1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 16及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.I 1 = （分数：2.00）A.I 3 I 2 I 1 。B.I 1 I 2 I 3 。C.I 2 I 1 I 3 。D.I 3 I 1 I 3 。3.如图 67所示，正方形(x，y)x1，y1被其对角线划分为四个区域 D k (k=1，2，3，4)，I k = I k =( ) （分数：2.00）A.I 1 。B.I 2 。C.I 3 。D.I 4 。二、解答题(总题数：3
2、4，分数：68.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_5.计算二重积分 （分数：2.00）_6.计算二重积分 （分数：2.00）_7.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a， 其中D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_8.计算 xydxdy，其中 D是由 y=一 x及 y= （分数：2.00）_9.计算二重积分 （分数：2.00）_10.设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。计
3、算二重积分 （分数：2.00）_11.计算二重积分 （分数：2.00）_12.设区域 D=t(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 I= （分数：2.00）_13.求由曲面 z=x 2 +y 2 和 z=2一 （分数：2.00）_14.由曲线 y=e x ，x=0，y=0，x=1 所围的平面薄片，其上任一点(x，y)的面密度与该点的横坐标成正比，比例常数为 k(k0)，求薄片的质心。（分数：2.00）_15.设 I= -a a dx （分数：2.00）_16.计算三重积分 (x+z)dv，其中 是由曲面 z= 所围成的区域(如图 69所示)。 （分数：2.00）_17.计算下列三重
4、积分： ()I= (x+y+z)dV， 是由 x 2 +y 2 z 2 ，0zh 所围的区域； (11)I= (x 2 +y 2 )dxdydz，其中 是由曲线 （分数：2.00）_18.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：2.00）_19.求 I= （分数：2.00）_20.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 z1，则 的形心的竖坐标 （分数：2.00）_21.设直线 L过 A(1，0，0)，8(0，1，1)两点，将 L绕 Z轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 。 ()求曲面的方程； ()求 的形心坐标。（分数：2.00）_22.设有一半
5、径为 R的球体，P 0 是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P 0 的距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的质心位置。（分数：2.00）_23.计算 I= L x 2 +(y+1)2dx，其中 L为 x 2 +y 2 =Rx(R0)。（分数：2.00）_24.计算 I= (x 2 +y 2 )zds，其中 （分数：2.00）_25.已知曲线 L的方程为 y=1一x(x一 1，1)，起点是(一 1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分 L xydx+x 2 dy=_。（分数：2.00）_26.计算曲线积分 L sin2xdx+2(x 2 一 1)ydy，其中 L是曲线 y=s
6、inx上从点(0，0)到点(，0)的一段弧。（分数：2.00）_27.求 I= L e x siny一 b(x+y)dx+(e x cosy一 ax)dy，其中 a、b 为正常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 y= （分数：2.00）_28.设 L是平面单连通有界区域 的正向边界线，且 L不经过原点。n 0 是 L上任一点(x，y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线 L上点(x，y)的矢径 r=xi+yj，r=r， 是 n 0 与 r的夹角，试求 （分数：2.00）_29.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_30.设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且
7、对任意的 t0 都；f(tx，ty)=t -2 f(x，y)。证明：对 L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 L yf(x，y)dxxf(x，y)dy=0。（分数：2.00）_31.设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分 的值恒为同一常数。 ()证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：2.00）_32.设函数 Q(x，y)在 xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t恒有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (t，1) 2xyd
8、x+Q(x，y)dy，求 Q(x，y)。（分数：2.00）_33.设 。()验证它是某个二元函数 u(x，y)的全微分；()求出 u(x，y)；()计算 （分数：2.00）_34.计算 （分数：2.00）_35.计算 （分数：2.00）_36.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_37.计算 ，其中为下半球面 z=一 （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 16答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.I 1 = （分数：2.00）A.
