 必定为常数值(B) 若曲面关于 Oxy 坐标面对称，f(x，y，z)为上的连续函数， 1为位于 Oxy 坐标面上部的曲面，则(C) 若 为有界闭区域，为其边界曲面外侧，则总有高斯公式(D) 设 为分段光滑的空间有向闭曲线，是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与的侧符合右手规则，函数 P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在包含曲面在内的一个空间区域内具有一
10、阶连续偏导数，则有（分数：1.00）A.B.C.D.18.下列结论不正确的是(A) 设函数 f(x，y)在任何有限区域上连续，区域 D 为|x|a，|y|b，则(B) 设雨数 f(x)在任何有限区间上连续，则，其中 D：|x|a，|y|b(C) 设函数 f(x)在任何有限区间上连续，则(D) 设函数 f(x，y)在区域 D：axb，cyd 上连续，且 （分数：1.00）A.B.C.D.19.下列结论若 L 为 x 轴上从点(a，0)到点(b，0)的一段直线，且函数 P(x，y)在 L 上连续，则若 L 为 x=x0，0y1，函数 f(x，y)在 L 上连续，则若 L 为抛物线 y=x2从点 A
11、(1，1)到点 0(0，0)的一段，则设函数 P(x，y)、Q(x，y)在光滑曲线弧 L 上连续，则式中 L0为曲线弧 L 的长度， （分数：1.00）A.B.C.D.20.下列结论设曲面为 x2+y2+z2=a2的外侧，则设 ，其中为球面 x2+y2+z2=a2的外侧，则运用高斯公式有设为分片光滑的闭曲面的外侧，则若表示半球面 x2+y2+z2=R2，z0 的上侧，则曲面积分 （分数：1.00）A.B.C.D.21.设 （分数：1.00）A.B.C.D.22.设 D 是 xOy 平面上有界闭区域，则下列命题若 f(x，y)在 D 上连续，且 f(x，y)0(x，y)D)，则若 f(x，y)在
12、 D 上可积，f(x，y)0，0(x，y)D)，则若 f(x，y)在 D 上连续，f(x，y)0，0(x，y)D)，则在 D 上 f(x，y)d0若 f(x，y)在 D 上可积，且 （分数：1.00）A.B.C.D.23.下列命题正确的是(A) 若 D 为有界闭区域，L 为其边界曲线正向，则总有格林公式(B) 若 ，则曲线积分 必定与积分路径无关，可以选择平行于坐标轴的折线段作为积分路径以简化运算(C) 若在区域 D 内总有 ，则对于 D 内任意一条封闭曲线 L，总有(D) 若在单连通区域 G 内，P(x，y)，Q(x，y)有一阶连续偏导数，且 P(x，y)dx+Q(x，y)dy 为函数u(x
13、，y)的全微分的充分必要条件为 在 G 内恒成立此时 u(x，y)总可以表示为或 或 （分数：1.00）A.B.C.D.24.下列计算正确的是(A) 设 L 为 y2=4x 上自 A(1，2)到 B(0，0)的弧段，则(B) 设 L 为半网 x2+y2=1，x0，则(C) 设曲线弧 L 的参数方程为 x=(t)，y=(t)(t)，其中 (t)、(t)在，上具有一阶连续导数，函数 f(x，y)在 L 上连续，则其中 (D) 若 L 为光滑的平面封闭曲线，它的外法线方向 n 与 x 轴正向的夹角记为 ，则（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：23，分数：23.00)25.设 为 ，
14、则三重积分 （分数：1.00）填空项 1:_26.设 n 是曲面 （分数：1.00）填空项 1:_27.设曲面为 x2+y2+z2=4，则 （分数：1.00）填空项 1:_28.设 D 是 xOy 平面内的均匀薄片，其面积为 A，又已知 （分数：1.00）填空项 1:_29.设曲面为平面 x-y-z+1=0 在第二卦限取上侧， （分数：1.00）填空项 1:_30.设 x=rcos，y=rsin，把下述直角坐标系中累次积分之和化为极坐标系(r，)中的累次积分，则（分数：1.00）填空项 1:_31.设 L 为圆周 则 （分数：1.00）填空项 1:_32. （分数：1.00）填空项 1:_33
