1、考研数学一-高等数学多元函数积分学(一)及答案解析(总分：270.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：54，分数：270.00)1.计算 （分数：5.00）_2.计算二重积分 （分数：5.00）_3.计算 （分数：5.00）_4.把对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_5.计算 ,其中 是由抛物柱面 ，平面 y=0，z=0， （分数：5.00）_6.计算 （分数：5.00）_7.计算 ，其中 L 为椭圆周 （分数：5.00）_8.计算 ，其中： （分数：5.00）_9.计算曲线积分 ，其中 f 是沿螺线 x=acos，y=asin， （分数：5.00）_10.选择 a，b，使(2a
2、x 3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-2bxy-4)dy 是某函数 u(x，y)的全微分，并求 u(x，y)（分数：5.00）_11.计算 （分数：5.00）_12.给定面密度为 1 的平面薄板 D：x 2y1，求该薄板关于过 D 的重心和点(1，1)的直线的转动惯量（分数：5.00）_13.设有体密度为 (x，y，z)的立体力，试写出 绕直线 x=y=z 的转动惯量的积分表达式（分数：5.00）_14.计算曲线积分 （分数：5.00）_15.计算 （分数：5.00）_16.计算 （分数：5.00）_17.计算二重积分 （分数：5.00）_18.计算 （分数：5.00）_19.计算 ，其
3、中 L 是从 O(0，0)沿摆线 （分数：5.00）_20.设 f(x，y)为连续函数， （分数：5.00）_21.计算 （分数：5.00）_22.设有曲面：x 2+y2+z2=2x，它的面密度为 (x，y)=x 2+y2+z2，求它的质量（分数：5.00）_23.计算曲线积分 （分数：5.00）_24.计算 ，其中 L 是曲线 （分数：5.00）_25.设 f(t)为连续的奇函数，D=(x，y)|x|1，|y|1，求 （分数：5.00）_26.计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 （分数：5.00）_27.计算 ,其中 是由椭球面 （分数：5.00）_28.设函数 f(x)连续，且 f(0)=
4、1，令 （分数：5.00）_29.计算二重积分 （分数：5.00）_30.计算二重积分 （分数：5.00）_31.计算 （分数：5.00）_32.设 P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在全空间有连续偏导数，L 1与 L2是两条光滑曲线，有相同的起点 A 与终点 B，记 F=P，Q，R，若 rot F=0，证明：（分数：5.00）_33.确定 的值，使曲线积分 （分数：5.00）_34.计算二重积分 ，其中 D 由摆线的一拱 （分数：5.00）_35.计算二重积分 （分数：5.00）_36.计算 ，其中 为 x2+y2+z21，被积函数（分数：5.00）_37.计算 （分数：5
5、.00）_38.计算 （分数：5.00）_39.计算 ，其中为曲面 （分数：5.00）_40.计算 其中 是由 （分数：5.00）_41.计算 （分数：5.00）_42.设 f(x)为可微函数且 f(0)=0，f(0)=2，求 （分数：5.00）_43.计算 ，其中为锥面 （分数：5.00）_44.交换二次积分 （分数：5.00）_45.设闭区域 由 x2+y2+z2r 2(r0)所确定，且 f(x，y，z)在 上连续，求（分数：5.00）_46.计算二重积分 ，其中 D 是由 圆弧 ，半圆弧 （分数：5.00）_47.设 f(u)连续，C 为平面上光滑或逐段光滑的任何闭曲线，求证： （分数：
6、5.00）_计算 ，其中 L 为（分数：5.00）(1).正向椭圆*；（分数：2.50）_(2).正向椭圆 x2+4y2=4（分数：2.50）_48.计算 （分数：5.00）_求下列区域的体积：（分数：5.00）(1).力是球体 x2+y2+z24az 中曲面 x2+y2+az=4a2的下方部分；（分数：2.50）_(2). 是 z=x2+y2，x+y+z=1 所围区域（分数：2.50）_49.计算曲面积分 （分数：5.00）_50.计算二重积分 （分数：5.00）_51.计算二重积分 （分数：5.00）_52.计算 （分数：5.00）_考研数学一-高等数学多元函数积分学(一)答案解析(总分：
7、270.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：54，分数：270.00)1.计算 （分数：5.00）_正确答案：(令 x=rcos，y=rsin，则 L 的极坐标方程为 r2=a2cos2，此曲线是柏努利双纽线，它关于 x 轴、y 轴都对称，令 L1为 L 在第一象限的部分，则由对称性可得)解析：2.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(因为当(x，y)D 1(在曲线 y=x2上方)时，miny，x 2=x2；当(x，y)D 2(在曲线 y=x2下方)时，miny，x 2=y，故而)解析：3.计算 （分数：5.00）_正确答案：(记为曲线 L 所围球面部分的外侧因为按题意所规
8、定 L 的方向及曲面与其边界的定向法则(右手系法则)知外侧为正侧(如图)由斯托克斯公式，有其中 n=cos，cos，cos是球面 x2+y2+z2=2bx 上每点处的单位法向量由球面方程不难求出从而由于曲面关于 xOz 平面对称，函数是奇函数，故 于是)解析：4.把对坐标的曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(方法一 由于圆周 x2+y2=2x 上任一点的切向量为 =F y，F x，其中F(x，y)=x 2+y2-2x，从而 =2y，2-2x所以在此弧段 C 上与曲线弧方向一致的切向量为 =2y，2-2x由于 ，dy=cosds=(1-x)ds，所以方法二 上半圆周方程因为所以)解析：5.
