【考研类试卷】考研数学一(多元函数积分学)-试卷6及答案解析.doc

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1、考研数学一(多元函数积分学)-试卷 6 及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 I= (分数:2.00)A.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L,恒有 I=0B.对积分 C.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L,I0D.当 L 围成区域 D 不包含坐标原点时,I=0,其中 L 为分段光滑的简单闭曲线3.累次积分 f(rcos,rsin)rdr 可以写成( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 g(x)有连续的导数,g(0)=O,g“(0)=a0,f(x

2、,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则 ( )(分数:2.00)A.B.C.D.5.设 f(x)为连续函数,F(t)= 1 l dy y l f(x)dx,则 F“(2)等于( )(分数:2.00)A.2f(2)B.f(2)C.一 f(2)D.06.已知由线积分 (分数:2.00)A.3e+1B.3e+5C.3e+2D.3e 一 57.设有平面闭区域,D=(x,y)一 axa,xya,D 1 =(x,y)0xa,xya,则 (xy+cosxsiny)dxdy=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.8.累次积分 0 1 dx x 1 f(x,y)dy+ 1 2 dy 0 2y f(x,y)d

3、x 可写成( )(分数:2.00)A. 0 2 dx x 2x f(x,y)dyB. 0 1 dy 0 2y f(x,y)dxC. 0 1 dx x 2x f(x,y)dyD. 0 1 dy y 2y f(x,y)dx二、填空题(总题数:12,分数:24.00)9.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分,则曲线积分 L xdy 一 2ydx 的值为 1(分数:2.00)填空项 1:_10.设曲线 C 为圆 x 2 +y 2 =R 2 ,则曲线积分 C (x 2 +y 2 +2xy)ds= 1(分数:2.00)填空项 1:_11.已知曲线 L:y=x 2 (0x (分数:

4、2.00)填空项 1:_12.已知曲线 L 为圆 x 2 +y 2 =a 2 在第一象限的部分,则 L xyds= 1(分数:2.00)填空项 1:_13.设 L 为椭圆等 (分数:2.00)填空项 1:_14.已知曲线 L 为曲面 z= (分数:2.00)填空项 1:_15.已知曲线 L 的方程为 y=1 一x,x一 1,1,起点是(一 1,0),终点是(1,0),则曲线积分 L xydx+x 2 dy= 1(分数:2.00)填空项 1:_16.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =9,则曲线积分 L (2xy 一 2y)dx+(x 2 4x)dy= 1。(分数:2.00)填空项 1:_1

5、7.设 c 为椭圆 (分数:2.00)填空项 1:_18.设 C 为曲线 y= (分数:2.00)填空项 1:_19.设 L 是柱面方程 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分 L xzdx+xdy+ (分数:2.00)填空项 1:_20.设 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向,则 I= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:15,分数:30.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_22.设函数 f(x)在区间0,1上连续,且 0 1 f(x)dx=A,求 0 1

6、 dx x 1 f(x)f(y)dy(分数:2.00)_23.计算曲面积分 (分数:2.00)_24.设函数 Q(x,y)在平面 xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分 L 2xydx+Q(x,y)dy 与路径无关,并且对任意 t 恒有 (0,0) (t,1) 2xyydx+Q(x,y)dy= (0,0) (1,t) 2xydx+Q(x,y)dy,求 Q(x,y)(分数:2.00)_25.计算曲面积分 (分数:2.00)_26.计算二重积分 (y+1)d,其中积分区域 D 由 Y 轴与曲线 y= (分数:2.00)_27.(1)计算 I= 绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面 z=8 所围成的区

7、域 (2)计算曲线积分 C (zy)dx+(x 一 z)dy+(x 一 y)dz,其中 C 是曲线 (分数:2.00)_28.计算 (分数:2.00)_29.求 I= L e x siny 一 b(x+y)dx+(e x cos y 一 ax)dy,其中 a,b 为正的常数,L 为从点 A(2a,0)沿曲线 y= (分数:2.00)_30.设 S 为椭球面 +z 2 =1 的上半部分,点 P(x,y,z)S,为 S 在点 P 处的切平面,(x,y,z)为点 O(0,0,0)到平面的距离,求 (分数:2.00)_31.计算曲线积分 I= (分数:2.00)_32.设对于半空间 x0 内任意的光滑