9、I 3 I 2 I 1 。 B.I 1 I 2 I 3 。C.I 2 I 1 I 3 。D.I 3 I 1 I 3 。解析：解析：在区域 D上，有 0x 2 +y 2 1，从而有 x 2 +y 2 (x 2 +y 2 ) 2 0。 由于cosx在(0， )上为单调减函数，于是 0cos 3.如图 67所示，正方形(x，y)x1，y1被其对角线划分为四个区域 D k (k=1，2，3，4)，I k = I k =( ) （分数：2.00）A.I 1 。 B.I 2 。C.I 3 。D.I 4 。解析：解析：D 2 ，D 4 两区域关于 x轴对称，而 f(x，一 y)=一 ycosx=一 f(x，
10、y)， 即被积函数是关于y的奇函数，所以 I 2 =I 4 =0。 D 1 ，D 3 两区域关于 y轴对称，而 f(一 x，y)=ycos(一 x)=ycosx=f(x，y)， 即被积函数是关于 x的偶函数，所以 二、解答题(总题数：34，分数：68.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：5.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 61所示，因此， )解析：6.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D所围区域如图 62所示。因此 )解析：7.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1
11、，y)=0，f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a， 其中D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将二重积分 xyf xy (x，y)dxdy，转化为累次积分可得 xyf xy (x，y)dxdy= 0 x dy 0 x xyf xy (x，y)dx， 首先考虑 0 x xyf xy (x，y)dx，注意这里是把变量 y看作常数，故有 0 x xyf xy (x，y)dx=y 0 x xdf y (x，y) =xyf y (x，y) 0 x 一 0 x yf y (x，y)dx =yf y (1，y)一 0 x yf y (x，y)dx
12、。 由 f(1，y)=f(x，1)=0 易知 f y (1，y)=A(x，1)=0故 0 x xyf xy (x，y)dx=一 0 x yf y (x，y)dx， 所以 xyf xy (x，y)dxdy= 0 x dy 0 x xyf xy (x，y)dx=一 0 x dy 0 x yf y (x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得 一 0 x dy 0 x yf y (x，y)dx=一 0 x dx 0 x yf y (x，y)dy。 再考虑积分 0 x yf y (x，y)dy，注意这里是把变量 x看作常数，故有 0 x yf y (x，y)dy= 0 x ydf(x，y)=yf(x，y
13、) 0 x 一 0 x f(x，y)dy=一 0 x f(x，y)dy， 因此 xyf xy (x，y)dxdy=一 0 x dx 0 x yf y (x，y)dy= 0 x dx 0 x f(x，y)dy= )解析：8.计算 xydxdy，其中 D是由 y=一 x及 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D如图 63所示。 由方程组 解得积分域 D上的交点 按照先对 y积分后对 x积分的积分次序，并将积分区域 D分为 D 1 与 D 2 两部分，其中 )解析：9.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D如图 64所示。 选用极坐标求解且极点位于
14、积分区域 D之外。并通过联立方程组求得交点坐标 由于区域是右上方部分，故交点为( )。 )解析：10.设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D如图 65所示。由于被积函数分块表示，因此运用分块积分法，令 D 1 =(x，y)0x 2 +y 2 1，x0，y0， D 2 =(x，Y)1x 2 +y 2 ，x0，y0。 利用极坐标变换，其中 D：0 )解析：11.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D如图 66所示。选用极坐
15、标进行计算。其中，0 ，且0r2cos，因此 )解析：12.设区域 D=t(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D为右半单位圆，且关于 x轴对称，函数 f(x，y)= 是变量 y的偶函数，函数 g(x，y)= 是变量 y的奇函数。取 D 1 =Dy0，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有 )解析：13.求由曲面 z=x 2 +y 2 和 z=2一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组 解得 z 1 =1，z 2 =4(舍去)， 所以投影区域为 D：x 2 +y 2 1，则 )解析：14.由曲线 y=e
