1、考研数学一（多元函数积分学）-试卷 7 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设是曲面 被 z=1 割下的有限部分，则曲面积分 的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列命题中不正确的是 ( )（分数：2.00）A.设 f(u)有连续导数，则 L (x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关B.设 f(u)连续，则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关C.设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D
2、 内有连续的一阶偏导数，又 D.在区域 D=(x，y)(z，y)(0，0)上与路径有关4.设曲线 L 是区域 D 的正向边界，那么 D 的面积为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设力 f=2i-j+2k 作用在一质点上，该质点从点 M 1 (1，1，1)沿直线移动到点 M 2 (2，2，2)，则此力所做的功为 ( )（分数：2.00）A.2B.-1C.3D.46.设曲线积分 L f(x)-e x sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设为球面 x 2 +y
3、2 +z 2 =1 的外侧，下面 4 个结论： （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个8.设为球面(x-1) 2 +y 2 +(z+1) 2 =1，则第一型曲面积分 （分数：2.00）A.4B.2C.D.09.设 L 是摆线 （分数：2.00）A.-B.C.2D.-2二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.设一个矢量场 A(x，y，z)，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比(比例常数为 k)，方向指向原点，则 divA= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设由平面图形 axb，0yf(x)绕 x 轴旋转
4、所成旋转体 的密度为 1，则该旋转体 对 x 轴的转动惯量为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 L 为双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )的全弧段，常数 a0，则 L yds= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(u)具有连续的一阶导数，L AB 为以 为直径的左上半个圆弧，从 A 到 B，其中点 A(1，1)，点 B(3，3)则第二型曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 S 为椭球面 （分数：2.00）填空项 1:_16.设封闭曲面 S：x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R0)，法向量向外，则 （分数：2.00）填空项
5、1:_三、解答题(总题数：12，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设某曲线 L 的线密度 =x 2 +y 2 +z 2 ，其方程为 x=e“cost，y=e“sint，z= （分数：6.00）(1).求曲线 L 的弧长 l；（分数：2.00）_(2).求曲线 L 对 Oz 轴的转动惯量 J；（分数：2.00）_(3).求曲线 L 对位于原点处质量为 m 的质点的引力(k 为引力常数)（分数：2.00）_18.设有球面：x 2 +y 2 +z 2 =2x，其面密度为 (x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 ，试求该球面的质量（分数：2.00）_19.设函
6、数 （分数：2.00）_20.设函数 f(z)具有一阶连续导数，且 f(1)=1，D 为不包含原点的单连通区域，在 D 内曲线积分 与路径无关，求 f(y)；(2)在(1)的条件下，求 （分数：2.00）_21.设曲线 C：y=sinx，0x，证明： （分数：2.00）_22.设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 L f(x，y)dx+xcosydy 在全平面与路径无关，且 （分数：2.00）_23.设曲线 C：x 2 +y 2 +x+y=0，取逆时针方向，证明： （分数：2.00）_24.设 L 是平面单连通有界区域 的正向边界线，n 0 是 L 上任一点(x，y)处的单位外法向量
7、设平面封闭曲线 L 上点(x，y)的矢径 r=xi+yj，r=r， 是 n 0 与 r 的夹角，试求 （分数：2.00）_25.求矢量 A(x，y，z)=i+zj+ k 穿过曲面的通量，其中为曲线 （分数：2.00）_26.设函数 f(x)在0，+)上连续，若对任意的 t(0，+)恒有 其中 (t)=(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，D(t)是 (t)在 xOy 平面上的投影区域，(t)是球域 (t)的表面，L(t)是 D(t)的边界曲线证明：f(x)满足 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).通过 （分数：2.00）_(2).求极限 （分数：2.00）_考研数学
8、一（多元函数积分学）-试卷 7 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设是曲面 被 z=1 割下的有限部分，则曲面积分 的值为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设 1 为在第一卦限部分的曲面， 1 ：z= D xy ：x 2 +y 2 1，x0，y0，用极坐标表示 D r ：0r1，0 ，所以 因为关于 yOz 面，zOx 面对称，函数yz关于变量 z 或 Y 都为偶函数，故 3.下列命题中不正确的是 ( )（分数：2.00）A
