1、考研数学一（多元函数积分学）-试卷 5 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 D 由直线 x=0，y=0，x+y=1 围成，已知 （分数：2.00）A.2B.0C.D.14.曲线积 C (x 2 +y 2 )ds，其中 c 是圆心在原点，半径为 a 的圆周，则积分值为 ( )（分数：2.00）A.2a 2B.a 3C.2a 3D.4a 35.设：x 2 +y 2 +z 2 =a
2、 2 (z0)， 1 为在第一卦限的部分，则有 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 （分数：2.00）A.与 L 的取向无关，与 a，b 的值有关B.与 L 的取向无关，与 a，b 的值无关C.与 L 的取向有关，与 a，b 的值有关D.与 L 的取向有关，与 a，b 的值无关7.设是 yOz 平面上的圆域 y 2 +z 2 1，则 (x 4 +y 4 +z 4 )dS 为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 C 为闭域 D 的正向边界闭曲线，则 C ( （分数：2.00）填空项 1:_9.向量场 A(x，3x，2y)在点 M
3、(x，y，z)处的旋度 rotA= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.空间曲线 x=3t，y=3t 2 ，z=2t 3 从 O(0，0，0)到 A(3，3，2)的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 F=x 3 i+y 3 j+z 3 k，则在点(1，0，-1)处的 divF 为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.将 （分数：2.00）_14.求函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在区域 x 2 +y 2 +z 2 z+y+z 内的平均值（分数：2.00
4、）_15.计算曲线积分 （分数：2.00）_设 f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何 x，y，t 下式成立 f(tx，ty)=t 2 f(x，y)（分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_(2).设 D 是由 L：x 2 +y 2 =4 正向一周所围成的闭区域，证明： L f(x,y)dx= D divgrad f(x,y)d（分数：2.00）_16.设 L 为曲线 x 2 +y 2 =R 2 (常数 R0)一周，n 为 L 的外法线方向向量，u(x，y)具有二阶连续偏导数且 （分数：2.00）_17.已知平面区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1)，L 为
5、D 的边界正向一周证明： （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.设 S 为平面 x-y+z=1 介于三坐标平面间的有限部分，法向量与 z 轴交角为锐角，f(x，y，z)连续，计算 I= S (x，y，z)+xdydz+2f(x，y，z)+ydzdx+f(x，y，z)+zdxdy（分数：2.00）_20.计算 I= L (y 2 -z 2 )dx+(2z 2 -x 2 )dy+(3x 2 -y 2 )dz，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线，从 z 轴正向看 L，L 是逆时针方向（分数：2.00）_21.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=
6、asin x(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小（分数：2.00）_22.证明：对于曲线积分的估计式为 L Pdx+QdylM， 式中 l 为积分曲线段长度， 并证明 （分数：2.00）_在下列区域 D 上， （分数：6.00）(1).D：x 2 +y 2 0；（分数：2.00）_(2).D：y0；（分数：2.00）_(3).D：x0（分数：2.00）_23.计算 S x 2 ds，其中 S 为圆柱面 x 2 +y 2 =a 2 介于 z=h 和 z=h 之间的部分（分数：2.00）_24.计算曲面积分 (x 3 +
7、az 2 )dydz+(y 3 +ax 2 )dzdx+(z 3 +ay 2 )dxdy，其中为上半球面 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学）-试卷 5 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.化为极坐标系中的累次积分为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 y= 可得 x 2 +(y-1) 2 =1(y1)，所以积分区域 D 是圆 x 2 +(y-1) 2 1 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为
8、 3.设 D 由直线 x=0，y=0，x+y=1 围成，已知 （分数：2.00）A.2B.0 C.D.1解析：解析：由4.曲线积 C (x 2 +y 2 )ds，其中 c 是圆心在原点，半径为 a 的圆周，则积分值为 ( )（分数：2.00）A.2a 2B.a 3C.2a 3 D.4a 3解析：解析：C：x 2 +y 2 =a 2 ，周长 l C =2a， C (x 2 +y 2 )ds= C a 2 ds=a 2 .l C =2a 3 5.设：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)， 1 为在第一卦限的部分，则有 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：关于 yOz