8、有向封闭曲面 s,都有 xf(x)dydzxyf(x)dzdxe 2x zdxdy=0,其中函数 f(x)在(0,+)内具有连续的一阶导数,且 (分数:2.00)_33.设有一半径为 R 的球体,P 0 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 k0),求球体的重心位置(分数:2.00)_34.计算积分 (分数:2.00)_35.计算 I= L (y 2 一 z 2 )dx+(2z 2 一 x 2 )dy+(3x 2 一 y 2 )dz,其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线,从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向(分数:2.0

9、0)_考研数学一(多元函数积分学)-试卷 6 答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 I= (分数:2.00)A.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L,恒有 I=0B.对积分 C.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L,I0D.当 L 围成区域 D 不包含坐标原点时,I=0,其中 L 为分段光滑的简单闭曲线 解析:解析:当 L 围成的区域 D 不包含坐标原点时,由格林公式得3.累次积分 f(rcos,rsin)rdr 可以写成( ) (分数:2.00)A.B

10、.C.D. 解析:解析:由累次积分 f(rcos,rsin)rdr 可知,积分区域 D 为 D=(r,)0rcos,0 由 r=cos 为圆心在 x 轴上,直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 61 所示该圆的直角坐标方程为4.设 g(x)有连续的导数,g(0)=O,g“(0)=a0,f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则 ( )(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:由积分中值定理知5.设 f(x)为连续函数,F(t)= 1 l dy y l f(x)dx,则 F“(2)等于( )(分数:2.00)A.2f(2)B.f(2) C.一 f(2)D.0解析:解析:交换累次积分的积

11、分次序,得 F(t)= 1 t dy y t f(x)dx= 1 t dx 1 t f(x)dy = 1 t (x 一 1)f(x)dx 于是 F“(t)=(t 一 1)f(t),从而 F“(2)=f(2)故选 B6.已知由线积分 (分数:2.00)A.3e+1B.3e+5C.3e+2D.3e 一 5 解析:解析:由于曲线积分 7.设有平面闭区域,D=(x,y)一 axa,xya,D 1 =(x,y)0xa,xya,则 (xy+cosxsiny)dxdy=( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:将闭区间 D=(x,y)一 axa,cya按照直线 y=一 x 将其分成两部分 D

12、2 和 D 3 ,如图 62 所示,其中 D 3 关于 y 轴对称,D 2 关于 x 轴对称,xy 关于 x 和 y 均为奇函数,因此在 D,和D 2 上,均有xydxdy=0 而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数,关于 y 的奇函数,在 D 3 积分不为零,在D 2 积分值为零因此 8.累次积分 0 1 dx x 1 f(x,y)dy+ 1 2 dy 0 2y f(x,y)dx 可写成( )(分数:2.00)A. 0 2 dx x 2x f(x,y)dyB. 0 1 dy 0 2y f(x,y)dxC. 0 1 dx x 2x f(x,y)dy D. 0 1 dy y 2y f(x,y

13、)dx解析:解析:原积分域为直线 y=x,x+y=2,与 y 轴围成的三角形区域,故选 C二、填空题(总题数:12,分数:24.00)9.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分,则曲线积分 L xdy 一 2ydx 的值为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分,可表示为 10.设曲线 C 为圆 x 2 +y 2 =R 2 ,则曲线积分 C (x 2 +y 2 +2xy)ds= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2R 2)解析:解析:利用奇偶性和对称性可得,2

14、xyds=0则有 C (x 2 +y 2 +2xy)ds= C (x 2 +y 2 )ds = C R 2 ds=R 2 .2R=2R 311.已知曲线 L:y=x 2 (0x (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:12.已知曲线 L 为圆 x 2 +y 2 =a 2 在第一象限的部分,则 L xyds= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:13.设 L 为椭圆等 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:12a)解析:解析:将椭圆方程 14.已知曲线 L 为曲面 z= (分数:2.00)填空项 1:_ (正

15、确答案:正确答案:*)解析:解析:15.已知曲线 L 的方程为 y=1 一x,x一 1,1,起点是(一 1,0),终点是(1,0),则曲线积分 L xydx+x 2 dy= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:令16.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =9,则曲线积分 L (2xy 一 2y)dx+(x 2 4x)dy= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 18)解析:解析:由格林公式知,17.设 c 为椭圆 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:18.设 C 为曲线 y= (分数:2.00

