1、考研数学一（多元函数积分学）-试卷 9 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 3 I 1 I 2 C.I 3 I 2 I 1 D.I 1 I 3 I 2 3.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，cos，cos，cos 为该球面外法线向量的方向余弦，则 （分数：2.00）A.4R 5 B.2R 3 C.3R 4 D.4.设曲线 L：f(x
2、，y)=1(具有一阶连续偏导数)，过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N， 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设有曲线 从 x 轴正向看去为逆时针方向，则 L ydx+zdy+xdz 出等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 g(x)是可微函数 y=f(x)的反函数，且 f(1)=0， 0 1 xf(x)dx=1005，则 0 1 dx 0 f(x) g(t)dt的值为( )（
3、分数：2.00）A.0B.2010C.2011D.21008.设曲线积分 f(x)一 e x sinydx 一 f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则 f(x)等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：13，分数：26.00)9.已知 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x 2 + （分数：2.00）填空项 1:_10.设门是由锥面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 由 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数
4、：2.00）填空项 1:_13.设 由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_14. 是由曲面 z=xy 与平面 y=x，x=1 和 x=0 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设为锥面 z= （分数：2.00）填空项 1:_16.设曲面：x+y+z=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设曲面为 z= （分数：2.00）填空项 1:_18.设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设球体 x 2 +y 2 +z 2 z 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方
5、，则此球的质心的 z 坐标为 （分数：2.00）填空项 1:_20.设有一物体，占有空间闭区域 =(x，y，z)0x1，0y1，0z1，在点(x，y，z)处的密度为 (x，y，z)=x+y+z，则该物体的质量为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 D 是由 x 2 +y 2 a 2 ，y0 所确定的上半圆域，则 D 的形心的 y 坐标 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x 到点(2，0)，再沿圆周 x
6、2 +y 2 =4 到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 L 3x 2 ydx+(x 3 +x 一 2y)dy（分数：2.00）_24.设直线 L 过 A(1，0，0)，8(0，1，1)两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为力 (1)求曲面的方程； (2)求 的形心坐标（分数：2.00）_25.设 D=(x，y)axb，cyd，若 f“ xy 与 f“ yx 在 D 上连续，证明 （分数：2.00）_26.设 D=(x，y)(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_27.设 L 为圆周 x+y=2 正向一周，计算
7、曲线积分 I= （分数：2.00）_28.计算 （分数：2.00）_29.计算二重积分 （分数：2.00）_30.求二重积分 （分数：2.00）_31.计算累次积分 （分数：2.00）_32.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_33.已知积分 L (x+xysinx)dx+ =0， (1)求 f(x)； (2)对(1)中求得的 f(x)，求函数 u=u(x，y)使得 du=(x+xysinx)dx+ （分数：2.00）_34.计算 （分数：2.00）_35.求下列积分 (1)设 f(x)= （分数：2.00）_36.求 I= （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学）-试卷 9 答案
8、解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 3 I 1 I 2 C.I 3 I 2 I 1 D.I 1 I 3 I 2 解析：解析：由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x 3 是 x 的奇函数，y 3 ，y 5 是 y 的奇函数，则 3.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，cos，cos，cos 为该球面外法线向量的方向余弦，则 （分数
9、：2.00）A.4R 5 B.2R 3 C.3R 4 D. 解析：4.设曲线 L：f(x，y)=1(具有一阶连续偏导数)，过第二象限内的点 M 和第四象限内的点 N， 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：在 上 f(x，y)=1，M 在第二象限，在第四象限，因此 M 点的纵坐标 y M 大于 N 点的纵坐标 y N ，因此 5.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对于第二类面积分，若曲面(包含侧)关于 x=0(即
10、 yOz 坐标面)对称，则 这里曲面关于 x=0 对称，而选项 A、C、D 中的被积函数 x 2 ，y 2 ，y，关于 x 都是偶函数，则其积分为零，而 B选项中的被积函数 x 为 x 的奇函数，则 6.设有曲线 从 x 轴正向看去为逆时针方向，则 L ydx+zdy+xdz 出等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：取为平面 x+y+z=0 包含球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 内的部分，法线方向按右手法则，由斯托克斯公式得 7.设 g(x)是可微函数 y=f(x)的反函数，且 f(1)=0， 0 1 xf(x)dx=1005，则 0 1 dx 0 f(x) g
11、(t)dt的值为( )（分数：2.00）A.0B.2010 C.2011D.2100解析：解析： 0 1 dx 0 f(x) g(t)dt= 0 1 0 f(x) g(t)dtdx =x 0 f(x) g(t)dt 0 1 0 1 xgf(x)f(x)dx=0 0 1 x 2 f(x)dx = 0 1 x 2 df(x)df(x)= x 2 f(x) 0 1 +2 0 1 xf(x)dx=2 0 1 xf(x)dx=2010。8.设曲线积分 f(x)一 e x sinydx 一 f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则 f(x)等于( ) （分数：2
