1、考研数学一（多元函数积分学）-试卷 4 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设平面区域 D 由曲线 （分数：2.00）A.2B.-2C.D.-3.已知 ，则 I= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4. 由 x=0，y=0，z=0，x+2y+z=1 所围成，则三重积分 等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5. 是由 x 2 +y 2 =z 2 与 z=a(a0)所围成的区域，则三重积分 在柱面坐标系下累次积分的形式为 ( ) （分数
2、：2.00）A.B.C.D.6.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y= （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 1 I 3 I 2D.I 3 I 1 I 27.球面 x 2 +y 2 +z 2 =4a 2 与柱面 x 2 +y 2 =2ax 所围成立体体积等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）填空项 1
3、:_10.由曲线 y=x 2 ，y=x+2 所围成的平面薄片，其上各点处的面密度 =1+x 2 ，则此薄片的质量 M= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 为曲线 z=1-x 2 -y 2 ，z=0 所围的立体，如果将三重积分 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_记平面区域 D=(x，y)x+y1)，计算如下二重积分：（分数：4.00）(1).，其中 f(t)为定义在(-，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0； （分数：2.00）_(2).I 2 = D (e x -e -y )d，常数 0
4、（分数：2.00）_13.设 p(x)在a，b上非负连续，f(x)与 g(x)在a，6上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y)axb，ayb)，比较 I 1 = D p(x)f(x)p(y)g(y)dxdy 与 I 2 = D p(x)f(y)p(y)g(y)dxdy 的大小，并说明理由（分数：2.00）_14.设函数 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x+ D yf(u，v)dudv，其中 D 由 （分数：2.00）_15.计算 （分数：2.00）_16.当 x1 -1 时，求与 （分数：2.00）_17.证明 （分数：2.00）_18.设 F(x，y)= （分数：2.00）_19.设
5、D=(x，y)axb，cyd)，若 f“ xy 与 f“ yx 在 D 上连续， 证明： D f“ xy (z，y)dxdy= D f“ yx (z，y)dxdy；（分数：2.00）_20.设 D 为 xOy 平面上的区域，若 f“ xy 与 f“ yx 都在 D 上连续，证明：f“ xy 与 f“ yx 在 D 上相等（分数：2.00）_21.一个半径为 1，高为 3 的开口圆柱形水桶，在距底为 1 处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?（分数：2.00）_求下列曲面所围成的立体的体积：（分数：4.00）(1).z=1-x 2 -y 2 ，z
6、=0；（分数：2.00）_(2).z= （分数：2.00）_22.求柱体 x 2 +y 2 2x 被 x 2 +y 2 +z 2 =4 所截得部分的体积（分数：2.00）_23.设平面薄片所占的区域 D 由抛物线 y=x 2 及直线 y=x 所围成，它在(x，y)处的面密度 p(x，y)=x 2 y，求此薄片的重心（分数：2.00）_设平面区域 由 1 与 2 组成，其中， 1 =(x，y)0ya-x，0xa)， 2 =(x，y)ax+yb，x0，y0)，如图 16-1 所示，它的面密度 （分数：4.00）(1).该薄片 的质量 m；（分数：2.00）_(2).薄片 1 关于 y 轴的转动惯量
7、 J 1 与 2 关于原点的转动惯量 J 0 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学）-试卷 4 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设平面区域 D 由曲线 （分数：2.00）A.2B.-2C.D.- 解析：解析：如图 16-1 所示，用曲线 y=-sinx 将区域 D 划分为 D 1 和 D 2 两部分，则 D 1 关于x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，于是有 由于区域 D 的面积与直线 y=0，y=1， 所围成矩形的面积相等，故 S
8、 D =，故应选(D) 3.已知 ，则 I= ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：积分区域由两部分组成(如图 16-2)设 将 D=D 1 D 2 视为 Y 型区域，则 故应选(A) 4. 由 x=0，y=0，z=0，x+2y+z=1 所围成，则三重积分 等于 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由被积函数与积分区域的特点，选择在直角坐标下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分 在 xOy 面上的投影域 D xy ： ，0x1 的上下边界曲面方程分别为 z=1-x-2y，z=0 故 5. 是由 x 2 +y 2 =z 2 与 z=a(a0)所围成的区域，