9、.设 f(u)有连续导数，则 L (x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关B.设 f(u)连续，则 L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)在全平面内与路径无关C.设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 D.在区域 D=(x，y)(z，y)(0，0)上与路径有关解析：解析：对于(A)，令 P(x，y)=xf(x 2 +y 2 )，Q(x，y)=yf(x 2 +y 2 )，则 =2xyf“(x 2 +y 2 )，=2xyf“(x 2 +y 2 )，其中 f“(x 2 +y 2 )= ，全平面是单连通区域，故 L Pdx+Qdy 在全平面内与路
10、径无关(A)正确 对于(B)，可求得被积函数的原函数为 因而， L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)与路径无关(B)正确 对于(C)，因区域 D 不一定是单连通区域，故(C)中积分不一定与路径无关(C)不正确 对于(D)，取 L 为单位圆 x 2 +y 2 =1，并取逆时针方向，则 4.设曲线 L 是区域 D 的正向边界，那么 D 的面积为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查用第二型曲线积分求平面面积，是一种比较新颖的提法，但是内容是经典的，主要看考生能否抓住数学知识之间的联系 (1)令 P=-y，Q=x，则由格林公式得 (2)令 P=-y，Q=0，则由
11、格林公式得 (3)令 P=0，Q=x，由格林公式得5.设力 f=2i-j+2k 作用在一质点上，该质点从点 M 1 (1，1，1)沿直线移动到点 M 2 (2，2，2)，则此力所做的功为 ( )（分数：2.00）A.2B.-1C.3 D.4解析：解析：因为 W=f.s.cos，故 W=6.设曲线积分 L f(x)-e x sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：P=f(x)-e x siny， Q=-f(x)cosy积分与路径无关，则 ，即f(x)-e x cos
12、y=-f“(x)cosy又由 f(0)=0 解得 f(x)= 7.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 的外侧，下面 4 个结论： （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：解析：由对称性得 由高斯公式得 (由积分区域的对称性及被积函数的奇偶性) 同理8.设为球面(x-1) 2 +y 2 +(z+1) 2 =1，则第一型曲面积分 （分数：2.00）A.4 B.2C.D.0解析：解析： 是球面(x-1) 2 +y 2 +(z+1) 2 =1 的形心坐标公式，而球面的形心在球心(1，0，-1)处，故 9.设 L 是摆线 （分数：2.00）A.- B.C.2D.-2解析
13、：解析：设 ，故曲线积分与路径无关使用路径无关选路法，令 L 1 ：y= ，则 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式11.设一个矢量场 A(x，y，z)，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比(比例常数为 k)，方向指向原点，则 divA= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设由平面图形 axb，0yf(x)绕 x 轴旋转所成旋转体 的密度为 1，则该旋转体 对 x 轴的转动惯量为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
14、解析：解析：13.设 L 为双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )的全弧段，常数 a0，则 L yds= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由双纽线的对称性及y为 y 的偶函数，记 L 1 为 L 在第一象限部分，有与二重积分类似的性质 L yds=4 L1 dx 在极坐标中，ds= 其中 L 1 的极坐标方程为 r 2 =a 2 cos2，r=r()= ，于是经化简之后， 14.设 f(u)具有连续的一阶导数，L AB 为以 为直径的左上半个圆弧，从 A 到 B，其中点 A(1，1)，点 B(3，3)则第二型曲线积分 （分数
15、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3+4）解析：解析：添直线段 (即半圆的直径从 B 到 A)，有 其中 L AB 围成的有界区域，记为 D=(x，y)(x-2) 2 +(y-2) 2 为负向由格林公式 15.设 S 为椭球面 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：37A）解析：解析：(2x+3y) 2 +(6z-1) 2 =4x 2 +9y 2 +36z 2 +12xy-12z+1， 由于 S 分别对称于三个坐标平面，所以 又在 S 上 4x 2 +9y 2 +36z 2 =36，所以 原积分= 16.设封闭曲面 S：x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (
16、R0)，法向量向外，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：以 S 的方程代入被积函数，得 令 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，由高斯公式， 三、解答题(总题数：12，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设某曲线 L 的线密度 =x 2 +y 2 +z 2 ，其方程为 x=e“cost，y=e“sint，z= （分数：6.00）(1).求曲线 L 的弧长 l；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线的弧微分 ds= =2e t dt，于是 曲线 L 的弧长 l= )解析：(2).求曲线 L