15、. （分数：1.00）填空项 1:_34.设 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z=2，z=8 所围的立体，则 （分数：1.00）填空项 1:_35.设 L 为曲线|x|+|y|=1，则 （分数：1.00）填空项 1:_36.若 L 为|x|+|y|=1，方向逆时针，则 （分数：1.00）填空项 1:_37. （分数：1.00）填空项 1:_38.设 L 为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分 （分数：1.00）填空项 1:_39.已知 D 是由 y=1-x2，x-y+1=0，x+y-1=0 所围成的平面区域，则 （分数：1.00）填
16、空项 1:_40.已知区域 D=(x，y)|x 2+y21，则 （分数：1.00）填空项 1:_41.设常数 a0， ，D 是全平面，则 （分数：1.00）填空项 1:_42. （分数：1.00）填空项 1:_43.交换积分次序： （分数：1.00）填空项 1:_44.向量 v=x，y，z 穿过圆锥体 z2x 2+y2(0zh)的整个表面的流量为 1（分数：1.00）填空项 1:_45.交换积分的次序： （分数：1.00）填空项 1:_46.已知 （分数：1.00）填空项 1:_47.设 L 是椭圆 ，其周长为 a，则 （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：55.00
17、)48.计算 ，其中 是由 （分数：5.00）_49.计算 （分数：5.00）_50.计算 （分数：5.00）_设 ，（分数：5.00）(1).分别在 y0 与 x0 且(x，y)(-1，0)时讨论积分*是否与路径无关（分数：2.50）_(2).求*，其中 L 为以原点为圆心半径为 2 的圆周，取逆时针方向；（分数：2.50）_51.计算 （分数：5.00）_52.计算 ，其中为锥面 （分数：5.00）_53.计算 （分数：5.00）_54.设 f(u)是连续函数，D 是由 y=x3，y=1，x=-1 所围成的区域，计算二重积分（分数：5.00）_求下列曲面的面积：（分数：5.00）(1).半
18、球面*及旋转抛物面 2az=x2+y2所围立体的表面积；（分数：2.50）_(2).锥面*被柱面 2x=z2所割下部分的面积（分数：2.50）_55.设 f(y)连续，(t)连续，且 ，L：x 2+y2=1，D 为 L 所围区域，计算（分数：5.00）_56.计算 （分数：5.00）_考研数学一-高等数学多元函数积分学(二)答案解析(总分：102.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：24，分数：24.00)1.设区域 D 为中心在原点，半径为 r 的圆域，则(A) r 2 (B) 1 (C) （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由积分中值定理可知，D 内至少存在一点(，
19、)，使得于是原式=2.下列结论不正确的是(A) 若函数 f(x，y)在有界闭区域 D 上可积，则至少存在一点(，)D，使得，其中 S 为 D 的面积(B) 若函数 f(x，y)在有界闭区域 D 上连续，且 f(x，y)在 D 上的平均值为零，则至少存在一点(，)D，使得 f(，)=0(C) 设函数 f(x，y)在区域 D：(x-x 0)2+(y-y0)2 2上连续，则(D) 若函数 f(x，y)在区域 D 上连续，且满足 f(-x，-y)=-f(x，y)，则 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 对于(A)：由上题的命题之例可知(A)不正确其他三项显然正确因此应选(A)3.设 L 是
20、圆周 x2+y2=a2，且顺时针方向为正向，则(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于(A)：由题中所给 L 的方向是顺时针方向，因此，二重积分之前应加“-”号故(A)不正确对于(B)：在 中，P=-x 2y，Q=y 2x，而不是 P=y2x，Q=-x 2y，(B)不正确对于(C)：在利用格林公式 计算曲线积分时，公式两端积分变量取值范围不同，即左端曲线积分中的点在积分路径上变动，其坐标满足曲线方程，而右端二重积分中的点在平面域内变动，其坐标只是满足一个联立不等式组题中二重积分被积函数直接用积分路径代替显然不对，故(C)不正确由排除法可知，应选(D)