9、则三重积分 在柱面坐标系下累次积分的形式为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：被积函数中出现 x 2 +y 2 积分区域的边界曲面方程中含有 x 2 +y 2 一般说来利用柱面坐标系计算三重积分较为简便，这是因为 x 2 +y 2 =r 2 在 xOy 面上的投影域 D xy ：x 2 +y 2 a 2 用极坐标可表示为 D r0 ：0ra，02 的上、下边界曲面方程为：z=a，z=r，故 6.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y= （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 1 I 2解析：解析
10、：在 D 内， 7.球面 x 2 +y 2 +z 2 =4a 2 与柱面 x 2 +y 2 =2ax 所围成立体体积等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为立体关于 zOy 面以及 zOx 面对称，故 V=4V 1 ，其中 V 1 为立体在第一卦限部分的体积V 1 在 xOy 面上的投影域为 D xy ：x 2 +y 2 2ax 且 y0此刻 V 1 可看作以 D xy 为底，以球面 x 2 +y 2 +z 2 =4a 2 为曲顶的曲顶柱体体积，由二重积分的几何背景可知 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D
11、关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：设连续函数 z=f(x，y)关于 x 为奇函数(f(x，y)-=f(x，y)或关于 x 为偶函数(f(-x，y)=f(x，y)，积分区域 D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D 的位于 y 轴右方的部分则有 9.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(0，0)）解析：解析：因被积函数 f(x，y)在闭区域 D：x 2 +y 2 t 2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：(1)用中值定理先去
12、掉积分号再求极限；(2)用二次积分化分子为积分上限的函数 方法一 因 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 t 2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，) 使 =f(，)=t 2 f(，) 因(，)在 D：x 2 +y 2 t 2 上，所以当 t0 + 时，(，)(0，0)，于是 方法二 因 10.由曲线 y=x 2 ，y=x+2 所围成的平面薄片，其上各点处的面密度 =1+x 2 ，则此薄片的质量 M= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 16-3 所示，11.设 为曲线 z=1-x 2 -y 2 ，z=0 所围的立体，如果将三重
13、积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在直角坐标系下先单积分后二重积分，最终 化为三次单积分 在 xOy 面上的投影域 D xy ：x 2 +y 2 1， 的上、下边界曲面方程为 z=1-x 2 -y 2 ，z=0于是 三、解答题(总题数：15，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：记平面区域 D=(x，y)x+y1)，计算如下二重积分：（分数：4.00）(1).，其中 f(t)为定义在(-，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，
14、故其面积 S D =2，因为积分区域 D关于直线 y=x 对称，则由二重积分的性质便有 )解析：(2).I 2 = D (e x -e -y )d，常数 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又分别关于 Oy 轴，Ox 轴对称；函数 e x -e -x ，e y -e -y 分别关于 x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得 )解析：13.设 p(x)在a，b上非负连续，f(x)与 g(x)在a，6上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y)axb，ayb)，比较 I 1 = D p(x)f(x)p(y)g(y)dxdy 与 I 2 = D p(x)
15、f(y)p(y)g(y)dxdy 的大小，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I 1 -I 2 = p(x)p(y)g(y)f(x)-f(y)dxdy， 由于 D 关于 x 与 y 对称，所以 I 1 -I 2 又可以写成 )解析：14.设函数 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x+ D yf(u，v)dudv，其中 D 由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= 两边求二重积分，则 A= )解析：解析：这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难首先可以知道积分f(u，v)dudv 是一个常数，因此 f(x，y)=15.计算 （分数：2.00）_正确答