17、 对 Oz 轴的转动惯量 J；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在曲线 L 上，有 x 2 +y 2 =e 2t ，x 2 +y 2 +z 2 =3e 2t ，则曲线 L 对 Oz 轴的转动惯量 )解析：(3).求曲线 L 对位于原点处质量为 m 的质点的引力(k 为引力常数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 L 对位于原点处质量为 m 的质点的引力为 F=F x i+F y j+F z k，则有 )解析：18.设有球面：x 2 +y 2 +z 2 =2x，其面密度为 (x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 ，试求该球面的质量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
18、：由于关于 xOy 面，xOz 面均对称，故 其中 1 是在第一卦限的部分故 其中 D xy ：(x-1) 2 +y 2 1，y0 )解析：19.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 为单连通区域，P(x，y)，Q(x，y)在 D 内有连续的偏导数，故 L Pdx+Qdy 在 D 上与路径无关 D而 简化得 xr +xy 2 r -2 +x 3 r -2 =0，r 2 +y 2 +x 2 =0，又 =-1 )解析：20.设函数 f(z)具有一阶连续导数，且 f(1)=1，D 为不包含原点的单连通区域，在 D 内曲线积分 与路径无关，求 f(y)；(2)在(1)的条件下，求
19、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)根据积分与路径无关定理，在 D 内，由 可得 yf“(y)=2f(y)解得 f(y)=Cy 2 ，由 f(1)=1，得 f(y)=y 2 (2)取 L 1 为 2x 2 +y 2 = 2 并取顺时针方向( 充分小)，L“与 L 1 所围成的区域记为 D“，又 L 1 的参数方程为 则 )解析：21.设曲线 C：y=sinx，0x，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将对弧长的曲线积分化为定积分： 则由定积分的性质，得 )解析：22.设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 L f(x，y)dx+xcosydy 在全平面与路
20、径无关，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) L f(x，y)dx+xcosydy 在全平面与路径无关 积分得 f(x，y)=siny+C(x) (2)求 f(x，y)转化为求 C(x) )解析：23.设曲线 C：x 2 +y 2 +x+y=0，取逆时针方向，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于第二型曲线积分的估值问题，一般是先考虑用格林公式将其转化为二重积分，然后就二重积分进行估值 由格林公式，有 L ysinx 2 dx+xcosy 2 dy= (cosy 2 +sinx 2 )d， 其中 D=(x，y)x 2 +y 2 +x+y0= 是由 C 围成的圆域
21、，最小横坐标为 x= ，代入式，得 由积分的保号性， )解析：24.设 L 是平面单连通有界区域 的正向边界线，n 0 是 L 上任一点(x，y)处的单位外法向量设平面封闭曲线 L 上点(x，y)的矢径 r=xi+yj，r=r， 是 n 0 与 r 的夹角，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查第一型和第二型曲线积分之间的转化关系注意到第二型曲线积分要考虑曲线 L 在其上点(x，y)处的单位切向量，设其为 0 =cosi+cosj因为曲线 L 在其上点(x，y)处的法向量 n 0 与切线向量 0 互相垂直，并使闭曲线 L 取正向，故取 n 0 =cosi-cosj 根据两向量
22、内积的定义及 dx=cosds，dy=cosds，得 于是，原曲线积分 )解析：25.求矢量 A(x，y，z)=i+zj+ k 穿过曲面的通量，其中为曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 绕 z 轴旋转一周所形成旋转曲面 向量 A=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k=i+zj+ 通过的通量为 添加辅助曲面 1 ：z=2(x 2 +y 2 4)取上侧， 2 ：z=1 (x 2 +y 2 1)取下侧+ 1 + 2 形成封闭曲面，所围区域记为 ，则由高斯公式 )解析：26.设函数 f(x)在0，+)上连续，若对任意的 t(0，+)恒有 其中 (t)=(x，y，
23、z)x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，D(t)是 (t)在 xOy 平面上的投影区域，(t)是球域 (t)的表面，L(t)是 D(t)的边界曲线证明：f(x)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D(t)=(x，y)x 2 +y 2 t 2 ，(t)=(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 =t 2 ，L(t)=(x，y)x 2 +y 2 =t 2 ，且 由题设条件，有 )解析：设 （分数：4.00）(1).通过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于题设给出参数式 2，则 )解析：(2).求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意实数 t， 是定积分，根据积分保号性，其值大于零，且显然与 r 无关，所以 )解析：