21、实事上，由于 y2x，-x 2y 具有一阶连续偏导数，并注意到 L 的方向，根据格林公式得4.下列命题不正确的是(A) 若 L 为分段光滑曲线段，f(x，y)为 L 上的连续函数，则曲线积分 必定为常数值(B) 若分段光滑曲线段 L 关于 y 轴对称，f(x，y)为 L 上的连续函数，L 1为 L 位于 y 轴右侧的弧段，则(C) 若分段光滑曲线段 L 的方程关于 x，y 地位对称，f(x，y)为 L 上的连续函数，则必有(D) 平面曲线 L 上的两类曲线积分之间的关系为（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于(A)：由对弧长的曲线积分的定义可知，它表示一个和式的极限值，故(A)正
22、确对于(B)：由定积分的对称性质可知，(B)正确常可用此性质来简化曲线积分运算对于(C)：利用变量替换可以证明(C)正确常称之为曲线积分对于坐标的轮换对称性对于(D)：公式中 、 为点(x，y)处 L 的切向量的方向角，切向量与 L 是同向的若改变 L 的方向，则切向量的方向角由补角取代，方向余弦变号，从而积分值改变符号也就是说当 L 改变方向时，被积函数Pcos+Qcos 发生变化，引起积分值变号，而不能说对弧长的曲线积分具有方向性故(D)不正确综上分析，应选(D)5.下列结论设是柱面 x2+y2=a2介于平面 z=0 和 z=h(h0)之间的部分，由于在 xOy 面上的投影是圆周，其面积是
23、零，故设是柱面 x2+y2=a2介于平面 z=0 和 z=h(h0)之间的部分，取外侧，由于在 xOy 面上的投影是圆周，其面积是零，故设为球面 x2+y2+z2=a2，由于关于 xOy 面对称，而函数 f(c，y，z)=z 关于 z 是奇函数，故设为球面 x2+y2+z2=a2，取外侧，由于关于 xOy 面对称，而函数 f(x，y，z)=z 关于 z 是奇函数，故（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 不正确，正确这里涉及到两类曲面积分的计算方法中的一个重要区别计算两类曲面积分的基本方法，虽然都是先把积分曲面投影到某一坐标平面上(设投影区域为 D)，然后计算 D 上的某个二重积分，但
24、是，究竟应将向哪个坐标平面投影，两类曲面积分所依据的条件是不一样的对第一类曲面积分 来说，是根据积分曲面的方程的形式来确定将向哪个坐标面投影的如果的方程可写成 z=z(x，y)的形式，则将向 xOy 面投影；如果的方程可写为 y=y(x，z)(或 x=x(y，z)的形式，则将向 xOz 面(或 yOz 面)投影若的方程可同时表为几种不同的形式，则可选择其中最便于计算的投影方式(只讨论的方程为显式方程时曲面积分的计算方法，因此上面的讨论也限于显式方程的范围内)本题中，由于是柱面 x2+y2=a2的一部分，它的方程不能写成 z=z(x，y)的形式，故计算时不能将向 xOy 面投影正确的做法是，将圆
25、柱面分片向 yOz 面(或 xOz 面)投影比如可将分为 1和 2两片，其中 1： ； 2： ，于是计算结果未必为零故不正确而对第二类曲面积分来说，是根据所给积分的形式来确定将积分曲面向哪个坐标面投影的计算对坐标x，y 的曲面积分 时，是将向 xOy 面投影；而计算 和 时，则将分别向 yOz 面和 xOz面投影本题中的积分 I2是关于坐标 x，y 的第二类曲而积分，因此化为二重积分计算时，应将向 xOy面投影由于为柱面 x2+y2=a2的一部分，它在 xOy 面上的投影是圆周，其面积是零，因此必有 I2=0故正确正确，不正确这里涉及计算两类曲面积分时，在利用对称性方面的重要区别第一类曲面积分
26、的积分曲面是无向的(即不定侧的)，它的值只取决于被积函数和积分曲面两个因素，与积分曲面的侧，即曲面在各点处的法向量的指向无关，因此考虑对称性比较容易，只需考虑被积函数和积分曲面的几何形状这两方面的对称性就可以了本题中对积分 I3的对称性的讨论和结论都是正确的第二类曲面积分的积分曲面是有向的(即定侧的)，因此它的值不仅与被积函数和积分曲面的几何形状有关，还与积分曲面的侧有关，即还与积分曲面的各点处的法向量的指向有关因此在考虑积分的对称性时，不仅要考虑被积函数和积分曲面的几何形状这两方面的对称性，还要顾及积分曲面上的对称部分处的法向量的指向情况，这就比较麻烦了，如果不慎即会导致计算错误因此在计算第