16、案：(正确答案：记 ，则 )解析：16.当 x1 -1 时，求与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要解决第二个问题，首先需要弄清楚以下几个要点： xx 0 时，f(x)与 g(x)为等价无穷大 无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式： ，此题 x1 - ，故考虑用 于是， )解析：17.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 (xy) xy dy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy，当 y 从 0 变到 1 时，t 从 0 变到 x，则 于是也就是要证明 移项后就是要证明 事实上， t
17、t (1+lnt)dt=e tlnt (1+lnt)dt=e tlnt (tlnt)=d(e tlnt )， 故 )解析：18.设 F(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 D=(x，y)axb，cyd)，若 f“ xy 与 f“ yx 在 D 上连续， 证明： D f“ xy (z，y)dxdy= D f“ yx (z，y)dxdy；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 同理 )解析：20.设 D 为 xOy 平面上的区域，若 f“ xy 与 f“ yx 都在 D 上连续，证明：f“ xy 与 f“ yx 在 D 上相等（分数：2.00）_正确答案：
18、(正确答案：用反证法 设 P 0 (x 0 ，y 0 )D，有 f“ xy (x 0 ，y 0 )f“ yx (x 0 ，y 0 )，不妨设 f“ xy (x 0 ，y 0 )-f“ yx (x 0 ，y 0 )0由于 f“ xy (x，y)-f“ yx (x，y)=f“ cy (x 0 ，y 0 )-f“ yx (x 0 ，y 0 )0， 由极限的保号性， ，0，当 P(x，y)U(P 0 ，)时有 f“ xy (x，y)-f“ yx (x，y) 0 )解析：21.一个半径为 1，高为 3 的开口圆柱形水桶，在距底为 1 处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水
19、桶最多能装多少水?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是典型的应用型计算题，也就是首先要考生根据题目的文字表达，翻译出数学表达式，然后进行计算需要指出的是，这种“动区域(也就是区域是随着某个参数变化而变化”的二重积分并不容易计算，而且本题还要求最值，需要用到导数工具总之，本题是一道综合性较强的题目，这类问题的区分度在考研中一直很高 首先，考生需要画出示意图显然，水桶竖直放立时，装水至水面高度为 1 时，水将从两小孔流出，此时装水量为 1 2 1=所以要使水桶多盛水，通过水桶倾斜来增加盛水量用数学语言来描述，即过两孔连线做一张动平面，问题就是求出动平面与桶底、桶壁围成的部分有最大的体积
20、如图 16-4 所示 将两孔 A，B 连线，过此连线的平面方程为 z=ky+1，其中 k 为参数设动平面与桶口唯一交点 M 的坐标为(0，1，t)，代入平面方程，得 k=t-1，则以 t 为参数的动平面的方程为 S：z=(t-1)y+1 于是平面 S 与面 xOy 的交线为 在倾斜水桶以改变盛水量时，要求此交线要始终在水桶底面上，故 ，于是可得参数 t 的取值范围是：2t3，盛水量为 其中 D t = ，且要求 2t3 于是问题就翻译如下： V(t)单调增加，故 )解析：求下列曲面所围成的立体的体积：（分数：4.00）(1).z=1-x 2 -y 2 ，z=0；（分数：2.00）_正确答案：(
21、正确答案： )解析：(2).z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：投影区域 D 是(x-4) 2 +y 2 4 2 ， )解析：22.求柱体 x 2 +y 2 2x 被 x 2 +y 2 +z 2 =4 所截得部分的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：V= ，其中 D=(x，y)x 2 +y 2 2x 且 y0)， 用极坐标计算，在极坐标下 于是 )解析：23.设平面薄片所占的区域 D 由抛物线 y=x 2 及直线 y=x 所围成，它在(x，y)处的面密度 p(x，y)=x 2 y，求此薄片的重心（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设此薄片的重心为 ，则 )解析：设平
22、面区域 由 1 与 2 组成，其中， 1 =(x，y)0ya-x，0xa)， 2 =(x，y)ax+yb，x0，y0)，如图 16-1 所示，它的面密度 （分数：4.00）(1).该薄片 的质量 m；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据重积分的分块可加性，得薄片 的质量 注意到直线 y=a-x 与 y=b-x 在极坐标系中的方程为 )解析：(2).薄片 1 关于 y 轴的转动惯量 J 1 与 2 关于原点的转动惯量 J 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：薄片 1 关于 y 轴的转动惯量 其中x 2 e -x dx=-x 2 e -x +2xe -x dx=-x 2 e -x -2(x+1)e -x +C，C 为任意常数 薄片 2 关于原点的转动惯量在极坐标系中计算得 其中，由分部积分法得 )解析：