12、.00）A.B. C.D.解析：解析：由于曲线积分 L f(x)一 e x sinydxf(x)cosydy 与路径无关，因此本题可应用格林公式，因此有f(x)一 e x cosy=f“(x)cosy，即 f“(x)+f(x)=e x 所以有 二、填空题(总题数：13，分数：26.00)9.已知 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x 2 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 + ）解析：解析：对等式两端积分可得10.设门是由锥面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2 一 ）解析：解析：在力上
13、利用高斯公式可得：11.设 由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用平面 Z=z(0z1)去截积分区域，得椭圆：12.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，令 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，则有 14. 是由曲面 z=xy 与平面 y=x，x=1 和 x=0 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项
14、1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，闭区域力=(x，y，z)0zxy，0yx，0x1则15.设为锥面 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设曲面：x+y+z=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于曲面关于平面 x=0 对称，因此 =0又因曲面：x+y+z=1 具有轮换对称性，于是17.设曲面为 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：利用高斯公式及轮换对称性进行求解，补平面 S 为 x 2 +y 2 4 的下侧，令 =+S，则 18.设=(x
15、，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由曲面积分的计算公式可知19.设球体 x 2 +y 2 +z 2 z 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 z 坐标为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由质心公式20.设有一物体，占有空间闭区域 =(x，y，z)0x1，0y1，0z1，在点(x，y，z)处的密度为 (x，y，z)=x+y+z，则该物体的质量为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据三重积分的几何意义可知，该物
16、体的质量 M 就是密度函数 在闭区间 上的三重积分，即21.设 D 是由 x 2 +y 2 a 2 ，y0 所确定的上半圆域，则 D 的形心的 y 坐标 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：15，分数：30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x 到点(2，0)，再沿圆周 x 2 +y 2 =4 到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 L 3x 2 ydx+(x 3 +x 一 2y)dy（分数：2.00）_正确答案：(正确
17、答案：设圆 x 2 +y 2 =2x 为圆 C 1 ，圆 x 2 +y 2 =4 为圆 C 2 ，补线利用格林公式即可设所补直线 L 1 。为 x=0(0y2)，应用格林公式得： )解析：24.设直线 L 过 A(1，0，0)，8(0，1，1)两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为力 (1)求曲面的方程； (2)求 的形心坐标（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由已知 设任意点 M(x，y，z)，对应于 L 上的 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，则有 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 )解析：25.设 D=(x，y)axb，
18、cyd，若 f“ xy 与 f“ yx 在 D 上连续，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f“ xy (x，y)dxdy= a b dx c d f“ xy (x，y)dy= a b f“ x (x，y) c b dx = a b f“ x (x，d)f“ x (x，c)dx=f(x，d) a b 一 f(x，c) a b =f(b，d)f(a，d)+f(a，c)一 f(b，c) 同理， )解析：26.设 D=(x，y)(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 L 为圆周 x+y=2 正向一周，计
19、算曲线积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出圆 x+y=2 及曲线 y=x，如图 612 所示，它们交于两点 A(1，1)与 C(一 1，一1) )解析：28.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 6 一 13 所示，在极坐标中 )解析：29.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 的图形如图 614 所示 )解析：30.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 615 所示，D 的极坐标表示是： 0，0r2(1+cos)，于是 )解析：31.计算累次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
20、：设 则积分区域分别是 D 1 =(x，y)0x1，1 一 xy2 一 x， D 2 =(x，y)1x2，0y2 一 x 记区域 D=D 1 +D 2 ，D 是由直线 y：1 一 x，y=2 一 x 与 x 轴和 y轴在第一象限围成的平面区域(如图 616 所示)，且 )解析：32.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 0R1 时，记 L 围成闭区域 D 1 ，P，Q 在 D 1 上偏导数连续，由格林公式， (2)当 1R+时，补 L 1 ：x 2 +y 2 =a 2 ，其中 a0，且 a 充分小，使 L 1 在 L内部，L 1 取顺时针方向，设 L 与 L
21、 1 围成 D 2 ，如图 617 所示，由多连通区域的格林公式， )解析：33.已知积分 L (x+xysinx)dx+ =0， (1)求 f(x)； (2)对(1)中求得的 f(x)，求函数 u=u(x，y)使得 du=(x+xysinx)dx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题意 这是一阶线性微分方程，通解为 f(x)=x(sinxxcosx+C)，由初始条件 f( )=0，得 C=一 1，于是 f(x)=x(sinxxcosx 一 1) (2)由(1)中结论， )解析：34.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：35.求下列积分 (1)设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