16、x ，x=0，y=0，x=1 所围的平面薄片，其上任一点(x，y)的面密度与该点的横坐标成正比，比例常数为 k(k0)，求薄片的质心。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：面密度函数 =kx，故其质量 )解析：15.设 I= -a a dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由已知累次积分的上下限知 故在 xOy面上，D xy =(x，y)x 2 +y 2 a；由球面方程及锥面方程知，z 的上限是半径为 a的上半球面，z 的下限是以一 a为顶点的半锥面，如图 68所示。 ()由积分区域的构成及范围知 I= 0 a dz (x 2 +y 2 )dx。 ()由()知 D xy =(
17、x，y)x 2 +y 2 a，故有 ()I= 0 2 d r 4 sin 3 dr (V)由()得出 I=2 0 a 3 a 5 。 )解析：16.计算三重积分 (x+z)dv，其中 是由曲面 z= 所围成的区域(如图 69所示)。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先进行 z的一次积分，后进行 x，y 的二重积分，即 )解析：17.计算下列三重积分： ()I= (x+y+z)dV， 是由 x 2 +y 2 z 2 ，0zh 所围的区域； (11)I= (x 2 +y 2 )dxdydz，其中 是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 关于 yOz坐标面，xOz 坐
18、标面均对称，且 f(x)=x，f(y)=y 是 x，y 的奇函数，故 =0，于是 I= = 0 2 d 0 h d h zdz =2 0 h (h 2 一 2 ) d= 0 h (h 2 一 3 )d= h 4 。 ()旋转面方程：z= (x 2 +y 2 4)，因此 I= (x 2 +y 2 )dxdydz= 0 2 d 0 2 2 d dz=2 0 2 3 (a 2 a )d )解析：18.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用球面坐标。 z 2 dxdydz= 0 2 d 0 d 0 1 2 sin 2 cos 2 d =
19、0 2 d 0 cos 2 d(一 cos) 0 1 4 d = )解析：19.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性知 I= (4x 2 +9y 2 +16z 2 +12xy+24yz+16xz)dV= (4x 2 +9y 2 +16z 2 )dV， )解析：20.设 =(x，y，z)x 2 +y 2 z1，则 的形心的竖坐标 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：形心坐标公式 )解析：21.设直线 L过 A(1，0，0)，8(0，1，1)两点，将 L绕 Z轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 。 ()求曲面的方程；
20、 ()求 的形心坐标。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由已知， =(一 1，1，1)，则直线方程为 对任意一点 M(x，y，z)，对应于 L上的点 M(x 0 ，y 0 ，z)，于是有 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 。 由直线方程表达式得 于是得曲面方程表达式 x 2 +y 2 =(1一 z) 2 +z 2 ，即：x 2 +y 2 =2z 2 2z+1。 ()由三的对称性 =0。而 其中 D z =(x，y)x 2 +y 2 2z 2 2z+1，故 )解析：22.设有一半径为 R的球体，P 0 是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P 0 的距离的平
21、方成正比(比例常数 k0)，求球体的质心位置。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以球心为原点 O，射线 OP 0 为 Oz轴负向，建立坐标系如图 610所示。 点 P 0 的坐标为(0，0，一 R)，球面的方程为 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 。球面所围的区域记为 ，球面及所围区域内任一点与 P 0 的距离 故球体的体密度 =kx 2 +y 2 +(z+R) 2 ，k0。 设 的质心位置(坐标)为 =0，而 利用球面坐标计算上述三重积分，得 )解析：23.计算 I= L x 2 +(y+1)2dx，其中 L为 x 2 +y 2 =Rx(R0)。（分数：2.00）_正确答案：(正
22、确答案：由于 L关于 y轴对称，且 f(y)=2y是 y的奇函数，故 L 2ydx=0。又 x 2 +y 2 =Rx，从而有 L (x 2 +y 2 )dx= L Rxdx，进一步得到 I= L (x 2 +y 2 +2y+1)ds=R L xds+R。 其中计算积分 L xds有以下两种方法： )解析：24.计算 I= (x 2 +y 2 )zds，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由参数方程， )解析：25.已知曲线 L的方程为 y=1一x(x一 1，1)，起点是(一 1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分 L xydx+x 2 dy=_。（分数：2.00）_正确答案：(正确