27、二类曲面积分时，要慎用对称性一般应在化为二重积分后，再看是否可利用对称性来简化二重积分的计算事实上，本题中的 I4并不等于零，这可通过化为二重积分的计算方法，或利用高斯公式，方便地算得6.设 D1=(x，y)|x 2+y21，D 2=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，则下列等式中不成立的是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 (A)正确因为积分区域对称于 y 轴，而被积函数是关于 x 的奇函数，所以积分值为零(B)、(D)正确因为积分区域对称于 x 轴和 y 轴，被积函数关于 x、y 都是偶函数，利用对称性可知该两项正确(C)不成立因为积分区域虽
28、对称于 x 轴和 y 轴，但被积函数关于 x、y 都是奇函数，因此等式左端的积分值应为 0，而右端的积分值大于零故应选(C)7.下列结论正确的是(A) 设 ，其中 L 为 x2+y2=4，取逆时针方向，在区域 D：1x 2+y29 内满足 ，且 L 为 D 内的封闭曲线，则必有 I=0(B) 设 ，其中 L 为抛物线 y=x2-1 沿点 A(-1，0)到 B(2，3)的弧段由于 ，所以积分与路径无关，从而(C) 设 ，其中 为区域 G：x 2+y21 内连接点 A、B 的光滑曲线，由于区域 G 不是单连通区域，从而积分 I 与路径有关(D) 设 f(u)是可微函数，L 为逐段光滑任意封闭曲线，
29、则必有（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于(A)：尽管在 D 内 ，但由于 D 不是单连通区域，不能应用积分与路径无关的结论故(A)不正确若令 x=2cost，y=2sint(0t2)，则对于(B)：由曲线弧 L 及直线段 AC、CB 所围成的闭区域 D 包含原点，而被积函数在原点无定义，也就不连续，故不能应用积分与路径无关的结论经计算得而 因此(B)不正确对于(C)：设 L 为区域 G 内任意分段光滑的封闭曲线(取正向)，若 L 不包含 x2+y2=1，则据格林公式得若 L 包含 x2+y2=1，取 r1，作圆 x2+y2=r2含于 L，则有由于沿 G 内任意封闭曲线积分为零
30、，故 I 与路径无关因此(C)不正确这说明在单连通区域 G 内仅是积分与路径无关的充分条件，而非必要条件对于(D)：由于 在全平面上处处成立，故积分与路径无关，从而8.下列结论设 为分段光滑的空问有向闭曲线，是以 为边界的分片光滑的有向曲面，则其中 cos，cos，cos 为有向曲面的单位外法线向量若函数 u(x，y，z)在空间区域 内具有二阶连续偏导数，则在 内 rot(gradu)=0设向量场 A(x，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k，其中 P、Q、R 在空间二维单连通区域 内具有一阶连续偏导数，则在 内 A 通过一侧的通量与无关的充要条件是在力内恒成立
31、设向量场 A(x，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k，其中 P、Q、R 在空间一维单连通区域 内具有一阶连续偏导数， （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 不正确因为斯托克斯公式中空间曲线 的正向与曲面的侧应符合有手规则不正确正确结论为 rot(gradu)=0事实上， 正确对力内的任一光滑闭曲面(取外侧)，设 n 为在点(x，y，z)的外法线单位向量，则 ，所以 A 流向外侧的流量为零的充要条件为它的散度 divA=0正确对 内的任一光滑闭曲线 ，为 张成的光滑曲面，设，的正向与的侧符合右手规则，则由斯托克斯公式n 为上点(x，y，z)处的单位法向