9、计算 ,其中 是由抛物柱面 ，平面 y=0，z=0， （分数：5.00）_正确答案：(由于 是由抛物柱面 ，平面 y=0，z=0， 所围成的区域，将 向 xOy 平面投影，得一投影区域 DxOy为 xOy 平面上的平面域，它由曲线 ，直线 y=0， 围成利用“先一后二”可得)解析：6.计算 （分数：5.00）_正确答案：(由于 关于 x 的原函数不是初等函数，所以需改变累次积分的次序，且 D 是由直线 y=x， 和曲线 所围成的图形在直线 右边的部分，所以)解析：7.计算 ，其中 L 为椭圆周 （分数：5.00）_正确答案：(L 的参数方程为 x=acost，y=bsint(0t2)，它关于
10、x 轴、y 轴都对称设 L1为 L 在第一象限的部分，则由对称性可得)解析：8.计算 ，其中： （分数：5.00）_正确答案：(由于积分曲面关于 xOz，yOz 平面都对称，所以 ，从而由于在 xOy 平面上的投影域为 D：x 2+y2a 2，面积元素 ，所以)解析：9.计算曲线积分 ，其中 f 是沿螺线 x=acos，y=asin， （分数：5.00）_正确答案：(用定积分计算由于当 =0 对应 A，当 =2 时对应 B，所以)解析：10.选择 a，b，使(2ax 3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-2bxy-4)dy 是某函数 u(x，y)的全微分，并求 u(x，y)（分数：5.00）
11、_正确答案：(由于 P(x，y)=2ax 2y2-3y2+5，Q(x，y)=3x4y 2-2bxy-4 在整个平面上都有一阶连续偏导数，所以 P(x，y)dx+Q(x，y)dy 是某一函数全微分的充分必要条件为 即 12x 3y2-2by=6ax3y2-6y，所以 a=2，b=3于是)解析：11.计算 （分数：5.00）_正确答案：(作平面 x=ea，与曲面围成闭区域 (如图)，由高斯公式可得故)解析：12.给定面密度为 1 的平面薄板 D：x 2y1，求该薄板关于过 D 的重心和点(1，1)的直线的转动惯量（分数：5.00）_正确答案：(设重心为 ，则由薄板的对称性与密度分布的均匀性知 =0
12、，而因为所以故重心坐标为过点(1，1)和 的直线方程是 ，即 2x-5y+3=0D 上任意点(x，y)到直线 2x-5y+3=0 的距离为，故所求转动惯量因为所以)解析：13.设有体密度为 (x，y，z)的立体力，试写出 绕直线 x=y=z 的转动惯量的积分表达式（分数：5.00）_正确答案：(由于质量为 m 的质点绕直线 l 的转动惯量为 l=md2，其中 d 为质点到直线的距离在 内任意挖一小块 dV， (x，y，z)dV，则这一小块可看成一个质量为 (x，y，z)dV 在点(x，y，z)处的质点；又点(x，y，z)到直线 x=y=z 的距离为故 绕直线 x=y=z 的转动惯量的积分表达式
13、为)解析：14.计算曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(由于所以从而)解析：15.计算 （分数：5.00）_正确答案：(由于积分曲面为平面，所以化为第一类曲面积分计算比较简单因为为平面 x-y+z=1 在第四卦限部分上侧，所以法向量为 n=1，-1，1因此)解析：16.计算 （分数：5.00）_正确答案：(由于 关于 xOz，yOz 平面都是对称的，所以由对称性可得)解析：17.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(区域 D 分解为 D1，D 2，如图所示，则)解析：18.计算 （分数：5.00）_正确答案：(利用“先一后二”计算 在 xOy 平面上的投影域为 D：x 2+y21
14、，x0，y0，则)解析：19.计算 ，其中 L 是从 O(0，0)沿摆线 （分数：5.00）_正确答案：(作 C：(x-a) 2+(y) 2=(a) 2(y0)，沿逆时针方向，则又 C： 对应起点，t= 对应终点，所以)解析：20.设 f(x，y)为连续函数， （分数：5.00）_正确答案：(令 ，由题设得：f(x，y)=xy+A，从而 xyf(x，y)=x 2y2+xyA在区域 D 上求二重积分即得从而由故 )解析：21.计算 （分数：5.00）_正确答案：(令 P(x，y)=e y+3x2，Q(x，y)=xe y+2y，则 它们在整个平面上连续，且相等，所以曲线积分与路径无关，记 A(0，