9、面，zOx 面对称，当 f(x，y，z)关于变量 x 或变量 y 成奇函数时，r(x，y，z)dS=0，但 f(x，y，z)=z 关于变量 x，y 都是偶函数，因此6.设 （分数：2.00）A.与 L 的取向无关，与 a，b 的值有关B.与 L 的取向无关，与 a，b 的值无关C.与 L 的取向有关，与 a，b 的值有关D.与 L 的取向有关，与 a，b 的值无关 解析：解析：因 ，故在以 L 为边界的区域 D 内，有偏导数不存在的点(0，0)，可取 C 为包含原点但含于 L 内部并与 L 同向的曲线，此刻在 L 与 C 所围区域 D 1 上应用格林公式， 当 L+C - 为 D 1 正向闭曲
10、线时，取“+”号，否则取“-”号 因 D 1 上， 7.设是 yOz 平面上的圆域 y 2 +z 2 1，则 (x 4 +y 4 +z 4 )dS 为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因：x=0，且 x 2 +y 2 1故 D yz ：y 2 +z 2 1， ，从而 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 C 为闭域 D 的正向边界闭曲线，则 C ( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2A）解析：解析：因 P= 由格林公式， 原式=9.向量场 A(x，3x，2y)在点 M(x，y，z)处的旋度 rotA= 1（分数：2.00）填空项 1:_
11、 （正确答案：正确答案：(2，1，3)）解析：解析：设向量场 A=Pi+Qj+Rk，则 因 P=z，Q=3x，R=2y，则10.空间曲线 x=3t，y=3t 2 ，z=2t 3 从 O(0，0，0)到 A(3，3，2)的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：11.已知 F=x 3 i+y 3 j+z 3 k，则在点(1，0，-1)处的 divF 为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：设向量场 F=Pi+Qj+Rk，则在点 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )处 三、解答题(总题数：15，分数：34.00)12.解
12、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.将 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y，z 的积分区域为 D yz ：0y1x，0zx+y(x 视为0，1上的一个常数)，换序后 D yz =D 1 D 2 ，D 1 ：0zx，0y1-x；D 2 ：xz1,z-xy1-x，故 )解析：14.求函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在区域 x 2 +y 2 +z 2 z+y+z 内的平均值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 x 2 +y 2 +z 2 x+y+z，即 ，其体积 )解析：15.计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于
13、z=y=0 时，被积函数无意义，故 L 所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点(0，0)，作逆时针方向的圆周 l：x=rcos，y=rsin，02，使 l 全部被 L 所包围，在 L 和 l 为边界的区域 D 内，根据格林公式，有 )解析：设 f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何 x，y，t 下式成立 f(tx，ty)=t 2 f(x，y)（分数：4.00）(1).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 f(tx，ty)=t 2 f(x，y)两边对 t 求导得 xf“ 1 (tx，ty)+yf“ 2 (tx，ty)=2tf(x，y)， 再对 t
14、求导得， xsf“ 11 (tx,ty)+yf“ 12 (tx，ty)+yxf“ 21 (tx，ty)+yf“ 22 (tx，ty)=2f(x，y) 于是 txtxf“ 11 (tx,ty)+tyf“ 12 (tx，ty)+tytxf“ 21 (tx，ty)+tyf“ 22 (tx，ty)=2t 2 f(x，y)=2f(tx，ty) 由此得 x 2 f“ xx (x，y)+2xyf“ xy (x，y)+y 2 f“ yy (x，y)=2f(x，y).即结论成立.)解析：(2).设 D 是由 L：x 2 +y 2 =4 正向一周所围成的闭区域，证明： L f(x,y)dx= D divgrad
15、f(x,y)d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xf“ 1 (tx，ty)+yf“ 2 (tx，ty)=2tf(x，y)得 txf“ 1 (tx，ty)+tyf“ 2 (tx，ty)=2t 2 f(x，y)， 即 xf“ x (x，y)+yf“ x (x，y)=2f(x，y)，又 divgradf(x，y)= ，故 )解析：16.设 L 为曲线 x 2 +y 2 =R 2 (常数 R0)一周，n 为 L 的外法线方向向量，u(x，y)具有二阶连续偏导数且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 16-13 所示，设 0 =(cosa，sina)为 L 沿逆时针方向的单位向量