32、量，据此可推出9.设 f(x，y)是连续函数，下列必能使 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 要使等式成立，函数 f(x，y)应分别是 x 与 y 的偶函数，也就是说应同时有 f(-x，y)=f(x，y)和 f(x，-y)=f(x，Y)，所以选(B)10.下列命题中不正确的是(A) 设 f(u)有连续导数，则 在全平面与路径无关(B) 设 f(u)连续，则 在全平面与路径无关(C) 设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续一阶偏导数，又 ，则 在区域 D 内与路径无关(D) （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 根据积分与路径无关的判别法则可知(C)不正确在(C
33、)的条件下，若又有区域 D 是单连通的，则 在区域 D 内与路径无关若 D 不是单连通，则 不一定与路径无关对于(A)：令 P(x，y)=f(x 2+y2)x，Q(x，y)=f(x 2+y2)y，则 ，因为全平面是单连通区域，所以(A)正确对于(B)：令 u=x2+y2，则 du=2(xdx+ydy)，因为 f(u)连续，所以 存在此时 dF(u)=f(u)du=f(x2+y2)2(xdx+ydy)，故 ，因此(B)正确对于(D)：取 L 为单位圆 x2+y2=1，逆时针方向，则11.设 f(x，y)为连续函数，则 可以写成(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C. D.解
34、析：解析 设 x=rcos，y=rsin，则在极坐标下的积分区域 D= ，直角坐标下可表示为D=(x，y)|x 2+y2x=(x，y)|0x1，12.下列命题若函数 f(x，y)在区域 D：axb，cyd 上的两个累次积分都存在，则它们必相等若函数 f(x，y)在区域 D：axb，cyd 上的两个累次积分都存在、且相等，则二重积分 ，y)dxdy 必存在若函数 f(x，y)在区域 D：axb，cyd 上二重积分存在，则它的两个累次积分必存在，且相等若函数 f(x，y)在区域 D 上的两个累次积分都不能用初等函数求出积分值，则二重积分 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 对于：例如函
35、数 当 0x1 时，由于所以从而同理敞不正确对于：例如函数 其中 p1、p 2都是与正整数 q 互质的整数，在区域 D：0x1，0y1 上因定y，则有(i)当 y 为无理数时 ；(ii)当 y 为有理数 时，在0，1内 的点只有有限个，即仅在有限个点处 f(x，y)0，因此从而 同理， 但是容易证明二重积分 不存在故不正确对于：例如函数 其中 p、q、m、n0 均为整数，且 p 与 m 互质，q 与 n 互质，可以验证函数f(x，y)在区域 D：0x1，0y1 上可积，且但是，对于 ，当 y 为无理数时 f(x，y)=0；当 由此可知 不存在，从而 不存在同理 也不存在故不正确对于：例如函数
36、在区域 D：x 2+y2R 2，x0，y0 上两个累次积分都不能利用初等函数求出积分值，但在极坐标系下有13.下列命题若 f(x，y)为有界闭区域 D 上的连续函数则二重积分 必定为常数值若函数 f(x，y)在有界闭区域 D 上除一点(，)外连续，则函数 f(x，y)在 D 上可积若函数 f(x，y)在有界闭区域 D1上可积，且 D1 D2，则若函数 f(x，y)在区域 D 上连续，且对于任意的区域 D，都有 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 对于：由二重积分的定义可知该命题正确对于：例如函数 在闭区域 D：x 2+y21 上除点(0，0)外连续，但 f(x，y)在 D 上无界，
37、从而不可积故不正确对于：例如函数 其中区域 D1：0x2，0y1；D 2：0x1，0y1，显然 D1 D2，但却有故不正确对于：假设存在点 P0(x0，y 0)D，使得 f(x0，y 0)0，不妨设 f(x0，y 0)=C0，据 f(x，y)在 D 上的连续性知，存在 0，当(x，y)U(P 0，)时 ，因此14.由球面 与锥面 所围立体的体积等于(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 利用对称性可知，所同立体的体积 V 为在第一卦限部分的体积 V1的四倍而第一卦限部分在 xOy 平面上的投影区域为 D：x 2+y21，x0，y0，所以15.下列计算结果
