1、考研数学一（多元函数积分学）-试卷 6 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 I= （分数：2.00）A.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，恒有 I=0B.对积分 C.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，I0D.当 L 围成区域 D 不包含坐标原点时，I=0，其中 L 为分段光滑的简单闭曲线3.累次积分 f(rcos，rsin)rdr 可以写成( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 g(x)有连续的导数，g(0)=O，g“(0)=a0，f(x
2、，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x)为连续函数，F(t)= 1 l dy y l f(x)dx，则 F“(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)B.f(2)C.一 f(2)D.06.已知由线积分 （分数：2.00）A.3e+1B.3e+5C.3e+2D.3e 一 57.设有平面闭区域，D=(x，y)一 axa，xya，D 1 =(x，y)0xa，xya，则 (xy+cosxsiny)dxdy=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.累次积分 0 1 dx x 1 f(x，y)dy+ 1 2 dy 0 2y f(x，y)d
3、x 可写成( )（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2x f(x，y)dyB. 0 1 dy 0 2y f(x，y)dxC. 0 1 dx x 2x f(x，y)dyD. 0 1 dy y 2y f(x，y)dx二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy 一 2ydx 的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设曲线 C 为圆 x 2 +y 2 =R 2 ，则曲线积分 C (x 2 +y 2 +2xy)ds= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知曲线 L：y=x 2 (0x （分数：
4、2.00）填空项 1:_12.已知曲线 L 为圆 x 2 +y 2 =a 2 在第一象限的部分，则 L xyds= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 L 为椭圆等 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知曲线 L 为曲面 z= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知曲线 L 的方程为 y=1 一x，x一 1，1，起点是(一 1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分 L xydx+x 2 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =9，则曲线积分 L (2xy 一 2y)dx+(x 2 4x)dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_1
5、7.设 c 为椭圆 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 C 为曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_19.设 L 是柱面方程 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 L xzdx+xdy+ （分数：2.00）填空项 1:_20.设 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1
6、 dx x 1 f(x)f(y)dy（分数：2.00）_23.计算曲面积分 （分数：2.00）_24.设函数 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续偏导数，曲线积分 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t 恒有 (0,0) (t,1) 2xyydx+Q(x，y)dy= (0,0) (1,t) 2xydx+Q(x，y)dy，求 Q(x，y)（分数：2.00）_25.计算曲面积分 （分数：2.00）_26.计算二重积分 (y+1)d，其中积分区域 D 由 Y 轴与曲线 y= （分数：2.00）_27.(1)计算 I= 绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面 z=8 所围成的区
7、域 (2)计算曲线积分 C (zy)dx+(x 一 z)dy+(x 一 y)dz，其中 C 是曲线 （分数：2.00）_28.计算 （分数：2.00）_29.求 I= L e x siny 一 b(x+y)dx+(e x cos y 一 ax)dy，其中 a，b 为正的常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 y= （分数：2.00）_30.设 S 为椭球面 +z 2 =1 的上半部分，点 P(x，y，z)S，为 S 在点 P 处的切平面，(x，y，z)为点 O(0，0，0)到平面的距离，求 （分数：2.00）_31.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_32.设对于半空间 x0 内任意的光滑
8、有向封闭曲面 s，都有 xf(x)dydzxyf(x)dzdxe 2x zdxdy=0，其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且 （分数：2.00）_33.设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置（分数：2.00）_34.计算积分 （分数：2.00）_35.计算 I= L (y 2 一 z 2 )dx+(2z 2 一 x 2 )dy+(3x 2 一 y 2 )dz，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向（分数：2.0
9、0）_考研数学一（多元函数积分学）-试卷 6 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 I= （分数：2.00）A.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，恒有 I=0B.对积分 C.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，I0D.当 L 围成区域 D 不包含坐标原点时，I=0，其中 L 为分段光滑的简单闭曲线 解析：解析：当 L 围成的区域 D 不包含坐标原点时，由格林公式得3.累次积分 f(rcos，rsin)rdr 可以写成( ) （分数：2.00）A.B
10、.C.D. 解析：解析：由累次积分 f(rcos，rsin)rdr 可知，积分区域 D 为 D=(r，)0rcos，0 由 r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 61 所示该圆的直角坐标方程为4.设 g(x)有连续的导数，g(0)=O，g“(0)=a0，f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则 ( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由积分中值定理知5.设 f(x)为连续函数，F(t)= 1 l dy y l f(x)dx，则 F“(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)B.f(2) C.一 f(2)D.0解析：解析：交换累次积分的积
11、分次序，得 F(t)= 1 t dy y t f(x)dx= 1 t dx 1 t f(x)dy = 1 t (x 一 1)f(x)dx 于是 F“(t)=(t 一 1)f(t)，从而 F“(2)=f(2)故选 B6.已知由线积分 （分数：2.00）A.3e+1B.3e+5C.3e+2D.3e 一 5 解析：解析：由于曲线积分 7.设有平面闭区域，D=(x，y)一 axa，xya，D 1 =(x，y)0xa，xya，则 (xy+cosxsiny)dxdy=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将闭区间 D=(x，y)一 axa，cya按照直线 y=一 x 将其分成两部分 D
