1、考研数学一（多元函数积分学）-试卷 3 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0； 2 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，且 x0，y0，z0，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.两个半径为 R 的直交圆柱体所围成立体的表面积 S 等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 为 x 2 +y 2 +z 2 1，则三重积
2、分 （分数：2.00）A.0B.C.D.26.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7. （分数：2.00）A.cbaB.abcC.bacD.cab二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 -y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭域，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_1
3、1.已知曲线积分 L e x cosy+yf(x)dx+(x 3 -e x sin y)dy 与路径无关且 f(x)有连续的导数，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.变换下列二次积分的积分次序： （分数：2.00）_14.求二重积分 （分数：2.00）_15.计算 （分数：2.00）_16.计算 D ln(1+x 4 +y 4 )dxdy，其中 D：x 2 +y 2 1（分数：2.00）_17.计算 D =r(x 2 +y 2 )出 dy，其中 D 由 y=-x，x 2 +y
4、2 =4,y= （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： （分数：2.00）_21.设 f(x，y)是(x，y)x 2 +y 2 1)上的二阶连续可微函数，满足 ，计算积分 （分数：2.00）_22.设 D 为 xOy 平面上由摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)，0t2，与 x 轴所围成的区域，求 D 的形心的坐标 （分数：2.00）_23.设 =(x，y，z)z （分数：2.00）_设 (y)为连续函数如果在围绕原点的任意一条逐段光滑的正向简单封闭曲线 l 上，曲线积分（
5、分数：6.00）(1).证明：对于任意一条逐段光滑的简单封闭曲线 L，它不围绕原点也不经过原点，则必有 （分数：2.00）_(2).证明：在任意一个不含原点在其内的单连通区域 D 0 上，曲线积分 （分数：2.00）_(3).如果 (y)具有连续的导数，求 (y)的表达式（分数：2.00）_24.设 L 为圆周 x 2 +y 2 =4 正向一周，求 I= L y 3 dx+3y-x 2 dy（分数：2.00）_25.计算三重积分 （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学）-试卷 3 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，
6、分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0； 2 ：x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，且 x0，y0，z0，则有( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 1 关于 yOz 面及 zOx 面对称，当 f(x，y，z)关于 x 或 y 成奇函数时， f(x，y，z)dv=0而 f(x，y，z)=z 关于 x 及 yY 都成偶函数，故 3.设 等于 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因积分区域的边界曲面含有球面 x 2 +y 2 +z 2
7、=1，故采用球面坐标系 的边界曲面方程用球面坐标表示为： ，则 为：0r1，0 ，02 故 4.两个半径为 R 的直交圆柱体所围成立体的表面积 S 等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：所求面积是正交圆柱所围成的曲面面积 S由于对称性 S=16S 1 ，S 1 对应是第一卦限中曲面 z= ，在 zOy 面的投影域 D xy ：0xR，0y 因为 故得 S=16S 1 = 5.设 为 x 2 +y 2 +z 2 1，则三重积分 （分数：2.00）A.0 B.C.D.2解析：解析：积分区域 n 关于 xOy 面对称，被积函数6.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下
8、列说法不正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：令 则 (1)当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(-1) m (-1) n =-1，从而积分为零； (2)当 m 和 n 均为奇数时，(-1) m (-1) n =1，从而 总之，当 m 和 n 中至少一个为奇数时， 7. （分数：2.00）A.cba B.abcC.bacD.cab解析：解析：由于 D=(x，y)x 2 +y 2 1)，所以 由 cosx 在 上单调减少可得 cos(x 2 +y 2 ) 2 cos(x 2 +y 2 )cos 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 f(x)为连续函数，a
9、 与 m 是常数且 a0，将二次积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故9.设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 -y 2 =1 及 y=0 所围成的平面闭域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因积分区域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y 2 )关于变量 x 是奇函数，故 10.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