23、答案：令 L： ，0t1。 则 L xydx+x 2 dy= xydx+x 2 dy= -1 0 t(1+t)+t 2 dt+ 0 1 t(1一 t)一 t 2 dc = )解析：26.计算曲线积分 L sin2xdx+2(x 2 一 1)ydy，其中 L是曲线 y=sinx上从点(0，0)到点(，0)的一段弧。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=sinx及 x：0，则 L sin2xdx+2(x 2 一 1)ydy = 0 sin2xdx+2(x 2 一 1)sinxcosxdx= 0 x 2 sin2xdx )解析：27.求 I= L e x siny一 b(x+y)dx+(
24、e x cosy一 ax)dy，其中 a、b 为正常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：凑成闭合曲线，应用格林公式。 添加从点 O(0，0)沿 y=0到点 A(2a，0)的有向直线段 L，如图 611所示，则有 I= e x siny一 b(x+y)dx+(e x cosy一 ax)dy 一 e x siny一 b(x+y)dx+(e x cosyax)dy =I 1 一 I 2 。 利用格林公式， 其中 D为 L 1 +L 2 所围成的半圆域。 对于 I 2 ，选择 x为参数，得 L 1 ： (0x2a)， 于是 I 2 = 0 2a (一
25、bx)dx=一2a 2 b。 故 I=I 1 一 I 2 = )解析：28.设 L是平面单连通有界区域 的正向边界线，且 L不经过原点。n 0 是 L上任一点(x，y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线 L上点(x，y)的矢径 r=xi+yj，r=r， 是 n 0 与 r的夹角，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 0 =cosi+cosj 是积分曲线 L在其上点(x，y)处的单位切向量。因为曲线 L在其上点(x，y)处的法向量 n 0 与切向量 0 互相垂直，并使闭曲线 L沿正向。故取 n 0 =cosicosj。 根据两矢量内积的定义及 dx=cosds，dy=cosds，得
26、 当 不包含原点时，由格林公式可得 =0。 当 包含原点时，取半径为 且包含原点的任意小的圆周 l，l 取逆时针方向，则 l的参数方程为 x=cos，y=sin，02， 由格林公式得 )解析：29.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以点(1，0)为中心，R 为半径的圆周的参数方程是：x=1+Rcos，y=Rsin，逆时针方向一周，即 t从 0到 2。 由于 L所包围的区域内部有点 O(0，0)，该点处曲线积分 I= 的分母为 0，导致被积函数不连续，格林公式不能用。 记 P= ，(x，y)(0，0)。作足够小的椭圆L：4x 2 +y 2 = 2 ，取其顺时针方向，则
27、 )解析：30.设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都；f(tx，ty)=t -2 f(x，y)。证明：对 L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 L yf(x，y)dxxf(x，y)dy=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程 f(tx，ty)=t -2 (x，y)两边对 t求导得 xf 1 (tx，ty)+yf 2 (tx，ty)=一 2t -3 f(x，y)， 令 t=1，则有 xf 1 (x，y)+yf 2 (x，y)=一 2f(x，y)。 (*) 设 P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=一 xf(x，y)
28、，则 =f(x，y)+yf 2 (x，y)。 根据(*)式可得 )解析：31.设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分 的值恒为同一常数。 ()证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如图 612所示，将 C分解为：C=l 1 +l 2 ，另作一条曲线 l 3 围绕原点且与 C相接， P，Q 在单连通区域 x0 内，具有一阶连续偏导数，由()知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 x0 时，总有 。 比较(1)、(2)两式的右端，得 )解析：32.设函数 Q(x，y)在 xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t恒有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy，求 Q(x，y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于曲线积分 L Pdx+Qdy与路径无关，则 (其中 P，Q 有连续偏导数)，即 )解析：33.设 。()验证它是某个二元函数 u(x，y)的全微分；()求出 u(x，y)；()计算 （分数：2.00）_