16、将它按顺时针方向转 ，便得 L 的法线方向的单位向量为 n 0 =(sina，-cosa) 方向导数 其中D=(x，y)x 2 +y 2 R 2 为 L 所围成的有界区域 )解析：17.已知平面区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1)，L 为 D 的边界正向一周证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：有两个方法 方法一(参数法) 方法二(格林公式法) )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一(逐个投影法) 先计算 I 1 = 为此，应将 S 投影到 yOz 平面记 用极坐标计算y=brcos，z=crsin，0，0r1，则 为此，将 S 投影到 zOx
17、平面，也需将 S 剖分为左、右两个： 它们在 zOx 平面上的投影均为 方法二(加、减曲面片高斯公式法) 添加曲面片 )解析：19.设 S 为平面 x-y+z=1 介于三坐标平面间的有限部分，法向量与 z 轴交角为锐角，f(x，y，z)连续，计算 I= S (x，y，z)+xdydz+2f(x，y，z)+ydzdx+f(x，y，z)+zdxdy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 S 投影到 xOy 平面，其投影域(如图 16-14)为 D=(x，y)x-y1，x0，y0 从 S 的方程解出 z=1-x+y 方法一 化成第一型曲面积分，S 与 z 轴交角为锐角的法向量为 n=(1，-1
18、，1)，n 0 =(1，-1，1)，则 方法二 直接将该积分化为一个二重积分由 )解析：20.计算 I= L (y 2 -z 2 )dx+(2z 2 -x 2 )dy+(3x 2 -y 2 )dz，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y=1 的交线，从 z 轴正向看 L，L 是逆时针方向（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 封闭曲线积分容易想到斯托克斯公式法用斯托克斯公式，取平面x+y+z=2 被 L 所围成的有界部分为绷在 L 上的曲面 S，按斯托克斯公式，S 的法向量与 z 轴正向的交角应为锐角 I= L (y 2 -z 2 )dx+(2z 2 -x 2 )dy+(3x
19、 2 -y 2 )dz = S (-2y-4z)dydz+(-2z-6x)dzdx+(-2x-2y)dxdy 方法 11 改换成第一型曲面积分，S 的单位法向量 D xy 既对称于 x 轴，又对称于 y 轴，所以 分别令 y0，y0，2-y-z0，2-y-z0，可得 D yz 的 4 条边的方程，从而D yz 可改写为 将第 2 个积分的 S 投影到 zOx 平面上去， 其中 D xy =(x，y)x+y1，所以 I 3 =0从而 I=I 1 +I 2 +I 3 =-24 方法二(用参数式计算) 由于L 是由 4 个直线段构成的四边形，所以用参数式计算时，要一段段计算 L：x+y=1，z=2-
20、x-y 当 x0，y0 时，L 1 ：y=1-x，z=2-x-y=1，x 从 1 到 0， 方法三(降维法) 将 L 所在的方程 z=2-x-y 代入曲线积分以降低一维，降为 )解析：21.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asin x(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.证明：对于曲线积分的估计式为 L Pdx+QdylM， 式中 l 为积分曲线段长度， 并证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 L Pdx+Qdy= L F.ds，
21、 这里 F=(P，Q)，ds=(dx，dy)，F= ，ds=ds 所以 在曲线 x 2 +y 2 =R 2 上， )解析：在下列区域 D 上， （分数：6.00）(1).D：x 2 +y 2 0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 存在原函数 记 P= D：x 2 +y 2 0 不是单连通的，则 (x，y)D)不是 L Pdx+Qdy 在 D 内积分与路径无关的充分条件 事实上，若取闭曲线 C：x 2 +y 4 =r 4 ，逆时针方向，则 )解析：(2).D：y0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D：y0 是单连通的， 在 D 上与路径无关，存在原函数 )解析：(3).D：x0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：同理， 存在原函数，可求得原函数为 )解析：23.计算 S x 2 ds，其中 S 为圆柱面 x 2 +y 2 =a 2 介于 z=h 和 z=h 之间的部分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由轮换对称性， ，从而 )解析：24.计算曲面积分 (x 3 +az 2 )dydz+(y 3 +ax 2 )dzdx+(z 3 +ay 2 )dxdy，其中为上半球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 S 为平面 z=0(x 2 +y 2 a 2 )的下侧， 为与 S 所围成的空间区域 )解析：