10、正确答案：*）解析：解析：设 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 所围闭区域，由高斯公式得 11.已知曲线积分 L e x cosy+yf(x)dx+(x 3 -e x sin y)dy 与路径无关且 f(x)有连续的导数，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3x 2）解析：解析：设 P=e x cosy+yf(x)，Q=x 3 -e x siny 由 L Pdx+Qdy 与路径无关，有 三、解答题(总题数：16，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.变换下列二次积分的积分次序： （分数：2.00）_
11、正确答案：(正确答案：(1)如图 16-5 所示， 则 (2)如图 16-6 所示， 则 (3)如图 16-7 所示，D=D 1 +D 2 ，其中 故 (4)如图 16-8 所示， )解析：14.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原积分 )解析：16.计算 D ln(1+x 4 +y 4 )dxdy，其中 D：x 2 +y 2 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.计算 D =r(x 2 +y 2 )出 dy，其中 D 由 y=-x，x 2 +y 2 =4,y= （分数：2.00）_正确答
12、案：(正确答案：由 y= 可得(x-1) 2 +y 2 =1，其中 y0y=-x 与 x 2 +y 2 =4 的交点为 的交点为(0，0)x 2 +y 2 =4 与 y= 的交点为(2，0)，如图 16-9 所示 )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续且单调增，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 其中 Daxb，ayb因为 D 关于 y=x 对称，所以 I= f(y)g(y)-g(x)dxdy， 故 2I= f(x)-f(y).g(x)
13、-g(y)dxdy 由 f(x)，g(x)在a，b上单调递增，得 2I0，即 I0，故 )解析：21.设 f(x，y)是(x，y)x 2 +y 2 1)上的二阶连续可微函数，满足 ，计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：采用极坐标 x=rcos，y=rsin，则 )解析：22.设 D 为 xOy 平面上由摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)，0t2，与 x 轴所围成的区域，求 D 的形心的坐标 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性知 摆线的纵坐标记为 y(x)，于是 其中 y=y(x)由摆线的参数式确定的 y 为 x 的函数作变量变换，令 x=a(t
14、-sint)，于是 )解析：23.设 =(x，y，z)z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 用球面坐标 x=sincos，y=sinsin，z=cos，dv= 2 sinddd 在球面坐标下， 方法二 用直角坐标先(x，y)后 z，即先将 投影到 z 轴，得区间0，4对于 z0，4，作平面 z=z 截 得环域 D z =(x，y) ，于是 方法三 用柱面坐标先(r，)后 z，其中(r，)在 D z 上进行，D z =(r，)zr ，02，方法四 仍用柱面坐标，不过先 z 后(r，)为此，将 投影到 xOy 平面，投影域记为 D=(x，y)x 2 +y 2 =48 但仔细分析，D
15、 由两部分组成： D1=(x，y)x 2 +y 2 4 2 =16)，D 2 =(x，y)16x 2 +y 2 48)，D=D 1 D 2 方法五 D 1 与 D 2 如方法四， )解析：设 (y)为连续函数如果在围绕原点的任意一条逐段光滑的正向简单封闭曲线 l 上，曲线积分（分数：6.00）(1).证明：对于任意一条逐段光滑的简单封闭曲线 L，它不围绕原点也不经过原点，则必有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 L 是一条不围绕原点也不经过原点的逐段光滑的简单封闭曲线，如图 16-10所示，L 为 ，使构成两条简单封闭曲线弧 它们均将原点 O 包围在它们的内部，由题中式知，以下证其
16、逆亦成立即设式成立，设 l 1 与 l 2 分别为两条各自围绕原点 O 的逐段光滑的简单封闭曲线，且有相同转向如图 16-11 所示，不妨设 l 1 与 l 2 不相交，作一线段 ，沟通 l 1 与 l 2 下述 为一条不围绕原点 O 的简单的封闭曲线由假定 而另一方面， )解析：(2).证明：在任意一个不含原点在其内的单连通区域 D 0 上，曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 c AB 与 c“ AB 为 D 0 内连接点 A 与点 B 的任意两条逐段光滑的曲线，由 c AB c“ BA 构成了一条逐段光滑的封闭曲线由 )解析：(3).如果 (y)具有连续的导数，求 (y
17、)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：既然在不含原点在其内的单连通域 D 0 上积分式与路径无关且 )解析：24.设 L 为圆周 x 2 +y 2 =4 正向一周，求 I= L y 3 dx+3y-x 2 dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 I= L y 3 dx，I= L 3y-x 2 dy 对于 I 1 直接用格林公式记D=(x，y)x 2 +y 2 4)，有 求 I 2 有两个方法 方法一 用参数式 (如图 16-12) 记 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 4，y1)，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 4，y1)由格林公式及对称性， 于是知 I 2 =0所以 I=I 1 +I 2 =-12 )解析：25.计算三重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= 这里 A(z)为截面椭圆 D x = 的面积，所以 )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先交换 y，z 的积分次序将 I 理解成由三重积分先对 y，z 作二重积分，再对 x作定积分得到，二重积分的积分区域为 D yz ：0yx(x 视为0，1上的某个常数)，0zy将 D yz 表示为 D yz ：0zx，zyz于是 要计算这个二重积分，仍需要交换积分次序，换序后得 )解析：