15、0)，B(1，0)，C(1，2)，因此)解析：22.设有曲面：x 2+y2+z2=2x，它的面密度为 (x，y)=x 2+y2+z2，求它的质量（分数：5.00）_正确答案：( 记 1为在 xOy 平面上方的部分，由于关于 xOy 平面对称，因此利用对称性可得由于 1： ，它在 xOy 平面上的投影域为 D：(x-1) 2+y21，其面积元素为所以 令 则 dxdy=rdrd，于是)解析：23.计算曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：( )解析：24.计算 ，其中 L 是曲线 （分数：5.00）_正确答案：(取 C：x 2+y2= 2，方向为逆时针，则)解析：25.设 f(t)为连续的奇函
16、数，D=(x，y)|x|1，|y|1，求 （分数：5.00）_正确答案：(上式右端交换积分次序得)解析：26.计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 （分数：5.00）_正确答案：(由方程组 可得两曲线的交点为(1，1)，(2，0)令 x=rcos，y=rsin，结合积分域D 的图形不难得到 D 在极坐标系下为 ，故)解析：27.计算 ,其中 是由椭球面 （分数：5.00）_正确答案：(利用“先二后一”完成所以)解析：28.设函数 f(x)连续，且 f(0)=1，令 （分数：5.00）_正确答案：(由于 f(x)只假定连续，没有假定其可导，所以只能根据定义求 F“(0)：)解析：29.计算二重积分
17、 （分数：5.00）_正确答案：(记 D1是 D 在第一象限的部分，由二重积分性质得由于区域 D 是关于 Y 轴对称的，而函数 x3siny 是关于 x 的奇函数，函数 x2y2关于 x 的偶函数，由对称性可得)解析：30.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(记 D1是 D 在抛物线 y=x2上方部分，D 2是 D 在抛物线 y=x2下方部分，故而所以)解析：31.计算 （分数：5.00）_正确答案：(该累次积分无法直接汁算，其对应的二重积分为 ，其中 D=D1+D2，且D1=(x，y)|0x1，1-xy2-x，D2=(x，y)|1x2，0y2-x交换积分次序后还是求不出来，因此引入
18、极坐标(r，)满足 x=rcos，y=rsin，则且)解析：32.设 P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在全空间有连续偏导数，L 1与 L2是两条光滑曲线，有相同的起点 A 与终点 B，记 F=P，Q，R，若 rot F=0，证明：（分数：5.00）_正确答案：(由于 合并构成一条闭曲线 L，是以 L 为边界的分片光滑曲面，取其方向与 L 方向满足右手法则，则由斯托克斯公式得所以)解析：33.确定 的值，使曲线积分 （分数：5.00）_正确答案：(由于 与路径无关，所以 从而 6(-1)x -2 y2=4xy -1 ，故 =3因此所求曲线积分)解析：34.计算二重积分 ，其中
19、 D 由摆线的一拱 （分数：5.00）_正确答案：()解析：35.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：(由于积分 都不能用有限形式表示出来，所以在直角坐标系下无法计算，注意到被积函数是 的形式，因此令 x=rcos，y=rsin，所求积分在极坐标系(r，)下有可能积出来注意积分区域故)解析：36.计算 ，其中 为 x2+y2+z21，被积函数（分数：5.00）_正确答案：(由于被积函数是分段函数，因此须首先将积分域分成几个相应的子域，然后再计算，由被积函数的表达式及积分域的特点选球坐标系计算方便令 1为 在锥面 内的部分， 2为 在平面 z=0 下方的部分， 3为 去掉 1、 2剩余的
20、部分，则所以)解析：37.计算 （分数：5.00）_正确答案：( 是球体、椭球体，而被积函数是一元函数的三重积分，一般选择“先二后一”来完成)解析：38.计算 （分数：5.00）_正确答案：(由于 关于 yOz，xOz 平面都是对称的，故 于是 = 利用“先二后一”可得)解析：39.计算 ，其中为曲面 （分数：5.00）_正确答案：(添加曲面 1： 其法向量与 z 轴正向相同，则+ 1为闭曲面，它们同成的闭区域记为，由高斯公式得)解析：40.计算 其中 是由 （分数：5.00）_正确答案：(由于 是旋转体，所以选用“先二后一”计算)解析：41.计算 （分数：5.00）_正确答案：(方法一 利用定积分计算积分曲线的参数方程为 ，其中 t 从 0 到 2所以方法二 利用斯托克斯公式计算令为球面在网柱 x2+y2=ax 内位于 z0 的部分取上侧，则由于的法向量 n=2x，2y，2z，所以由于： ，从而)解析：42.设 f(x)为可微函数且 f(0)=0，f(