12、2 和 D 3 ，如图 62 所示，其中 D 3 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，xy 关于 x 和 y 均为奇函数，因此在 D，和D 2 上，均有xydxdy=0 而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D 3 积分不为零，在D 2 积分值为零因此 8.累次积分 0 1 dx x 1 f(x，y)dy+ 1 2 dy 0 2y f(x，y)dx 可写成( )（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2x f(x，y)dyB. 0 1 dy 0 2y f(x，y)dxC. 0 1 dx x 2x f(x，y)dy D. 0 1 dy y 2y f(x，y
13、)dx解析：解析：原积分域为直线 y=x，x+y=2，与 y 轴围成的三角形区域，故选 C二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy 一 2ydx 的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，可表示为 10.设曲线 C 为圆 x 2 +y 2 =R 2 ，则曲线积分 C (x 2 +y 2 +2xy)ds= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2R 2）解析：解析：利用奇偶性和对称性可得，2
14、xyds=0则有 C (x 2 +y 2 +2xy)ds= C (x 2 +y 2 )ds = C R 2 ds=R 2 .2R=2R 311.已知曲线 L：y=x 2 (0x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.已知曲线 L 为圆 x 2 +y 2 =a 2 在第一象限的部分，则 L xyds= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 L 为椭圆等 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12a）解析：解析：将椭圆方程 14.已知曲线 L 为曲面 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正
15、确答案：正确答案：*）解析：解析：15.已知曲线 L 的方程为 y=1 一x，x一 1，1，起点是(一 1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分 L xydx+x 2 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令16.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =9，则曲线积分 L (2xy 一 2y)dx+(x 2 4x)dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 18）解析：解析：由格林公式知，17.设 c 为椭圆 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：18.设 C 为曲线 y= （分数：2.00
16、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：因为 (一 2xysiny 2 )=一 2ysiny 2 ，则该曲线积分与路径无关 又 cosy 2 dx 一2xysiny 2 dy=d(xcosy 2 )，则 C cosy 2 dx2xysiny 2 dy=xcosy 2 19.设 L 是柱面方程 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 L xzdx+xdy+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：20.设 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向，则 I= （分数：2.00
17、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：原曲线参数方程为： x=cost，y=sint，z=2 一 cost+sint 故 I= 2 0 (2 一 cost)(一sint)+(2cost 一 2 一 sint)cost+cost 一 sint)Sint+cost)dt =一 2三、解答题(总题数：15，分数：30.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：交换积分次序可得 )
18、解析：23.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设函数 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续偏导数，曲线积分 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t 恒有 (0,0) (t,1) 2xyydx+Q(x，y)dy= (0,0) (1,t) 2xydx+Q(x，y)dy，求 Q(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据曲线积分和路径无关的条件，可知 )解析：25.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用高斯公式，以 S 1 表示法向量指向 z 轴负向的有向平面 z=1(x 2 +y 2 1)，D为 S
19、1 在 xOy 平面上的投影区域，则 )解析：26.计算二重积分 (y+1)d，其中积分区域 D 由 Y 轴与曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入极坐标(r，)满足 x=rcos，y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为 )解析：27.(1)计算 I= 绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面 z=8 所围成的区域 (2)计算曲线积分 C (zy)dx+(x 一 z)dy+(x 一 y)dz，其中 C 是曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)利用柱面坐标，积分区域可以表示为 (2)令 x=cos，y=sin ，则有z=2 一 x+y=2 一 cos
20、+sin 由于曲线 C 是顺时针方向的，其起点和终点所对应的 值分别为=2 和 =0因此 C (xy)dx+(x 一 z)dy+(x 一 y)dz = 2 0 一2(sin+cos)一 2cos2 一1d =一2(一 cos+sin)一 sin2 2 0 =一 2 )解析：28.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：29.求 I= L e x siny 一 b(x+y)dx+(e x cos y 一 ax)dy，其中 a，b 为正的常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：添加从点 D(0，0)沿 y=0 到点 A(2a，0)
21、的有向直线 L 1 ，则 其中 D 为 L+L 1 所围成的半圆域 后一积分选择 x 为参数，得 L 1 ： y=0(0x2a)， 可直接积分 I 2 = 0 2a (一bx)dx=一 2a 2 b 因此 I=I 1 一 I 2 = )解析：30.设 S 为椭球面 +z 2 =1 的上半部分，点 P(x，y，z)S，为 S 在点 P 处的切平面，(x，y，z)为点 O(0，0，0)到平面的距离，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，z)= +z 2 一 1，设(X，Y，Z)为上任意一点，则的方程为 F“ x (X 一 x)+F“ y (Yy)+F“ z (Zz)=0，
22、即 )解析：31.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 s，都有 xf(x)dydzxyf(x)dzdxe 2x zdxdy=0，其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设和高斯公式得 )解析：33.设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 67 所示，以 表示球体，以 的球心表示原点 O，射线
23、OP 0 为正 x 轴建立直角坐标系，则点 P 0 的坐标为(R，0，0)，球面方程为 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 )解析：34.计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得 )解析：35.计算 I= L (y 2 一 z 2 )dx+(2z 2 一 x 2 )dy+(3x 2 一 y 2 )dz，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 s 为平面 x+y+z=2 上 L 所围部分由 L 的定向，按右手法则知 S 取上侧，S 的单位法向量 其中 D 为 S 在 xy 平面上的投影区域x+y1(如图 68 所示)由 D 关于 x，y轴的对称性及被积函数的奇偶性得 )解析：