38、设 L 为分段光滑的平面闭曲线，则设 ，其中 L 为 x2+y2=1 上自点 A(-1，0)到 B(1，0)的上半圆周，则设 ，其中 L 为 y2+y2=1，取逆时针方向，由于 ，所以运用格林公式得 I=0设 L 为任意一条包围原点的分段光滑曲线，L 的方向取逆时针方向，则（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 正确应用格林公式可知，三个积分值均为 L 所同平面罔形的面积不正确格林公式中封闭曲线 L 为正向，即逆时针方向正确结论为 不正确因为本题中 在点(0，0)不存在，因此不能直接运用格林公式求，I正确选取适当小的 r0，以原点(0，0)为中心，r 为半径作圆周 l，使 l 位于 L
39、 所包围的区域之内，l 的方向取顺时针，在 L 与 l 所围闭区域上应用格林公式于是 16.设 是由 x2+y2=z2及 z=1 围成的区域，则(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因(A)的被积函数对 x 为奇函数，积分域对称于 yOz 坐标面；(B)的被积函数对 y 为奇函数，积分域对称于 zOx 坐标面，故17.下列命题不正确的是(A) 若曲面为分片光滑的，f(x，y，z)为上的连续函数，则曲面积分 必定为常数值(B) 若曲面关于 Oxy 坐标面对称，f(x，y，z)为上的连续函数， 1为位于 Oxy 坐标面上部的曲面，则(C) 若 为有界闭区域
40、，为其边界曲面外侧，则总有高斯公式(D) 设 为分段光滑的空间有向闭曲线，是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与的侧符合右手规则，函数 P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 对于(A)：由对面积的曲面积分的定义可知，它表示和式的极限18.下列结论不正确的是(A) 设函数 f(x，y)在任何有限区域上连续，区域 D 为|x|a，|y|b，则(B) 设雨数 f(x)在任何有限区间上连续，则，其中 D：|x|a，|y|b(C) 设函数 f(x)在任何有限区间上连续，则(D) 设函
41、数 f(x，y)在区域 D：axb，cyd 上连续，且 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 对于(A)：例如函数 f(x，y)=xy 2，有故(A)不正确对于(B)：由于故(B)正确对于(C)：交换积分次序并变换变量记号，得故(C)正确对于(D)：由于函数 在矩形域 D 上连续，所以19.下列结论若 L 为 x 轴上从点(a，0)到点(b，0)的一段直线，且函数 P(x，y)在 L 上连续，则若 L 为 x=x0，0y1，函数 f(x，y)在 L 上连续，则若 L 为抛物线 y=x2从点 A(1，1)到点 0(0，0)的一段，则设函数 P(x，y)、Q(x，y)在光滑曲线弧 L 上
42、连续，则式中 L0为曲线弧 L 的长度， （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 显然是正确的不正确因为 不正确因为将对坐标的曲线积分化成定积分时，下限对应于 L 的起点，上限对应于 L 的终点，所以正确令 F(x，y)=P(x，y)i+Q(x，y)j，dL=dxi+dyj，则 M， ，从而20.下列结论设曲面为 x2+y2+z2=a2的外侧，则设 ，其中为球面 x2+y2+z2=a2的外侧，则运用高斯公式有设为分片光滑的闭曲面的外侧，则若表示半球面 x2+y2+z2=R2，z0 的上侧，则曲面积分 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 不正确实际上，不正确在高斯公式中计算三重积分时，被积函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2中的变量 x，y，z 在区域 内取值，并不是仅在曲面上取值，因此不能将曲面的方程代入被积函数表达式中故不正确事实上，正确应用高斯公式可知，所列四个曲面积分都等于所围立体的体积正确设 0为 z=0(x2+y2R 2)的下侧，则 ，沿封闭曲面+ 0应用高斯公式21.设 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 D=