16、)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 1)解析:解析:因为 (一 2xysiny 2 )=一 2ysiny 2 ,则该曲线积分与路径无关 又 cosy 2 dx 一2xysiny 2 dy=d(xcosy 2 ),则 C cosy 2 dx2xysiny 2 dy=xcosy 2 19.设 L 是柱面方程 x 2 +y 2 =1 与平面 z=x+y 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分 L xzdx+xdy+ (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:)解析:解析:20.设 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向,则 I= (分数:2.00

17、)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 2)解析:解析:原曲线参数方程为: x=cost,y=sint,z=2 一 cost+sint 故 I= 2 0 (2 一 cost)(一sint)+(2cost 一 2 一 sint)cost+cost 一 sint)Sint+cost)dt =一 2三、解答题(总题数:15,分数:30.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:22.设函数 f(x)在区间0,1上连续,且 0 1 f(x)dx=A,求 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:交换积分次序可得 )

18、解析:23.计算曲面积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.设函数 Q(x,y)在平面 xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分 L 2xydx+Q(x,y)dy 与路径无关,并且对任意 t 恒有 (0,0) (t,1) 2xyydx+Q(x,y)dy= (0,0) (1,t) 2xydx+Q(x,y)dy,求 Q(x,y)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据曲线积分和路径无关的条件,可知 )解析:25.计算曲面积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:用高斯公式,以 S 1 表示法向量指向 z 轴负向的有向平面 z=1(x 2 +y 2 1),D为 S

19、1 在 xOy 平面上的投影区域,则 )解析:26.计算二重积分 (y+1)d,其中积分区域 D 由 Y 轴与曲线 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:引入极坐标(r,)满足 x=rcos,y=rsin,在极坐标(r,)中积分区域 D 可表示为 )解析:27.(1)计算 I= 绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面 z=8 所围成的区域 (2)计算曲线积分 C (zy)dx+(x 一 z)dy+(x 一 y)dz,其中 C 是曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)利用柱面坐标,积分区域可以表示为 (2)令 x=cos,y=sin ,则有z=2 一 x+y=2 一 cos

20、+sin 由于曲线 C 是顺时针方向的,其起点和终点所对应的 值分别为=2 和 =0因此 C (xy)dx+(x 一 z)dy+(x 一 y)dz = 2 0 一2(sin+cos)一 2cos2 一1d =一2(一 cos+sin)一 sin2 2 0 =一 2 )解析:28.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 )解析:29.求 I= L e x siny 一 b(x+y)dx+(e x cos y 一 ax)dy,其中 a,b 为正的常数,L 为从点 A(2a,0)沿曲线 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:添加从点 D(0,0)沿 y=0 到点 A(2a,0)

21、的有向直线 L 1 ,则 其中 D 为 L+L 1 所围成的半圆域 后一积分选择 x 为参数,得 L 1 : y=0(0x2a), 可直接积分 I 2 = 0 2a (一bx)dx=一 2a 2 b 因此 I=I 1 一 I 2 = )解析:30.设 S 为椭球面 +z 2 =1 的上半部分,点 P(x,y,z)S,为 S 在点 P 处的切平面,(x,y,z)为点 O(0,0,0)到平面的距离,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x,y,z)= +z 2 一 1,设(X,Y,Z)为上任意一点,则的方程为 F“ x (X 一 x)+F“ y (Yy)+F“ z (Zz)=0,

22、即 )解析:31.计算曲线积分 I= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:32.设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 s,都有 xf(x)dydzxyf(x)dzdxe 2x zdxdy=0,其中函数 f(x)在(0,+)内具有连续的一阶导数,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设和高斯公式得 )解析:33.设有一半径为 R 的球体,P 0 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 k0),求球体的重心位置(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如图 67 所示,以 表示球体,以 的球心表示原点 O,射线

23、OP 0 为正 x 轴建立直角坐标系,则点 P 0 的坐标为(R,0,0),球面方程为 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 )解析:34.计算积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设二重积分区域为 D,D 1 是 D 的第一象限部分,由对称性,得 )解析:35.计算 I= L (y 2 一 z 2 )dx+(2z 2 一 x 2 )dy+(3x 2 一 y 2 )dz,其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线,从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记 s 为平面 x+y+z=2 上 L 所围部分由 L 的定向,按右手法则知 S 取上侧,S 的单位法向量 其中 D 为 S 在 xy 平面上的投影区域x+y1(如图 68 所示)由 D 关于 x,y轴的对称性及被积函数的奇偶性得 )解析:

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